一元二次方程的应用课件2025-2026学年沪科版八年级数学下册

17.5一元二次方程的应用

17.5课时1面积、体积、数字问题1.掌握运用几何图形的面积建立一元一次方程的数学模型；2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.列方程解应用题的步骤:审设列解答审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.找到等量关系列出方程.检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.解方程.例1：在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应是多少？2032x单位：m数量关系空地-(横向路+纵向路)+横纵交叉=花坛总面积解：设小路的宽是x

m，根据题意得32×20

–(32x+2×20x)+2x2=570.x2

–36x+35=0.整理得：(x

–1)(x

–35)

=0.∴x1=1，x2=35.x2=35不符合题意，所以x=1答：所求小路的宽应为1m.练一练1.在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米,可列方程为：(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.例2正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm，容积为2880cm3的开口方盒.问原金属片的边长是多少？解：设原金属片的边长为xcm，则方盒的底边长是(x-40)cm.根据题意，得20(x-40)2=2880整理，得(x-40)2=144解方程，得x1=52，x2=28.28＜20+20，x2=28不合题意，所以x=52.答：原金属片的边长是52cm.2020x-4020xx-40aaaaaa审aaaaaa设aaaaaa列aaaaaa解aaaaaa答aaaa验练一练2.一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3mm的附着物，而导致流通截面减少至原来的.求这根水管原来的内壁直径.整理，得5x2-108x+324=0解得x1=18，x2=3.63.6＜3+3时，3不合题意，舍去.∴x=18答：这根水管原来的内壁直径18mm.解：设水管原来的内壁直径为xmm，可列方程为：

例3.如果两个连续偶数的积时288，求这两个数.解：设较小的偶数为x

，则另一个偶数为(x+2)，可列方程为：x(x+2)=288整理，得x2+2x-288=0解得x1=16，x2=-18当x=16时，x+2=18；当x=-18时，x+2=-16，答：这两个数分别为16和18或-16和-18.练一练3.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少1,且个位上

的数字与十位上的数字的乘积等于72,则这个两位数是

.98解析设这个两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为x

+1,依题意,得x(x+1)=72,整理,得x2+x-72=0,解得x1=-9(不合题

意,舍去),x2=8,∴10(x+1)+x=10×(8+1)+8=98.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根实际问题的解分析数量关系设未知数1.如图,把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积比原来扩大了一倍.若设小圆形场地的半径为xm,那么列方程正确的是

()A.2πx=π(x+5)

B.x=2(x+5)C.2πx2=π(x+5)2

D.x2=2(x+5)2

C2.(教材变式·P21习题T1(5))如图,在一幅长为80cm,宽为50cm的长方形风景画的四周镶上等宽的金色纸边,制成一幅长方形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,则金色纸边的宽为

cm.

53.已知三个连续奇数,其中较大的两个数的平方和比最小数的平方的3倍小25,则这三个数分别为

.15,17,19或-3,-1,1解析设3个连续奇数分别为n,n+2,n+4,依题意得3n2-25=(n+

2)2+(n+4)2,解得n=15或n=-3.当n=15时,这3个奇数分别为15,17,19;当n=-3时,这3个奇数分别为-3,-1,1.4.2024年8月份的月历表上用一个方框框出4个数(如图所示),若框出的4个数中,最小数与最大数的乘积为84,则这个最小数是

()A.2

B.4

C.6

D.8C一元二次方程的应用列方程解应用题的步骤:审设列解答找到等量关系列出方程.验结合实际.17.5课时2增长率问题1.能正确列出关于增长率与降低率问题的一元二次方程；2.正确分析问题中的数量关系并建立一元一次方程模型.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根实际问题的解分析数量关系设未知数例1原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)解：设该种药品两次平均降价率是x.根据题意，列方程得27(1−x)2=9整理，得解这个方程，得经验证不合题意，所以x≈0.42=42%.答：该药品两次降价的平均降价率约是42%.

0＜降低率＜1

两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是

()A.80(1-x2)=60

B.80(1-x)2=60C.80(1-x)=60

D.80(1-2x)=60B练一练例2一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%(即每100kg花生可加工出花生油50kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率.分析每公顷产量原品种出油率出油产量增长率3000kg50%新品种每公顷的产量×新品种出油率=新品种油量新品种x1980kg3000(1+x)kg解：设新品种花生产量的增长率为x，根据题意，得解方程，得＜0，(不合题意，舍去).增长率＞0答：新品种花生产量的增长率为20%.例2一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%(即每100kg花生可加工出花生油50kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率.1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=500B练一练2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=500B1.某大型超市一月份的营业额为1000万元,预计三月份的营业额比一月份的多440万元.设该超市营业额的月平均增长率为x,则所列方程正确的是

()A.1000(1+x)2=440B.1000(1+x)2=1000+440C.440(1+x)2=1000D.1000(1+2x)=1000+440B解析根据该超市一月份的营业额×(1+该超市营业额的月平均增长率)2=该超市一月份的营业额+预计三月份比一月份多的营业额,可列式为1000(1+x)2=1000+440.2.某厂家2024年1—5月份生产的儿童电动玩具车的产量统计图如图所示,设从2月份到4月份,该厂家儿童电动玩具车产量的月平均增长率为x,根据题意可列方程为

.180(1+x)2=4613.某磷肥厂去年4月份生产磷肥500t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x，可列方程为：整理，得25x2+50x−11=0解得x1=0.2，x2=−2.2−2.2＜0不合题意，舍去.∴x=0.2答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%.

4.新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱,我国新能源汽车近几年出口量逐年增加,某品牌新能源汽车2021年出口量为20万台,2023年出口量增加到45万台.(1)2021年到2023年该品牌新能源汽车出口量的年平均增长率是多少?(2)按照这个增长速度,预计2024年该品牌新能源汽车出口量是否会突破65万台.解:(1)设年平均增长率为x,根据题意可列方程为20(1+x)2=45,解得x1=0.5,x2=-2.5(不合题意,舍去).答:2021年到2023年该品牌新能源汽车出口量的年平均增长率是50%.(2)由(1)得,45×(1+50%)=67.5(万台)>65(万台).答:预计2024年该品牌新能源汽车出口量会突破65万台.一元二次方程的应用应用场景1、药品降价、成本下降2、产量增长3、营业额、出口量增长公式1、增长模型：初始量(1+x)n=最终量2、下降模型：初始量(1-x)n=最终量注意：

0＜降低率＜1；增长率＞017.5课时3分式方程转化为一元二次方程1.根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程；2.能验证分式方程的根并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理.解分式方程：

解：方程两边乘各分母的最简公分母x(x–3)，得2x=3x–9.解得检验：当x=9时，x(x–3)所以，原分式方程的解为x=9.≠0.去分母解整式方程检验写原分式方程的解

一组学生组织春游，预计共需费用1200元.后来又有2人参加进来，总费用不变，这样每人可少分摊30元.问原来这组学生的人数是多少？问题1：题目中涉及哪些量？总费用、每人费用、原学生人数、现学生人数.总费用/元原来现在x每人费用/元人数/人12001200x+2问题2：题目中有怎样的等量关系？原来这组学生每人分摊的费用-增加人数后该组学生每人分摊的费用=30元方程两边同乘以x(x+2)，整理，得解这个方程，得答：原来这组学生的人数是8人.根据题意，列方程得

经验证，都是原方程的根，但不合题意，所以一元二次方程检验根

一组学生组织春游，预计共需费用1200元.后来又有2人参加进来，总费用不变，这样每人可少分摊30元.问原来这组学生的人数是多少？解：设原来这组学生的人数是x人.那么每人分摊的费用是

元,增加2人后这组学生每人分摊的费用是

元，列分式方程解应用题既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意.C1.分式方程的根为()A.−1或3B.−1C.3D.0或−3练一练2.为了绿化荒山，某村计划在荒山上种植100棵树.原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务.则可以列出方程为()A.B.C.D.A1.几个同学计划租车到长城旅游，应付车费480元，临行前又来了两个同学参加，这样使每人分担的车费减少8元.设这次到长城旅游的同学x个，根据题意得()A.B.C.