2025北京北京中学高一3月月考数学试题及答案

试题2025北京北京中学高一3月月考数学本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分.一、选择题：每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案.1.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.3.已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（）A. B. C. D.4.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（）A. B. C. D.5.在中，若，则该三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.不能确定6.已知平面向量、、满足，且，则的值为A. B. C. D.7.已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（）A. B. C. D.9.已知单位向量，满足，若非零向量，其中，，则的最大值为（）A. B. C. D.10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（）（参考数据：，）A. B. C. D.二、填空题：每小题5分，共30分.11.设，若复数是纯虚数，则_____.12.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_________.13.在中，，则_____________14.在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）15.若，且，则______________，的最大值为______________.16.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论：①对于任意正整数，；②不存在正整数，使得为整数；③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025；④对于任意正整数，三角形为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：共5小题，共70分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知向量，.（1）求；（2）求向量与向量的夹角的余弦值；（3）若，且，求向量与向量的夹角.18.在中，.（1）求的值；（2）求的面积.19.如图，在梯形ABCD中，，，（1）求；（2）求BC的长．20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若．（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．（ii）求周长的取值范围．21.对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数．（1）对以下两个数表，，写出，，，的值；111111111111111111111111111（2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：；（3）当时，求的最小值．

参考答案一、选择题：每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案.题号12345678910答案DADCAACBDD二、填空题：每小题5分，共30分.11.【答案】【分析】根据纯虚数的定义求解即可.【详解】复数,因为复数是纯虚数，所以,解得：,当时，满足条件；故答案为：12.【答案】【分析】根据圆锥的侧面积及侧面展开图扇形的弧长可求圆锥的母线长与底面圆的半径，从而可求圆锥的高，根据圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，

由已知条件可得:,解得.

故圆锥的高,

所以该圆锥的体积为.故答案为:.13.【答案】【详解】由三角形的面积公式知，,解得，再有余弦定理得，故.14.【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可）【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得周长的取值范围.【详解】由余弦定理可得，因为角A为锐角，则，可得，所以的周长.故答案为：9（答案不唯一，内的任何一个值均可）.15.【答案】①.2②.【分析】由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值.【详解】由，可得，由题设，在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示，∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最短，由图知：共线时，的最大为.故答案为：2，.16.【答案】①④【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，根据时判断③；利用余弦定理证明从而判断④.【详解】依题意可得对于任意正整数，，故①正确；当时，，故②不正确；由于，解得，故存在正整数，三角形的面积为2025，故③不正确；，，，因为，所以在三角形中，为最大角，，则为锐角，即三角形为锐角三角形，故④正确；故答案为：①④三、解答题：共5小题，共70分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.【答案】解：（1）因为，，所以.所以.（2）因为，，，所以.（3）因为，所以.即.所以.即，所以.因为，所以.18.【答案】【小问1详解】在中，因为，，所以，因为，所以由正弦定理得，得，所以.【小问2详解】由余弦定理得，，得，解得或（舍去），所以.19.【答案】【小问1详解】在中，，，则、均为锐角，则，，.【小问2详解】在中，由正弦定理得，，由，得，在中，由余弦定理得：，所以.20.【答案】【小问1详解】由可得,因为在中，所以，即，因为，所以.【小问2详解】（i）若选条件①，结合（1）及，由正弦定理,可得，则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，若选条件②：，结合（1）及，由余弦定理，可得，解得，易知，故此时满足条件的三角形唯一.所以.若选条件③：，结合（1）及，因为,所以为锐角,由,可得，因为在中所以.易知满足条件的三角形唯一.由正弦定理,可得,所以.（ii）由余弦定理，可得，结合基本不等式，可得，解得：,当且仅当，原式取等.又在中易得.所以周长.周长的取值范围为.21.【答案】【小问1详解】，；，．由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变．因为为奇数，，所以，均不为0．【小问2详解】当或时，不妨设，即，．若，结论显然成立；若，不妨设，，则，，．所以，结论成立．当且时，不妨设，，，，则当时，；当时，．因为当，时，，，所以．所以．同理可得：，，．所以．【小问3详解】当时，的最小值为．对于如下的数表A，．111111111下面证明：．设中恰有个正数，中恰有个正数，．①若或，不妨设，即，．所以当时，．由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，