2025北京二中高一（上）段考一数学试题及答案

试题2025北京二中高一（上）段考一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.函数的定义域是（）A. B.C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A. B. C. D.4.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，，，则的最大值是（）A. B. C. D.6.函数的单调递增区间是（）A. B.∪C.和 D.7.当时，不等式有解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A.16 B.17 C.18 D.199.已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的x的取值范围是（）A. B. C. D.11.设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（）A. B. C. D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上）13.命题“”为，其否定为_______14.关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为________．15.设集合，，已知且，则的取值集合为________.16.已知，则的最小值为__________．17.已知函数，则________，若在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．18.已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：①存在，使得为完美集；②存在，使得为完美集；③如果，那么一定不为完美集；④使得A为完美集的所有的值之和为-2．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19.设，，，（1）分别求，.（2）若，求实数的取值范围.20.已知二次函数图象过点，且与反比例函数交于点，（1）求二次函数与反比例函数的表达式；（2）若对恒成立，求参数的取值范围.21.已知函数，其中a，b为常数，且，．（1）求a，b的值；（2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值．22.已知函数，且方程的一个根为．（1）求的值；（2）解关于的不等式；（3）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．23.已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．（1）若，，写出所有可能的集合；（2）若，，且是12的倍数，求集合的个数；（3）若；证明：存在非空集合，使得是的倍数．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）123456789101112CBCABCBCAABA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上）13.【答案】，知其否定为：，.14.【答案】由解得，由解得，所以不等式组的解集为，因为不等式组的最小整数解为，所以，解得，所以符合条件的的取值范围为，故答案为：15.【答案】因为，即，所以或，若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或，又，即，所以，解得且，综上所述，的取值集合为.故答案为：16.【答案】因为，所以，，当且仅当即，时等号成立，故答案为：17.【答案】空1：.空2：∵，且函数在上单调递增，∴，解得：，故答案为：；.18.【答案】解：由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，当，又，故，则有，可得，此时，，解得；当，，故，则，可得，此时，，解得；当，，故，则有，可得，此时，，解得（舍去），无解；同理，当时，当，，当或，无解.综上，所有正确结论的序号是①②.故答案为：①②.三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19.【答案】（1）；或（2）【小问1详解】解不等式可得，，所以，或，或.【小问2详解】由可得，且，所以，解得，即.20.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）因为点在反比例函数的图象上，故有，即得，从而反比例函数为又因为点A，B，M都在二次函数的图象上，解得，（2）由（1）知，二次函数为，故有在R上恒成立，即在R上恒成立而，解得.21.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为，最小值为.【小问1详解】由，，得，解得.故.【小问2详解】设任取，且，由（1）得，所以，.因，得.又因，，，即；所以，即.所以函数在区间上是减函数.【小问3详解】设任取，且，，.因，得.又因，，，即.所以，即.所以函数在区间上是增函数.再由（2）可知函数在区间上是减函数，在上是增函数.所以时，，又，，.所以时，.故函数在区间上最大值为，最小值为.22.【答案】（1）1（2）答案详见解析（3）【小问1详解】方程为：，化简得：，代入

，得：，故.【小问2详解】由（1）知

，不等式化为：，因式分解得：，分类讨论：当

时：不等式等价于

，解为：

或

（因为

）；当

时：不等式化为

，解为：；当

：不等式等价于

，解为

：（因为

）；当

时：不等式化为

，解集为；当

时：不等式等价于

，解为

（因为

）；综上，当时，解集为：

；当时，解集为：

；当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：

.【小问3详解】条件：对任意

，存在

使得

，等价于：对任意

，存在

使得，令，，条件转化为：在上的值域是在上的值域的子集.求

在

的值域：，二次函数开口向上，顶点

，在

单调递增，，，的值域为

；求

在

的值域：当

时：

在

单调递增，的值域为

，由题意知：，

解得：；当

时：

在

单调递减，的值域为

，由题意知：，

，解得：；当时，，不满足；综上，.23.【答案】（1），，，；（2）4；（3）证明见解析．【小问1详解】，集合可能为：，，，；【小问2详解】不妨设，则，，因此或，时，，时，，因此中只能选项一个，中选两个，为，综上集合有，共有4个；【小问3详解】（1）若，则是从这个数所取，把这个数分成组，每组中两个数的和为，从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立；（2）若，不妨设，从中任取3个数，，若与都是的倍数，则，这与矛盾，所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数，考