2025北京十二中高一12月月考数学试题及答案

试题2025北京十二中高一12月月考数学2025.12一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（）A. B.1 C. D.23.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（）A. B.C. D.4.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.5.已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.在同一平面中的角和角满足“”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（参考数据：，，）A.年 B.年C.年 D.年9.函数的图象最有可能的是（）A. B.C. D.10.已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题共5小题，每题5分，共25分.11.函数的定义域是______．12.计算：______．13.当时，函数的最小值是___________.14.已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______．15.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，则下列说法正确的有______．①若，则函数为奇函数；②若，则；③函数的图象必有对称中心；④，．三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.17.已知，且．（1）化简；（2）若，求．18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）在下图平面直角坐标系中画出函数的图象；（2）写出函数的解析式；（3）若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论）19.设函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值；（2）若不等式对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围；（3）解关于x的不等式：．20.已知定义在上的函数，且有，．（1）求函数的解析式并判断其奇偶性；（2）解不等式；（3）设函数，若，，使得，求实数的取值范围．21.设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值．（1）当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由；（2）当时，若具有性质，求的最大值；（3）给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项.题号12345678910答案BCDBCABCAD二、填空题共5小题，每题5分，共25分.11.【答案】由题意可知有意义，需满足，解得，即函数的定义域是，故答案为：12.【答案】.故答案为：13.【答案】因为，所以，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：7．14.【答案】当时，，所以，，有三个零点，即方程有三个不同的解，因为，所以在上有一个解，在上有两个不同的解，函数图像如图，所以根据函数解析式及函数图像,所以.故答案为：，15.【答案】对于①，记．因为，所以为奇函数，故正确；对于②，由①知，即，又，故，故错误；对于③，记．若为奇函数，则，，即，所以，即．上式化简得，．则必有，解得.因此当时，的图象必关于点对称，故正确；对于④，由③知，．当时，在上为减函数，又，所以，故正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）由，得到或，即或，再由，得，解得，所以，或，，如图：或；（2）由，且，得到，又因为，且，所以，解得，如图：所以实数的取值范围为.17.【答案】（1）；（2）因为，所以，所以.所以.18.【答案】（1）利用奇函数的性质作图如下：（2）因为是定义在上的奇函数，所以，令，则，且，所以，综上；（3）由的单调性可知单调递增，则，所以时，，结合图象可知关于的方程有2个不相等的实数根，需要.19.【答案】（1）由题意可知：是方程的两个根，所以，即；（2）由题意可知，即，若，显然，与前提不符；所以，整理得，解之得；（3）由可得，若，不等式化为，即；若，解不等式得；若，解不等式得或；若，解不等式得；若，解不等式得或；综上所述：若，则不等式解集为，若，则不等式解集为，若，不等式解集为或，若，，若，则不等式解集为或.20.【答案】（1）因为，所以，解得，所以；为奇函数，证明如下：定义域为且关于原点对称，因为，所以为上的奇函数.（2），因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减；因为，所以，所以，解得，所以不等式解集为.（3）因为，，使得，所以；因为在上单调递减，所以，又因为，令，所以，其图象为抛物线，对称轴为且开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时有，所以，由，得，即得综上所述，的取值范围是.21.【答案】（1）因为，所以具有性质；因为，所以．（2）方法：1：由性质得，所以，因为，所以，则，，，所以，所以，又因为当时，具有性质，且，所以的最大值为1．方法2：先用反证法证明，假设，由，则，