2025北京十四中高一12月月考数学试题及答案

试题2025北京十四中高一12月月考数学2025.12注意事项1.本试卷共6页，共20道小题，满分120分.考试时间90分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备审核人：高一备一､单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（）A. B.C. D.4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（）A.y＝x+1 B.y＝x2﹣1 C.y＝2x D.5.若，则一定有（）A. B. C. D.6.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.7.设，，，则（）A. B.C. D.8.已知且，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（）A. B. C. D.10.已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（）①；②；③；④.A.①③ B.②③ C.①④ D.②④二､填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为__________.12.某中学三年级从甲､乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的平均分是86，则__________，__________.13.已知，则用表示__________14.Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域.该模型的数学表达式为，其中表示经过年之后的种群数量，为环境的最大承载容量，为初始种群数量，为种群的年增长率，.①若，时，种群数量正好为，则种群的年增长率为__________；②若某物种在2025年底种群数量为40万，以此作为初始种群数量，以后每年的增长率为0.5，最大承载容量为1600万，那么在__________年底种群数量是160万.（参考数据：，）15.已知函数给出下列四个结论：①当时，；②若存在最小值，则的取值范围为；③若存在零点，则的取值范围为；④若是减函数，则的取值范围为.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）；（2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.17.设为实数，已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求证：是上的增函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.18.已知，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，若，时，求函数的最值；（3）当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，请直接写出的取值范围.19.2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的.（1）求常数和的值；（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？四､附加题：本题为附加题，累加在总分里.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.已知函数的定义域为集合，若都有，其中为常数且，则称函数为“距”增函数.（1）若函数，，试判断函数是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若函数，为“距”增函数，求实数的取值范围；（3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值.

参考答案一､单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案BABDDBCADB二､填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】因为，所以，解得.故答案为：.12.【答案】甲班选出的7名学生数学竞赛的成绩分别为：，甲班学生的平均分为，解得；乙班选出的7名学生数学竞赛的成绩分别为：，乙班学生的平均分为，解得.故答案为：，.13.【答案】由，可得，则.故答案为：.14.【答案】①由Logistic增长模型的数学表达式为，因为，代入模型数学表达式，可得又由，可得，即，解得，又因为，可得，即，可得，解得，所以种群的年增长率为；②由题意知，，代入Logistic增长模型的数学表达式，可得，因为，可得，整理得，即，所以，两边取对数，可得，所以，又因为，，可得，所以，因为从2025年底开始，经过3年为2028年，即在2028年底种群的数量是160万.故答案为：；2028.15.【答案】①当时，，，故①错误；②当时，若，则，在上有最小值0，若，则，函数在上单调递减，且，无最小值，故无最小值，当时，若，则，函数在上单调递减，无最小值，若，则，函数在上单调递减，且，无最小值，故无最小值，当时，若，则，函数在上单调递减，无最小值，且，若，则，函数在上单调递增，函数在上的最小值为，又，故有最小值，所以，故②正确；③令，若有解，则，令，若有解，则，解得或，综上若存在零点，则的取值范围为，故③错误；④若是减函数，则需满足且且，解得或，故④正确．故答案为：②④．三､解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故，故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）.由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为，则从中任取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为.17.【答案】（1）因为函数的定义域为，且是奇函数，所以，解得，此时.，满足题意，所以.（2）对于任意的实数，且，，因为指数函数是增函数，所以，即，所以，即，所以是上的增函数.（3）因为函数是奇函数，所以，即，又是上的增函数，所以对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，根据对勾函数的单调性可知函数是增函数，所以，所以，即实数的取值范围是.18.【答案】（1）依题意，由，，得，则，即解得，所以不等式的解集为.（2）由题意知，令，，得，设函数，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，，因此，所以，则，所以函数的最小值为，最大值为；（3）由，得①，化简得②，当且时，方程②的解为，，若是方程①的解，则，解得；若是方程①的解，则，解得；由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以.因此，的取值范围为19.【答案】（1）∵，即，∵函数图象是连续不断的，∴，解得.（2）由（1）知，则，当时，，当且仅当，即时取等号.当，即时，，由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，∴，∵，即，∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.四､附加题：本题为附加题，累加在总分里.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.【答案】（1）因为，故，故为“1距”增函数.（2）因为函数，为“