2025北京一七一中高一12月月考数学试题及答案

试题2025北京一七一中高一12月月考数学总分：150分时间：120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分）1.已知集合，，则集合是（）A. B. C. D.2.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.设，，，则（）A. B. C. D.4.下面与角终边相同的角是（）A.25° B. C. D.225°5.给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A.①④ B.②④ C.②③ D.①③6.中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7.已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知函数，记为它们中的最小者，则函数的大致图象是（）A.B.C.D.9.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.11.2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（）（参考数据：）A.年 B.年 C.年 D.年12.已知函数,则下列说法中正确的是A.若，则恒成立B.若恒成立，则C.若，则关于的方程有解D.若关于的方程有解，则二、填空题13.函数（且）的图象恒过定点______，函数的值域是______．14.已知，则函数的解析式为______，______．15.在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则______．16.已知，且，则的最小值是_________．17.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______．18.定义在上的函数满足，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是______．三、解答题19.已知一个扇形的周长为12cm，求出这个扇形面积的最大值，并求出此时的圆心角和半径．20.已知，且（I）求的值；（II）求的值．21.已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明你的结论；（3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围．22.已知函数．（1）设．（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；（ii）求的单调递减区间．（2）对任意、，恒成立，求的取值范围．23.对于集合，其中，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等就称集合为“可调和集合”.（1）判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）；（2）求证：集合，其中不是“可调和集合”；（3）若集合，其中是“可调和集合”.①证明：为奇数；②求集合中元素个数的最小值.

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）题号123456789101112答案DABDBACADDAD二、填空题13.【答案】令，即，则，故函数图象过定点，由指数函数的性质知，故，所以函数的值域为.故答案为：，14.【答案】令则,故，故，进而，故答案为：，815.【答案】由题意可得，.所以.故答案为：.16.【答案】因为，，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：.17.【答案】不等式，解方程得或，所以当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以；当时，原不等式解集为，不符合；当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以.综上，满足题意的实数的取值范围为.故答案为：.18.【答案】由，则在上单调递减且，在上单调递增且，其中，，，综上，的大致图象，如图所示：恰有3个零点，的图象和直线恰有3个交点，且过定点，当直线过点时，此时斜率为，当直线过点时，此时斜率为，结合图象知，当，即时，函数的图象和直线恰有3个交点，即.故答案为：三、解答题19.【答案】设扇形半径为，弧长为，圆心角为；因为扇形的周长为12cm，所以，则，即，当且仅当，即时等号成立；面积，即时等号成立面积有最大值此时圆心角为.20.【答案】（I）因为，所以，所以，因为，且，所以，所以，因为，所以，，所以，即.（II），解得，所以.21.【答案】（1）解：由对任意的，都有，且当时，，令，可得，即，解得，当时，令，其中，可得，因为，所以，所以当时，.（2）解：函数在上为单调递减函数.证明如下：设且，则，由（1）知：，则，即，所以函数在上为单调递减函数.（3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数，所以不等式，即为，因为对于任意的，不等式恒成立，所以不等式对任意上恒成立，即不等式对任意上恒成立，设，因为，可得，所以对任意上恒成立，又由在上为单调递增函数，所以，所以，即实数的取值范围为.22.【答案】（1）（i）当时，，的定义域为，令，，则，当，即当时，即时，取得最小值，最小值为.（ii）在上单调递增，在上单调递减，令，解得，所以的单调递减区间为.（2）当时，令，可化为．记函数在上的最大值为，最小值为，由对任意、，恒成立，得恒成立．，其图象开口向上且对称轴为直线．①当时，在上单调递增，可得，，由，得，解得，不符合题意；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，，当时，由，可得，所以，解得，此时；当时，由，可得，解得，此时；③当时，，由，可得，解得，不符合题意．综上，的取值范围为.23.【答案】（1）当去掉集合中的元素3时，剩余元素1、2、5，显然无法分成两个非空集合，并且两个集合的所有元素之和相等，故集合不是“可调和集合”；若两个集合的元素之和相等，则所有元素同时除以2后，元素之和也相等，所以，若集合是“可调和集合”，则集合也是“可调和集合”，当去掉元素1时，剩余元素之和为，为奇数，所以，不可能将剩余元素分成两个非空数集，且元素之和相等，所以，集合不是“可调和集合”.（2）不妨设，若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.因此当时，集合一定不是“可调和集合”；（3）①设集合所有元素之和为.由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数.如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可调和集合”