直角三角形的性质定理一（学案）-2025湘教版八年级数学上册

第5章直角三角形

5.1直角三角形的性质定理（1）

►学习目标与重难点

学习目标：

I.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。

2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证

明斜边上的中线性质。

3.能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为宜角三角形”“证明线段相等”

等基础问题。

学习重点：

1.3个核心定理的理解、准确表述与证明过程；

2.运用定理解决“角的计算”“三角形判定”“线段相等证明”等基础几何问题。

学习难点：

1.区分“直角三角形两锐角互余（性质）”与“两角互余的三角形是直角三角形（判定）”的逻辑关

系；

2.“斜边上的中线等于斜边的一半”定理中辅助线的构造及证明过程。

►学习过程

一、复习回顾

【回顾】什么是直角三角形吗？

二、探究新知

探究一：直角三角形的性质1

教材第157页

【说一说】在RtZXABC中，若NC=90°,则NA+NB=?

【归纳】直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角.

探究二；直角三角形的判定

【议一议】（1）“史角三角形的两个锐知互余”的逆命题是什么？

（2）该逆命题是真命题吗？

【归纳】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是三角形.

探究三：直角三角形的性质2

【画一画】任务一：用三角板画一个RQABC,取线段AB的中点D,连接DC.

任务二：用直尺分别测量斜边AB的长度以及斜边AB的中线DC的长度.

任务三：以点D为圆心，DB为半径画圆弧.

你有什么发现？DC与AB之间有怎样的数量关系？

【归纳】直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等「斜边的

三、例题精讲

例1如图，已知CD是4ABC的边AB上的中线，且CD=；AB.

求证：4ABC是直角三角形.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.在△48C中，4力=90。一/8,则此三角形是（）

A.锐角三角形B,直角三角形C.饨角三角形D.等腰三角形

2.已知在RSABC中，斜边上的中线CD=5cm,则斜边AB的长为（）

A.5B.6C.8D.10

3.如图，AB//CD,过点。作DE_L4C于点E.若乙。=50。，则4力的度数为（）

选做题

4.直角三角形两锐角之差是12%则较大的一个锐角是

5.如图，在△ABC中，乙48。=90。，。是AC的中点，若4C=4,则80的长为

6.下列四个条件：

①在△ABC中，ZA,NB都是锐角；

②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；

③在△ABC中，ZA-ZB=ZC；

④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5.

其中能确定△ABC是直角三角形的是（只填序号）.

【综合拓展类作业】

7.如图，在△4BC中，40是BC边上的高，CE平分44c8,若4。40=20。，Z,B=50°,求乙4cB

和乙4EC的度数.

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？

六、作业布置

1.如图，在等边△力8C中，AD1BC,BE1AC,AD,BE交于点儿则尸E的度数是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

2.如图，在中，8E是角平分线，AD1BE,垂足为D,则乙BAD、”与4/ME的关系是

A./.BAD+Z.C=Z-DAEB./.BAD=zC+/-DAE

C./.BAD=zC—Z-DAED.zC-/.BAD=Z.DAE

3.如图，在3x3的正方形网格中，则乙1+42+乙3+匕4=

4.如图所示，CD是△力BC的角平分线，DE是△力CD的高，月/CDE=68。，LB=105°.

（I）求乙DCE的度数；

（2）求心力的度数.

答案解析

课堂练习；

1.【答案】B

【解析】解：VZA+ZB=90°,

.*.ZC=180o-90o=90o,

/.△ABC是直角三角形.

故答案为：B.

2.【答案】D

【解析】解：:RtAABC中，斜边AB上的中线CD=5cm,

/.AB=5x2=10cm,

故答案为：D.

3.【答案】B

【解析】解：・・・DE14C,

：.Z.CED=90°,

VzD=50°,

・3C=90。-50。=40。，

'：AB||CD,

，4C+乙4=180°,

.••4力=180°-40°=140°,

故答案为：B.

4.【答案】51。.

【解析】设较大的锐角为x。，较小的锐角为y。，且x>y。根据题意，有以下两个方程:

仁；聋，解瞰当，

则较大的一个锐角是51。.

故填：51°.

5.【答案】2.

【解析】解：・・"43C=90。，。是47的中点，

：,AC=2BD,

'：AC=4,

:・BD=2,

故答案为：2.

6.【答案】②③④.

【解析】解；①•・・ZA,ZB都是锐角

AZA+ZB<90o

・•・△ABC不一定是直角三角形

②•••△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3

1oo

J三个内角分别为：180。乂2=30。，180°x-=60%180°x-=90°

666

/.△ABC为直角三角形

③：ZA-ZB=ZC

AZA=ZB+ZC

:.ZA+ZB+ZC=2ZA=180°

AZA=90°

••・△ABC为直角三角形

④:△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5

・•・设三个外角分别为3x,4x,5x

•••与他们相邻的内角分别为18O-3x,180-4x,180-5x

：.\80-3x+l80-4x+180-5x=l80

解得：x=30

/.180-3x=90°

••・△ABC为直角三角形

故答案为：②③④.

7.【答案】解：•・NO是8c边上的高，

：.Z-ADC=90°,

9：Z.CAD=20°,

・WC8=90°—20°=70。,

TCE平分4AC8,

：.^BCE=-Z-ACB=35°,

2

：./-AEC=+乙BCE=50°+35°=85°.

作业布置:

1.【答案】A

【解析】解：是等边三角形，ADIBC,BE1AC,

-'-AC=BC,Z-BAC=60°,^AEF=90°,

•••Z-CAD=-Z-BAC=30°,

2

匕AFE=90°-乙CAD=60°,

故答案为：A.

2.【答案】B

【解析】解：

•'-/.BAD+^ABD=90°,Z-DAE+^AEB=90%

〈BE是角平分线，

：.Z.ABE=Z-CBE,

/EB=LC+Z-CBE,

Z-AEB=Z.C+Z-ABE,

：,Z.BAD+(ABD=Z.DAE+ZC+Z.ABE,

.\Z-BAD=Z.C+Z.DAEf

故答案为：B.

3.【答案】180

【解析】解：如图所示，由网格的特点可得匕力8C=zAEF=90。，AB=EF,BC=EA，

在AABC和AAEF中

AB=EF

匕ABC=Z.AEF

BC=EA

：.LABC=△AEF(SAS)

Azi=/,EAF,

•・•乙4十乙EA尸=90°,

/.Z4+Z1=90°,

同理可得42+Z3=90。，

/.Zl+Z2