必修二32-直线的方程教案

3.2直线的方程

教案A

第1课时

教学内容：3,2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式方程

教学目标

一、知识及技能

1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围：

2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；

3.掌握宜线方程的两点的形式特点及适用范围：

4.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.

二、过程及方法

经历点斜式方程的推导过程.通过对比理解“截距”及“距璃”的区别.在应用旧知识的探究

过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.

三、情感、态度及价值观

通过体会直线的斜截式方程及一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中

普遍存在相互.联系、相耳转化等观点，能用联系的观点看问题.

教学重点、难点

教学重点：宜线的点斜式方程、斜截式.方程及两点式方程.

教学难点：直线的点斜式方程、斜截式方程及两点式方程的应用.

教学关键，抓住各种方程的形式及各种形式方程的物恭求出故此帖的方法.并储应用官线

方程的各种形式写出直线的方程.

教学突破方法：首先创设情景，通过引导学生探究能够确定一条直线的条件，并利用这些条件

写出立线的四种形式的方程，通过例题及适量的练习进行巩固和提高.

教法及学法导航

教学方法：问题教学法、讨论法.通过问题的引入，激起学生对直线方程写法探究的兴趣，总

结其规律.

学习方法：自主学习，自主探究讨论，合作交流，练习巩固.

教学准备

教师准备：多媒体课件（用r展示问题，引导讨论，出示答案）.

学生准备：直线及一次函数的关系、练习本.

教学过程

详见下页表格.

教学环

教学内容师生互动设计意图

节

使学生

学生回顾，并回答,然后教师

创设情在已有知识

1.在直角坐标系内确定一条直线，应指出，直线的方程.就是直线上任

境导入和经验的基

知道哪些条件？意一点的坐标（X,口满足的关

新课础上，探索新

系式.

知.

培养学生自

2.直线/经过点R（题，y）,且斜

0主探索的能

率为上设点P（X,川是直线/上的任

力，并体会直

意一点，请建立My及k,用，疾之间的学生根据斜率公式，可以得

线的方程，就

关系.到，当时，女=匕闻，即

是直线上任

A-A

o意一点的坐

y-y1）=k.（.x-Ab）（I）

标（x,y）

老师对基础薄弱的学生给予

满足的关系

关注、引导，使每个.学生都能推

式，从而掌握

导出这个方程.

根据条件求

概念形直线方程的

成方法.

使学生

3.（1）过点公（刘，为），斜率是〃了解方程为

的直线/上的点，其包标都满足方程（1）学生验证，教师引导.直线方程必

吗？须满足两个

条件.

使学生

学生验证，教师引导.然后教

了解方程为

（2）坐标满足方程（1）的点都在经师指出方程（1）山克线上一定点

直线方程必

过A（刘，心），斜率为A的直线/上吗？及其斜率确定，所以叫做直线的点

须满足两个

斜式方程，简称点斜式.

条件.

使学生理解

概念深4.直线的点斜式方程能否表示坐标平学生分组互相讨论，然后说明直线的点斜

化面上的所有直线呢？理由.式方程适用

范围.

续上表

教坤引导学生通过画图分析，

求得问题的解决.

y।

Pj进•步使学

5.（1）x轴所在直线的方程是什么？生理解直线

y轴所在直线的方程是什么？的点斜式方

同J

（2）经过点片JG且平行于程的适用范

X

X轴（即垂宜于f轴）的直线方程是什么？围，掌握特

（3）经过点庶'Ao,及）且平行于y殊直线方程

y轴（即垂直于*轴）的直线方程是什么？的表示形

式.

r

Qr

教师引导学勺卜.分析要用点斜式

求直线方程应已矢L哪些.条件?题目学生会运用

哪些条件已经直中贲给予，哪些条件点斜式方程

还有待去求.在，k标平面内，要画解决问题，

一条直线可以怎带法画.清楚用点斜

.例直线/经过点（）式公式求直

61B-2,3,尸

且倾斜角a=45°.求直线/的点斜式-6线方程必须

/

方程，并画出直线/.-4具备的两个

-2

应用举条件：

1

例例1.1解江直线，经过点（1）一个

R<-273）；急线k=错n45°=1定点：

代入点斜式方程依（2）行斜

y-3=x+2率.同时

画图时，只用i再找出直线1上掌握已知

的另,•点E（M,M）,例如，取行直线方程

-1,必=4,得衣的坐标为（・1，画直线的

4）,过月，A的」直线即为所求，如方法.

上图.

续上表

学生独立求出直线/的方程：y=引入斜截式

概念深7.已知直线1的解率为k,且及尸kx+b（2）方程，让学

化轴的交点为（0,b）,求直线/的方程.在此基础上，教师给出截距的概生懂得斜截

念，引导学生分析方程（2）由哪两个式方程源于

条件确定，让学生理解斜截式方程概点斜式方

念的内涵.程，是其中

一种特殊的

情形.

深入理解和

8.观察方程j，=.+b,它的形式掌握斜截式

学生讨论，教师及时给予评价.

具有什么特点？方程的特

点,

使学生理解

9.直线y="*+8在*轴上的截“截距”及

学生思考回答，教师评价.

距是什么？“距离”的

区别.

10.你如何从直线方程的角度认识

体会直线的

一次函数y=kx+b'i一次函数中k和

方法探学生思考、讨论，教师评价.归斜施式方程

b的几何意义是什么？你能说出一次函

究纳概括.及•次函数

数y=2x-1,y=3x,y--x+3

的关系.

图象的特点吗？

教师引导学生分析：用斜率判断

两条直线平行、垂直结论.思考(1)

人〃/2时，klf心匕，人有何关系？掌握从直线

(2)A，/?时，％,他：6,&有何关方程的角度

11.例2已知直线九y=k、+卜,系？在此由学生得出结论：人〃判断两条直

hi婢=hX+b：.试讨论：hCk\-k：,且1dhek\k线相互平行

应用举(1)1〃一的条件是什么?：=~1.或相互垂

例(2)K_L4的条件是什么？例2【解析】(1)若IJ/h,则直：进一步

k、=kit此时h、/：及y轴的交点不理解斜截式

同，即匕=〃；反之,k、=ki,且b、方程中hb

="时，Z〃&.于是我们得到，对于的几何意

直线lay=k\X+b.,/2：y=kx+义.

Z>.h-h=%,且与Wb：/.

_LAo而儿=-1.

续上表

12.根据已有的知识，要求直线方程，应遵循由

知道什么条件？能不能把问题转化为己1.利用点斜式解答如下问题：浅及深，由

概念的经解决的问题呢？在此基础上，学生根(1)已知直线/经过两点特殊到一般

形成据已知两点的坐标，先判断是否存在斜的认知规

《(1,2),4(3,5)，求直线/的方

率，然后求出直线的混率，从而可求出律.使学生

直线方程：程.在已有的知

3（2）已知两点识基础上获

⑴y-2=—(X-\)»

得新结论，

勺（%,电），6*2，）’2）其中

•以iA温ijni故UA知/*1

(2)y-y,=——(x-x,).新.

占一%（内H4，％H%），求通过这两点

使学生

的直线方程.懂得两点式

13.当））工%时，方程可以写成

概念的2.若点的适用范围

深化和当已知的

yy'-1Q产x,,y工>,）.片（内,与），6（为，丫2）中有M=七

两点不满足

%-y占一玉

两点式的条

或此时这两点的直线方

由于这个直线方程由两点确定，所以件时它的方

我们把它叫直线的两点式方程，简称两点程是什么？程形式.

式3.例3教学使学生

已知直线/及X轴的交点为学会用两点

教师引导学生分析题目中所给的条件有式求直线方

A（。,0）,及y轴的交点为

什么特点？可以用多少种方法来求直线程：理解截

/的方程？哪种方法W为简掂？然后求其中4工0,0工0,求直线距式源于两

出直线方程：1的方程.点式，是两

24.例4教学点式的特殊

-n---1।.

ab己知三角形的三个顶点A情形.

14.Ch〃的几何意义是什么？什么(-5,0),B(3,-3),C(0,2),使学生

是截距式方程？求BC边所在直线的方程，以及该边会根据条件

教师给出中点坐标公式，学生根据自上中线所在的直线方程.选择恰当的

己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程解

直线方程和该边上中线所在的直线方程.决问题.

在此基础上，学生交流各自的作法，并进

行比较.

续上表

使学生对本

节课所学的

教师引导学生概括：直线方程四种形知识有一个

小结式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）学生归纳后老师补充.整体性的认

互相之间的联系的理斛.识，了解知

识的来龙去

脉.

课堂作业

1.求倾斜角是直线），=-7ir+l的倾斜角的!，且分别满足下列条件的直线方程是：

4

（1）经过点（石，-1）；（2）在y轴上的截距是-5.

【解析】•.•直线），=-J5x+1的斜率A=G，.•.其倾斜角a=120°,

由题意，得所求直线的倾斜角/=（a=30,故所求直线的斜率£=lan30=y.

（1）•.•所求直线经过点斜率为且，

3

...所求直线方程是,，+1=弓（］一石），即.6K—3y—6=0.

（2）•.•所求直线的.斜率是咚，在y轴上的截距为-5,

所求直线的方程为y=gx-5,即Jit一3），-15=0.

2.直线/过点〃（-2,3）且及x轴，y轴分别交于仄4两点，若尸恰为线段力耳的中点，求

直线，的方程.

【解析】设直线/的斜库为h•.•直线/过点（-2,3）,

，直线1的方程为y-3=k［x-（-2）］,令*=0,得y=24+3：令/=0,x=---2.

k

.•"、月两点的坐标分别为力（-之-2,0）,B（0,2"+3）.•••/力的中点为（-2,3）,

k

.•.直线/的方程为y—3=m*+2）,即直线/的方程为3x-2y+12=0.

3.已知DABC三个顶点坐标月（T,8）、6（6,4）、C（0,0）,求及a'边平行的D46C的一条

中位线所在直线的方程.

【解析】设/伊、边的中点分别为氏F,则炉即为所求直线.山中点生标公式可得5,

2

1

6）、F（---,4）,

2

由直线方程的两点式可得直线EF的方程为

即为2x・3y+13=0.

第2课时

教学内容：3,2.3直线的一般式方程

教学目标

一、知识及技能

L明确直线方程一般式的形式特征：

2.会把宜线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距：

3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.

二、过程及方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题.

三、情感、态度及价值观

1.认识事物之间的普遍联系及相互转化；

2.用联系的观点看问题.

教学重点、难点

教学重点：直线方程的一般式.

教学难点：对直线方程-•般式的理解及应用.

教学关键：通过宜线一般式方程及其他形式方程的互化，理解在荏线的一股式方程条件下，H.

线平行及垂直的条件.

教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨论，在探究

的基础上，得出结论，及时进行练习巩固.

教法及学法导航

教学方法：问题教学法，练习法.教师围绕宜线方程的一般式提出一系列有针对性的问题，要

求学生思考并回答.通过一定的练习对本节知识达到巩固和提高的目的.

学习方法：自主探究，合作交流.学生通过思考并回答教师所提出的问题，达到对直线方程一

般式的理解应用.

教学准备

教师准备：多媒体幻灯片.

学生准备：回顾初中所学的二元一次方程及其解的概念.

教学过程

问题设计意图师生活动

L（1）平面直角坐标系中的每一条使学生理解教师引导学生用分类讨论的方法思考探究

直线都可以用一个关于的二直线和二元问题（1）,即直线存在斜率和直线不存在斜

元一次方程表示吗？一次方程的率时求出的直线方程是否都为二元一次方

<2）每一个关于的二元一次关系.程.对于问题（2），教师引导学生理解要判断

方程Ax+及y+C=O（A,B不同某一个方程是否表示•条直线，只需看这个

时为0）都表示一条直线吗？方程是否可以转化为直线方程的某种形式.

为此要对B分类讨论，即当B工0时和当B=O

时两种情形进行变形.然后由学生去变形判

断，得出结论：

关于乂y的二元一次方程，它都表示一

条直线.

教师概括指出：由于任何一条直线都可以

用一个的二元一次方程表示；同时，

任何一个关于及），的二元一次方程都表示

一条直线.

我们把关于的二元一次方程

Ar+By+C=O（A,B不同时为0）叫做

直线的一股式方程，简称一般式（general

form）.

2.直建方程的一般式及其他几种使学生理解学生通过对比、讨论，发现直线方程的一

形式的直线方程相比，它有什么优直线方程一般式及其他形式的直线方程的一个不同点

点？般式及其他是：直线的一般式方程能够表示平面.上的所

形有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，

式的不同点.都不能表示及.，轴垂直的直线.

续上表

3.在方程Ax+gv+C=O中，A,使学生理解教师引导学生回顾前面所学过的及“轴平

B,C为何值时，方程表示的直建二元一次方行和重合、及，轴平行和垂合的直线方程的

（1）平行于X轴：（2）平行于了轴:程的系数和形式,然后由学生自由探索得到问题的答案.

（3）及X轴重合；（4）及y重合.常数项对直

建位置的影

响.

4.例5教学使学生体学生独立完成，然后教师检查、评价、反馈.

已知直线经过点A(6,-4：,斜会把直线方指出：对于直线方程的一般式，一般作如下

4程的点斜式约定：一般按含》•顶、含)，顶、常数项顺序

率为一一，求直线的点斜式和一般

3转化为一般排列：X项的系数为正；X,),的系数和常

式方程.式，把握直线数项一般不出现分数：无特别加以要求时，

方程一般式直线方程的结具写成一般式.

的特点.

5.例6教学使学生体会先由学生思考解答，并让一个学生上黑板

把直线/的一般式方程直线方程的板书.然后教师引导学生归纳出由直线方程

x-2y+6=0化成斜截式,求出直一般式化为的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把

斜截式，和已一般式转化为斜鼓式可求出直线的斜率和直

线/的斜率以及它在X轴及)，轴

知直线方程线在)，轴上的栈距,求直线及X轴的截距，

上的截距，并画出图形.的一般式求即求直线及X轴交点的横坐标，为此可在方

直线的斜率程中令y=o,酢出x值，即直线在x轴的

和截距的方截距.

法.在直角坐标系中画直线时，通常找出直

线及两个坐标轴的交点.

6.二元一次方程的每一个解及坐使学生进一学生阅读教材第105页，从中获得对问题

标平面中的点有什么关系？宜线及步理解二元的理解.

二元一次方程的解之间有什么关一次方程及

系？直线的关系

续上表

7.课堂练习巩固所学知学生独立完成，教师检查、评价.

第105练习第2题和第3(2).识和方法.

8.小结使学生对在(1)请学牛写出R线方程常见的几种形

线方程的理式，并说明它们之间的关系.

解布•一个整(2)比较各种直线方程的形式特点和适用

体的认识.范围.

(3)求直线方程应具有多少个条件？

(4)学习本节用到了哪些数学思想方法？

课堂作业

1.直线61=0及X轴的夹角为.及y轴的夹角为.

【解析】其斜率为-J5,颈斜角为120。，所以直线及*的夹角为60°,及y轴的夹角为30°.

2.已知两点4(2,2),8(-2,4)，则线段/夜的垂直平分线方程为.

【解析】的中点为(0,3),/加斜率为一一，则四的垂直平分线的斜率为2,其方程为产2日3.

2

3.已知直线2『户4=0,则其斜率.及x轴的交点坐标为.

【解析】k=2,(-2.0).

4.直线方程AT+3y+C=0的系数小尻。分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质？

(1)及两条坐标轴都相交；(2)只及*轴相交；(3)只及y轴和交；(4)是*轴所在直线；(5)

是夕轴所在直线.

【解析】(1)当4#0,炉0时，直线及两条坐标轴都相交.

(2)当4K0,庐0时，直线只及*轴相交.

(3)当力=0,屏0时，直线只及y轴相交.

(4)当力=0,后0,门0时，直线是x轴所在直线.

(5)当力H0,8=0,a0时，直线是y轴所在直线.

教案B

第1课时

教学内容：3,2.1汽线的点斜式方程

教学目标

一、知识及技能

I.理解直线方程的点斜式、斜或式的形式特点和适用范围：

2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程：

3.体会直线的斜截式方程及一次函数的关系.

二、过程及方法

经历在已知直角坐标系内确定一条直线的点斜式方程的过程：通过对比理解“截距”及“距离”

的区别.

三、情感、态度及价值观

通过体会直线的斜截式方程及一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中

普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.

教学重点、难点

教学重点：直线的点斜式方程.

教学难点：推导直线点斜式方程的过程.

教学过程

一、情境引入

1.情境1：过定点"（X。，及）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？

2.问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？

二、新课教学

（~）点斜式方程

I.学生思考、讨论问题I.

学生可能的回答：

（1）两个点月（AI,yi）,P­（.xz，g）：

（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；

（3）斜率和直线在y轴二的截距（说明斜率存在）：

（4）直线在x轴和尸轴上的截距（学生没有学过直线在*轴上的截距，可类比，同时强调截

距均不能为0）.

2.建构数学

问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点H（2,4）和斜率六2就能决定一条直线/.

（1）你能在直线/上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？

（2）这条直线上的任意一点〃（x,/）的坐标x,y满足什么特征呢？

直线上的任意一点尸（切刀（除四点外）和A（后,必）的连线的斜率是一个不变量，即为h

V—Vi

即：k=-~,即

y-y<=k(x-xi)

学生在讨论的过程中:

（1）强调〃（X,y）的任意性.

（2）不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能

学生更容易接受，也更愿意参及.

问题3：（1）PNx\,力）的坐标满足方程吗？

（2）直线上任意一点的坐标及此方程有什么关系？

教师指出，直线上住意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都

在此直线上.

让学生感受直线的方程和方程的直•线的意义.

如此，我们得到了关于My的一个二元一次方程.这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，

今后称其为直线的点斜式方程.

3.数学运用

例1一条直线经过点Ri~2,3）,斜率为2,求这条直线的方程.

【解析】由直线的点斜式方程得广3=2（户2）,即2尸产7=0.

变1：在例1中，若将“券率为2”改为“倾斜角为45"”，求这条直线的方程：

变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90”，这条直线的方程是什么？

例2已知直线/的斜率为亿及y轴的交点是产（0,力，求直线/的方程.

【解析】根据直线的点斜式方程，得直线/的方程为广炉*（『0）,即产“产女

（二）斜截式方程

如果直线/的斜率为右且及y轴的交点为（0,b）,代入直线的点斜式方程：y-b=k（x-0）,

即

y=kx+b（2）

几何意义：A为直线的斜率，6为直线在y轴上的截距.

我们把直线/及尸袖的交点（0,b）的纵坐标b叫直线，在，粕上的豉距.方程（2）由直线的

斜率才及它在y轴上的被距8确定，所以方程（2）叫直线的斜截式方程，简称斜截式.

例3已知直线尸bx+b，A：y=k：x+以试讨论：（1）人〃人的条件是什么？（2）/.

_L/z的条件是什么？

【解析】（1）kHk'=履,且=

(2)6_L4<z>々%=-L

思考：y=kx+b是我们学过的一次函数的表达式，它的图象是一条直线，你如何从直线方程

的角度去认识一次函数？女和人府几何意义是什么？

说一说函数尸2xT,y=3x,y=-x+3的图象特点.

三、小结

(1)本节课我们学过哪些知识点；

(2)直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？

(3)求一条直我的方程，要知道多少个条件？

四布置作业

P95练习：1,2,3,4.

P100习题3.2A组：1,5,6,10.

第2课时

教学内容：3.2.2直线的两点式方程

教学目标

一、知识及技能

1.掌握汽线方程的两点的形式特点及适用范围：

2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.

二、过程及方法

在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的

特点.

三、情感、态度及价值观

认识事物之间的普遍联系及相互转化：学会用联系的观点看问题.

教学重点、难点：

教学重点：直线方程两点式.

教学难点：两点式推导过程的理解.

教学过程

一、复习回顾

师：上一节课，我们一起学习r直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，这一节，我们将利

用点斜式来推导直线方程的两点式.

二、讲授新课

y.、

1.直线方程的两点式y一-二-=x----x--.L（zX］关42，必*,2），

必一,文2一天

其中内，y,与，乃是直线两点（*,H）,（x,）的坐标.

2y2

推导：因为直线,经过点6（芭，,）,巴（々，出），并且西工乙，所以它的斜率

k="—.代入点斜式,

X2-X1

得y-ji=y2-Jl（x-x,）.

々一内

y-y.x-x

当力工）i，时，方程可以写成—―=——L.

K-y毛一再

说明：①这个方程由直线上两点确定：

②当直线没有斜率（占二%2）或斜率为0（）1=丁2）时，不能用两点式求出它的方程.

Xv

2.直线方程的截距式：一+上=1,其中小方分别为直线在x轴和j，轴上的截距.

ab