2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 （解析版）

第06讲函数y＝Asin（ωx+φ）的图象内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正（余）弦型函数一般形式：正弦型：（）余弦型：（）其中（振幅）、（角频率）、（相位）、（纵向平移量）为常数.易错辨析易错点：混淆“相位”与“初相”辨析：相位是，初相是时的相位（即），需注意时，初相仍为，与无关.概念比较与基本正（余）弦函数比较：基本函数是的特殊情况；正（余）弦型函数是基本函数经“伸缩、平移”变换后的一般形式，性质由参数共同决定.重点记忆正（余）弦型函数是基本正（余）弦函数的“变换版”，参数对应不同的图像变换方式.知识点2：图像变换及解析式特征1.相位变换（横向平移）规则：，向左（）/右（）平移个单位；推广到：需提取，即，平移量为.易错辨析易错点：直接用作为平移量（如误判为向左平移个单位）辨析：平移是对“本身”的变换，需提取，正确平移量为（即）.重点记忆+常考结论平移量公式：，方向遵循“左加右减”（针对提取后的）.2.上下平移变换规则：，向上（）/下（）平移个单位.易错辨析易错点：认为上下平移会改变函数的周期、奇偶性辨析：上下平移仅改变函数值域的上下界，不影响周期、奇偶性、单调性等核心性质.常考结论上下平移后，函数的最值为：最大值，最小值.3.周期变换（横向伸缩）规则：，图像横向伸缩为原来的倍；周期公式：（绝对值越大，周期越小）.易错辨析易错点：周期公式遗漏的绝对值（如误算周期为）辨析：周期是正数，故公式中需取的绝对值，的周期为.概念比较与振幅变换的区别：周期变换是“横向伸缩”，影响的系数；振幅变换是“纵向伸缩”，影响的绝对值，两者互不影响.重点记忆+常考结论周期仅与有关，与均无关；若，则.4.振幅变换（纵向伸缩）规则：，图像纵向伸缩为原来的倍；振幅定义：（最大值与最小值的差的一半）.易错辨析易错点：认为会改变振幅大小辨析：振幅是，仅使图像关于轴对称，不改变振幅的数值（如的振幅仍为2）.常考结论若函数值域为，则振幅，纵向平移量.知识点3：图像变换的综合应用1.描述变换过程（以为例）步骤（两种顺序）：顺序1：相位变换→周期变换→振幅变换→上下平移；顺序2：周期变换→相位变换（注意平移量变为）→振幅变换→上下平移.易错辨析易错点：先周期变换后相位变换时，平移量未除以辨析：若先将横向压缩为，再向左平移个单位，得到（平移量需除以）.2.由图像求解析式步骤：1.求：；2.求：；3.求：由周期（通过图像相邻最值点/零点距离求）；4.求：代入图像上的已知点（优先选“五点法”中的点，如正弦型的起点、最高点）.易错辨析易错点：求时忽略的符号辨析：若，可先利用诱导公式将化为正数（如），再求，避免符号错误.重点记忆“五点法”选点：正弦型函数的五点为对应的点；余弦型为对应的点（起点为最大值点）.知识点4：图像与性质的结合应用核心方法：“整体代换法”——令，将正（余）弦型函数转化为基本正（余）弦函数（或），再结合基本函数的性质求解.常考结论1.单调区间：代入基本函数的单调区间，解关于的不等式（注意正负对不等号方向的影响）；2.对称轴/对称中心：正弦型对称轴为，对称中心为（）；余弦型对称轴为，对称中心为（）.【题型1根据图像变换求解析式】例1．（25-26高二上·上海·期中）将函数y=sin2x+3cos2x的图象沿x轴向右平移【答案】2【分析】首先用辅助角公式进行化简，然后根据图像平移的结论即可求解.【详解】y=sin2x+3cos2x=212平移后的解析式为y=2sin故答案为：2例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数f(x)=3sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)图像向左平移φ个单位长度(0<φ<【答案】π【分析】由周期求出ω，即可求出f(x)的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到φ的值.【详解】因为f(x)=3sin(ωx+所以2πω=π，解得ω=将y=f(x)的图象向左平移φ个单位长度，可得f(x)=3根据所得图象关于y轴对称，可得2φ+π4=又0<φ<π2，所以故答案为：π8变式1．（24-25高一下·上海·期末）把函数y=cosx的图象向右平移π2个单位得到曲线C1，再把曲线C1上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线CA．y=sin2x B．y=−cos2x C．【答案】D【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式.【详解】依题意，曲线C1:y=cos故选：D变式2．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数y=f【答案】cos【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.【详解】函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得y=即f故答案为：cos【题型2描述正余弦函数的变换过程】例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数y=f(x)，fx=3cosA．向右平移π6 B．向右平移C．向右平移π3 D．向右平移【答案】A【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移π6【详解】易知将fx=3cos2x向右平移故选：A例2．（24-25高一下·上海·期中）函数fx=3cos2x−πA．向右平移π6 B．向右平移C．向右平移π3 D．向左平移【答案】B【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解.【详解】因为fx所以函数fx=3cos2x−π故选：B.变式1．（24-25高二上·上海·月考）把函数y=cos2x+3sin2xA．向左平移π6个单位 B．向右平移πC．向左平移π12个单位 D．向右平移π【答案】D【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位.【详解】y==2=2=2sin则y=2sin将y=2sin2x+π12故选：D.变式2．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)（方法1：方法2：（1）上面的两种三角函数的图象变换的流程图中，向左（右）平移多少个单位长度？（2）上面的两种三角函数的图象变换的流程有什么不同？【答案】（1）φ，φ（2）先伸缩后平移变换的平移量为φω个单位长度；先平移后伸缩变换的平移量为φ【分析】根据图象平移规律可得答案.【详解】（1）φ，φ（2）方法一是先伸缩后平移变换的平移量为φω方法二是先平移后伸缩变换的平移量为φ个单位长度.【题型3振幅相位变换求解析式】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数y=Asinωx+φ（A>0，ω>0）的振幅是3，最小正周期是2π3【答案】y=3【分析】由振幅确定A，最小正周期确定ω，初始相位确定φ.【详解】因为函数y=Asinωx+φ（A>0，最小正周期是2π3，初始相位是π所以A=3,T=2πω即这个函数的表达式为y=3例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=2【答案】振幅为A=2，频率为f=15，初始相位为【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解.【详解】对于y=2其振幅为A=2，周期T=则频率为f=1T=变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数fx=sin【答案】−【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得.【详解】因为函数为fx=sin故答案为：−π变式2．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数y=sin(2x+【答案】π【分析】根据正弦型三角函数的物理意义判断初相即可.【详解】解：因为初相是φ，即为π4故答案为：π4【题型4由图像求解析式】例1．（25-26高二上·上海·开学考试）函数fx=Asinωx+φ

【答案】2【分析】由题可得A=2，再求出ω=π4，再结合【详解】由题中图象可得A=2，周期T=2×6−2=8，则又f2=2，则2sinπ4又因为φ<π2，所以可得φ=0故答案为：2sin例2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数fx=Asinωx+φω>0,0<φ<【答案】f【分析】由f(x)图象可得振幅和周期，从而可得A,ω，再利用最高点的坐标可求φ，得解.【详解】根据函数f(x)的部分图象知，A=2，T=4×π3−由fπ12=2sin2×π12+φ=2又0<φ<π2，所以φ=π故答案为：fx变式1．（2025高三·上海·专题练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，则

【答案】2【分析】先根据图象求出函数f(x)的解析式，然后根据平移法则求出g(x)解析式即可.【详解】由已知，函数f(x)=2sin

由图可知T2则函数f(x)周期T=2π，所以ω=因为5π6+−π所以fx=2sinx+π6，函数

根据平移法则，得gx故答案为：2sin变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数fx=Asinωx+φ【答案】2【分析】先根据图象得到A=2和T=π，进而求出ω=2，代入特殊点坐标求出φ=−【详解】由图象可得A=2，34T=5因为ω>0，所以2πω=将5π12,2代入解析式得，2sin2×因为|φ|<π2，解得故fx故答案为：2【题型5由图像变换求三角函数的性质】例1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）将函数y=3cos2x+π3的图象向右平移φ【答案】5π12/【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得φ的值.【详解】将函数y=3cos2x+π3的图象向右平移根据所得函数为奇函数，可得−2φ+π3=π2+kπ(k∈Z)，即φ=−故答案为：5π例2．（23-24高三上·天津·期末）已知函数fx=Asinωx+φω>0,A>0,φ<π2的对称中心到对称轴的最小距离为π4，将①x=π6是fx的一个对称轴；②−③fx在0,π2上单调递增；④若fx以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用三角函数性质可得fx【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为π4可得14T=π4将fx的图象向右平移π3个单位长度后可得其图象关于y轴对称，所以fx为偶函数，则−2π解得φ=7π6+kπ，k∈Z，由φ由fx1−f因此fx对于①，当x=π6时，所以x=π6是对于②，当x=−π3时，所以−π3,对于③，当x∈0,π2时，可得2x+π所以fx在0对于④，若fx所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，由fx=12sin2x+π所以正确的个数只有①和④共2个.故选：B【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确.变式1．（24-25高三上·上海徐汇·月考）已知函数fx=2sin2x+π6，将y=fx的图像向左平移φ0<φ<π个单位后得到函数y=gx【答案】π【分析】根据三角函数fx=Asinωx+θ的图象变换规律可得g(x)=2sin2x+2φ+π6，设【详解】把函数f(x)=2sin2x+π得到函数y=g(x)=2sin再根据y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,设g(x)的对称轴x=x0,则最高点的坐标为它与点(0,3)的距离的最小值为1,即1+x02可得g(0)=2,即2sin∴φ=π故答案为：π6变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π），其图像的一个对称中心是(−π6,0)，将f(x)图像向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图像.若对任意x1,【答案】π【分析】根据函数的对称性求出φ的值，利用图象变换关系求出g(x)，构造函数h(x)=f(x)−g(x)，将条件转化为当x∈[0,t]，h(x)为增函数，利用函数的单调性进行求解即可．【详解】∵f(x)一个对称中心是(−π∴−π6×2+φ=kπ，k∈Z0<φ<π，∴当k=0时，φ=π3将f(x)图像向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)即g(x)=sin由f(x1)−f(设h(x)=f(x)−g(x)，则不等式等价为当x1<x即若对任意x∈[0,t]，h(x)为增函数．h(x)==3当x∈[0,t]时，2x∈[0,2t]，所以2x+π6∈[因为对任意x∈[0,t]，h(x)为增函数，所以2t+π6≤π2即t的最大值为π6故答案为：π6【题型6三角函数图像变换的综合题型】例1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数y=fx的表达式为f(1)求函数y=fx(2)将函数y=fx的图象向右平移π6个单位，得到函数y=gx的图象，求函数y=g【答案】(1)π,x=(2)增区间：0,π3【分析】（1）化简fx（2）根据图象平移求出gx=sin【详解】（1）由已知fx=32sin则函数fx的最小正周期为T=令2x+π6=即对称轴方程为x=π（2）由（1）知fx则gx∵0<x<∴−∴−∴0<sin即gx在0,π2由−π6<2x−即gx在0,π2例2．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为R的函数y=fx的解析式为f(1)求函数y=fx(2)已知方程fx=a在区间−π(3)将函数y=fx的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数y=gx的图象．函数y=hx的解析式为hx=mfx−m，x∈【答案】(1)π(2)3(3)−【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简fx（2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可；（3）利用函数的平移变换求出gx，按m的正负分情况讨论h【详解】（1）由题意可得f(x)=4=4=sin所以T=2（2）由（1）可知，当x∈−π4

方程fx=a有两个不同的解，由正弦函数的图象可知（3）将函数y=fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2可得y=2sin纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18可得y=2sin3x−当x1∈0,π3当x2∈π6,因为h(x)=mf(x)−m=m①当m>0时，h(x)∈−m,m由题意可得−1,2⊆则−1≥−m2≤m3−1，解得m≥1②当m<0时，h(x)∈m由题意可得−1,2⊆则−1≥m3−12≤−m，解得m≤−综上所述，m∈−变式1．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知函数f(1)写出fx(2)若不等式fx−m<2对任意x∈(3)将fx的图象先向左平移π12个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数gx的图象.若关于x的方程gx=a【答案】(1)k(2)1,4(3)0,2【分析】(1)令2kπ(2)利用正弦型函数的基本性质求出函数fx在x∈π4,π(3)利用三角函数图象变换求出函数gx的解析式，分析可知直线y=a与函数gx在0,π【详解】（1）令2kπ所以fx的单调增区间k（2）因为x∈π4,所以，12所以，fx因为不等式fx−m<2所以，m−2<fx<m+2对任意则m−2<fxmin=2因此，实数m的取值范围是1,4（3）将fx的图象向左平移πy=2再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得到函数gx当0≤x≤π时，−因为关于x的方程gx=a在所以，直线y=a与函数gx在0,

由图可知，当a∈0,2∪3时，直线y=a与函数g因此，实数a的取值范围是0,2∪变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx

(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(mx)(m>0)在−π2,(3)将函数y=fx的图象向右移动π6个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的a0<a<1倍得到y=gx的图象，若y=gx在区间−1,1【答案】(1)f(x)=(2)14(3)0<a≤4【分析】（1）观察图象确定函数f(x)的最值，周期，由此可求A，ω，再结合关系fπ12=2及θ的范围，求（2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求m的最大值即可，（3）根据函数图象变换结论求函数y=gx的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求a【详解】（1）设函数fx=Asin观察图象可得函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，3所以T=π所以A=2，2所以ω=2，又fπ12=所以2×π12+θ=2kπ+所以θ=所以f(x)=2（2）由条件可得g(x)=2sin(2mx+设t=2mx+π3，则当−π因为g(x)=f(mx)(m>0)在−π2由条件，−mπ所以2mπ3+所以0<m≤1所以m的最大值是14（3）因为函数y=fx的图象向右移动π6个单位，可得函数将y=2sin2x图象的上各点的横坐标缩短到原来的a所以g(x)=2令g(x)=2，可得sin2ax=1所以x=akπ+a因为y=gx在区间−1,1上至少有30又14×aπ所以−15×aπ+aπ所以a≤459π所以0<a≤4【题型7三角函数的实际应用】例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度ym关于时间tmin的函数表达式为：y=Asinωt+φ+b，A>0，ω>0(1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式：(2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过55m【答案】(1)y=30sin(2)4分钟．【分析】（1）由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式；（2）解不等式y>55后可得．【详解】（1）中心点O距地面40m，则b=40，摩天轮的半径为30m，即A=30，T=12，ω=2最低点到地面距离为10m，所以30sinφ+40=10，sinφ=−1，又φ∈[−所以所求表达式为y=30sin（2）y=30sin(π取一个周期内，有π6<π6t−所以在摩天轮转动一圈内，点P有4分钟的时间距离地面超过55m．例2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数ht=Asin(ωπt)．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为y=Ht，部分图像如图所示，图像过点(1,0),(3,0),(5,0)．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数【答案】3【分析】由H(53)=−32，得到sin(ωπ×53)=0，求得ω=3k5【详解】由函数Ht因为H(53)=−所以−32+所以ωπ×5又由函数Ht的图象过点(1,0)，可得H即sin(ωπ)=0，可得ωπ=因为0<ω<8，所以ω为3的倍数，所以ω=3或ω=6，当ω=6时，可得Ht则H(t+1)=sin此时1是函数Ht当ω=3时，可得Ht则H(t+2)=此时2是函数Ht的一个周期，符合函数y=Ht的图象，所以故答案为：3.变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：y=10−Asinπ12t+θ，其中A>0，t∈0,24(1)若设定θ=π3，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求(2)若设定A=2，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①θ=π3；②θ=4π3，两个小组一天需要降温的时长分别为L1和【答案】(1)4(2)L1【分析】（1）首先利用代入法求函数的最大值和最小值，再根据条件列不等式，即可求解；（2）根据题意求解不等式y>11的解集，并根据三角函数的图象变换和性质进行解释.【详解】（1）当θ=π3时，因为t∈0,24，所以π所以sinπ12t+所以10+A−10−A≤8，所以A≤4，所以（2）因为A=2，所以y=10−2sin①当θ=π3时，令y=10−2sin所以2kπ−5π6又t∈0,24，所以t∈10,18，所以②当θ=4π3时，y=10−2所以2kπ−5π6又t∈0,24，所以t∈0,6∪22,24，所以解释：函数y=10−2sin可以由y=10−2sin可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变.变式2．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动t（单位：分钟）后距离地面的高度为H（单位：米），转一周大约需要15分钟.(1)已知H关于t的函数关系式满足Ht=Asinωt+φ+B（其中A>0，ω>0(2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？【答案】(1)H(2)5【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出A,B，根据转一周的时间计算出ω，再结合初始位置计算出φ，由此可求Ht（2）化简Ht，根据Ht≥40【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面50m，最低点距离地面50−40=10所以B+A=50B−A=10，所以A=20又因为转一周大约需要15min，所以ω=所以Ht又因为H0所以sinφ=−1且φ≤π所以Ht（2）因为Ht令−20cos2πt又因为t∈0,15，则2πt15所以5≤t≤10，且10−5=5min故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有5min一、核心概念一般形式：正弦型：；余弦型：（）参数意义：（振幅）、（周期）、（初相）、（纵向平移量）二、图像变换（4类）变换类型规则（以正弦型为例）易错提醒相位变换平移量，左加右减需提取，勿直接用作平移量周期变换横向伸缩倍，周期周期公式必取振幅变换纵向伸缩倍，振幅为仅翻折，不改变振幅上下平移平移个单位，值域变为不影响周期/奇偶性三、核心应用（2类高频考点）1.由图像求解析式（步骤）1.求：；2.求：；3.求：由周期得4.求：代入“五点法”点（如正弦型的起点/最高点）2.性质结合（整体代换法）令，转化为基本正（余）弦函数：单调区间：代入基本函数区间，注意正负对不等号的影响对称性：正弦型：对称轴，对称中心余弦型：对称轴，对称中心（）一、单选题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数y=2sin2x+π6的图象，只需把函数A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的12C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的12【答案】C【分析】得到函数y=2sin2x+π【详解】得到函数y=2sin2x+π故选：C．2．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知fx=sinx+πA．函数y=fxgB．函数y=fxC．将fx的图象向左平移π2单位后得D．将fx的图象向左平移3π2【答案】D【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案.【详解】由诱导公式，fx=sin所以y=fx对于A，y=fxgx对于B，y=fxgx对于C，将fx的图象向左平移π2单位后得对于D，将fx的图象向左平移3π2单位后得故选：D.3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数y=sin2x+π3的图象向右平移π3①函数y=fx的最小正周期为2②函数y=fx的图象关于x=−③x=7π6④函数y=fx在−A．①③ B．②④ C．②③ D．③④【答案】C【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可求解．【详解】由题可知，fxT=2f−f7π当x∈−π12因为y=sinx在故选：C．4．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数y=sin(2x+π3)A．向左平移π2个单位 B．向左平移πC．向右平移π2个单位 D．向右平移π【答案】B【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.【详解】y=将函数向左平移π4个单位得：故选：B5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数f(x)=2sinωx+π6（ω>0），有下列结论：①若ω=2，则f(x)在0,π3上单调递增；②若fπ3+x=fπ3−x，则正整数ω的最小值为2；③若ω=1，函数y=f(x)的图像向右平移π6个单位长度得到A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】①计算2x+π6的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算【详解】①当ω=2时，f(x)=2sin2x+π6，因为此时f(x)不是单调递增函数，故①不正确；②若fπ3+x=fπ则ω⋅π3+π6则正整数的最小值为1，故②不正确；③若ω=1，y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到g(x)=2所以g(x)是奇函数，故③正确；④x∈0,π时，f(x)在0,π上有且仅有3个零点，则3π<ωπ+综上，正确的是③，个数为1个.故选：A.6．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数fx=AsinA．函数y=fx的图象关于点πB．函数y=fx的解析式可以为C．函数y=fx在0,πD．若把y=fx图象上所有的点向右平移π12【答案】B【分析】对B，利用图象求出函数fx的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用x∈0,π可得2x−【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得A=2，且3T4=13π12又fπ3=2，即2⋅所以fx对于A，因为2×π6−π6对于C，因为x∈0,π，所以2x−π6∈对于D，把fx图象上所有点向右平移π12个单位，则所得函数故选：B.二、填空题7．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数y=sin4x−π3的图象，只需将函数y=sin【答案】右π【分析】y=sin【详解】y=sin故要得到函数y=sin4x−π3的图象，只需将函数故答案为:右；π128．（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到y=cos2x−π4的图象，只要将y=sin【答案】左；π8【分析】利用诱导公式将y=cos【详解】y=sin若设fx则fx+∴应向左平移π8故答案为：左；π89．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的振幅是2，最小正周期是π2，初始相位是【答案】y=2【分析】根据y=2sin【详解】由题意A=2，T=2πω=π所以解析式为y=2sin故答案为：y=2sin10．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数f(x)=sinx的图象向右平移π6个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则【答案】π3+k【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数y=g(x)，再由正弦函数的性质求解.【详解】将函数f(x)=sinx的图象向右平移π6再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，可得g(x)=令π2+2kπ解得π3+kπ则g(x)的单调递减区间为π3+kπ故答案为：π3+k11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数fx=cosωx+π6ω>0的图象向左平移π【答案】4【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于ω的表达式，即可解出正实数ω的最小值.【详解】将函数fx=cos得到函数y=cos因为gx由题意可知，函数y=cosωx+π所以πω3+因为ω>0，故当k=1时，ω取最小值4.故答案为：4.三、解答题12．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：x（时）03691215182124y（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)请从y=ax+b，y=Asinwx+φ+B，y=coswx+φ这3个函数中选择一个函数近似描述某天(2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；(3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？【答案】(1)y=Asin(2)f(x)=2.5(3)1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港；4小时；【分析】（1）结合散点图即可判断；（2）结合散点图即可求解；（3）由（2）求解2.5sin【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，根据图象可考虑用函数y=Asin（2）由已知数据结合图象可得A=2.5，B=5，T=12，ω=2故f(x)=2.5sin又f(0)=2.5sinφ+5=5所以f(x)=2.5sin（3）由题意可得y=2.5sinπ6x+5，则所以π6+2kπ又0≤x≤24，取k=0可得：1≤x≤5，取k=1，可得13≤x≤17，所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间.13．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数fx(1)求函数y=fx(2)写出函数fx(3)当x∈−2π【答案】(1)fx(2)对称轴方程为x=kπ2(3)−5【分析】（1）由函数fx的图象，得到T=π，求得ω=2，再由f(π（2）根据正弦函数的对称轴公式和对称中心公式整体代入计算即可；（3）由6f2x−3fx【详解】（1）解：由函数fx的图象，可得T4=π12因为f(π12)=可得π6+φ=π又因为φ<π2，可得φ=（2）因为fx=sin解得x=kπ2令2x+π3=kπ,k∈（3）由6f2x−3因为x∈−2π当2x+π3∈−π则2x1+当2x+π3∈0,2π3时，综上所述，方程8f2x14．（24-25高三上·上海·月考）设fx(1)若ω=1(2)某同学用“五点法”画函数y=fxωx+φ0ππ3π2πx▲π5π2π11πsin01▲−10请将上表▲处的数据补充完整，并求出函数y=fx(3)设ω=1，φ=0，gx=f【答案】(1)[−5π(2)补充见表格，函数解析式为fx(3)[0,2【分析】(1)将ω=1(2)根据五点法表格中的已知数据，联立方程组，求出函数解析式；(3)由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简g(x)的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【详解】（1）因为ω=1，φ=令−π2+2kπ≤x+所以函数的严格增区间为[−5π（2）由题意ω·16π+φ=所以函数解析式为fx令2x+π6=0，则x=−π12,令x=所以将表格补充完整为：ωx+φ0ππ3π2πx−π5π2π11πsin010−1（3）若ω=1，φ=0,则f(x)=sing因为x∈[0,π2]，所以

2x−所以22sin所以函数y=gx值域为[0,15．（2025·陕西·模拟预测）已知函数fx(1)求fx(2)先将fx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移5π12个单位长度，得到函数gx的图象，若对任意的x∈0,【答案】(1)kπ+π(2)−【分析】（1）首先根据周期公式求出ω的值，进而得到函数fx的表达式，再根据正弦函数的单调性求出f（2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出gx的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m【详解】（1）因为fx的最小正周期为π，所以ω=2所以fx令2kπ+π2≤2x−π6故fx的单调递减区间为kπ+（2）由题可知将fx得函数y=sinx−π得到函数gx令y=gx令t=sinx+π4，因为y=−t所以当t=12时，y=−t所以3m2−4m+54故实数m的取值范围为−∞16．（25-26高二上·四川资阳·开学考试）已知函数fx=3(1)求fx(2)将函数fx的图象向右平移π6个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=gx的图象．若g(x0【答案】(1)f(2)cos【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出ω的值，即得函数解析式；（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到gx的解析式，由题求得sin2x0−π6【详解】（1）因f=23由函数fx的相邻两条对称轴的距离为π2，所以函数fx则ω=2ππ（2）将函数fx的图象向右平移π6个单位长度，得再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到gx因为g(x0)=4因为x0∈0,π3所以cos=417．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知f(1)某同学用“五点法”画出函数y=fxx−π7ωx+φ0ππ32f0200根据表格，直接写出函数y=fx(2)若fx=103sinx2cosx2(3)对于（2）中的函数y=gx，证明：存在无穷多个互不相等的正整数x0，使得【答案】(1)f(2){xx=π(3)证明见解析【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可补全表格数据，并求函数的解析式；（2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数gx的解析式，再求函数g（3）根据（2）的结果，不等式转化为sinx>【详解】（1）由表格数据可知，ω−π2由ωx+φ=π2时，fx所以fx（2）f将函数y=fx的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数由gx=10sinx−5=0，可得sinx=或则函数的零点所组成的