2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破03 正余弦定理常考题型归纳 （原卷版）

重难点突破03正余弦定理常考题型归纳内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：必备核心知识1.正余弦定理核心正弦定理：；核心变形：（边角互化关键）、正弦定理：（为外接圆半径）；核心变形：①边化角：、、（适用于式子为正弦齐次式或需用角表示边的场景）；②角化边：等（适用于用边表示角简化计算）；③隐含结论：（因，适用于消去一个角的恒等变换）余弦定理：；核心变形：（求角核心）余弦定理：（为角对边）；核心变形：（求角核心，适用于已知三边或两边夹角求角，可直接判断角为锐角、直角或钝角）；适用场景：涉及边的平方关系、已知两边夹角求第三边时优先使用2.特殊线段公式中线：；角平分线：（比例）、；高线：①中线：（为边上中线），适用于已知两边求中线或已知中线求边长；辅助思路：可拆分三角形为两个小三角形，用余弦定理列方程求解（当记不清公式时适用）；②角平分线：比例关系（在上），适用于求线段比例或拆分边长；长度公式，适用于直接求角平分线长度；辅助思路：面积法（）建立方程，避免记复杂公式；③高线：（为边上高线），适用于求高线长度或通过高线求角/边；核心要点：高线与对应边垂直，可构建直角三角形用三角函数求解3.面积与周长核心面积：；周长：①面积：核心公式（已知两边夹角优先用，高频考点）；关联外接圆：（已知三边和外接圆半径，或已知两边及外接圆半径求面积）；关联内切圆：（已知周长和内切圆半径，或求内切圆半径）；海伦公式（，已知三边直接求面积，无需求角）；②周长：基础公式；转化公式（已知外接圆半径和角，或求周长最值时适用）4.外接/内切圆关键外接圆：；内切圆：（）；直角三角形：①外接圆：核心公式（已知一边及对角直接求，最常用）；辅助公式（已知三边或面积时求）；特殊结论：直角三角形（快速求解，无需计算角）；②内切圆：核心公式（为半周长，已知面积和周长即可求）；特殊结论：直角三角形（为斜边，直接用直角边和斜边求解）；实用要点：、常与面积、边长联动，解题时可优先关联面积公式5.辅助结论恒等变换：、；最值：基本不等式；内角和①恒等变换：常用公式（二倍角，适用于化简三角函数式）、（和差化积，求角的三角函数和最值时优先用）；核心技巧：利用将多角转化为单角（如），简化运算；②最值相关：基本不等式（，适用于边长乘积或和的最值，注意等号成立条件）；内角范围约束：，故，（求最值时需结合范围判断）；③必备前提：（所有三角形问题的隐含条件，恒等变换、求角范围必用）知识点2：必备核心解法1.综合解三角形①判断已知条件类型（两角一边/两边一角/三边）；②选定理：两角/两边对角用正弦，两边夹角/三边用余弦；③验证解（大角对大边、内角和）①判断已知条件类型：明确是“两角一边”（如）、“两边一角”（如）还是“三边”（），这是选定理的关键；②精准选定理：两角一边/两边及其中一边的对角→优先正弦定理；两边夹角/三边→优先余弦定理；③验证解的合理性：核心依据“大角对大边”（如则）和“内角和为”；特别注意：两边及对角题型需先算，对比与、的大小，判断解的个数（无解/一解/两解），避免漏解或多解2.判断三角形形状①边化角：正弦定理转化为角，恒等变换判断角关系；②角化边：转化为边，代数运算判断边关系；③结合大角对大边快速判定核心思路：通过边角互化转化为纯边或纯角关系，再判断关系；①边化角法：用正弦定理将边转化为角，结合恒等变换化简，判断角的关系（如则或）；适用场景：式子中角的三角函数形式更易化简时；②角化边法：用正弦定理将角转化为边，通过代数运算（如配方、因式分解）判断边的关系（如则直角三角形）；适用场景：式子中边的关系更直观时；③快速判定技巧：结合“大角对大边”，若已知角的大小关系，可直接对应边的关系，辅助验证形状3.面积与周长计算面积：已知两边夹角直接用，三边用海伦公式，边角混合先补全缺失量；周长：已知边角用正弦转化求和，已知特殊线段先求边长再求和①面积计算：按已知条件选公式：已知两边夹角→直接用；已知三边→用海伦公式；已知边角混合（如）→先由正弦定理求另一边，再用夹角面积公式；已知或→用或；关键：若缺少核心量（如、某条边），先通过正余弦定理补全；②周长计算：已知三边→直接相加；已知边角（如）→用正弦定理将角转化为边（、），再求和；已知特殊线段（中线/角平分线）→先通过专用公式求对应边长，再汇总三边求和；实用技巧：周长与面积联动时，可先求面积再反推边长，或反之4.中线/角平分线/高线题型中线：中线定理/向量法/拆分三角形列余弦方程；角平分线：比例定理/长度公式/面积法；高线：面积法/拆分直角三角形求解①中线题型：优先策略→中线定理（已知两边求中线或已知中线求边，直接套公式）；备选策略：向量法（），通过向量数量积求角（已知中线和两边，求夹角时适用）；应急策略：拆分三角形（如和），利用两三角形共中线，列余弦定理方程（记不清中线公式时用）；②角平分线题型：核心步骤→先由角平分线比例定理（）求线段比例，拆分边长；求长度→用角平分线长度公式或面积法（，代入面积公式建立方程，计算量更小）；③高线题型：最简方法→面积法（，已知面积和对应边即可求）；核心思路→高线构建直角三角形，利用三角函数（如）或勾股定理求未知量（已知角或其他边时适用）；注意：高线可能在三角形内或外，需结合三角形类型（锐角/钝角）判断5.恒等变换题型①边角互化（齐次式优先）；②用内角和消去一角；③结合二倍角、和差化积化简；④按所求目标定向变形核心目标：化简式子，求出未知角或边的关系；①边角互化：优先处理齐次式（判断标准：各项边的次数相同，或角的正弦次数相同，如、），非齐次式需结合其他定理（如余弦定理）；②消角技巧：利用，将其中一个角用另外两个角表示（如），代入式子消去一个角，减少变量；③化简方向：结合所求目标，若求角则化简为单一角的三角函数（如），若求边则化简为边的代数关系；④常用工具：二倍角公式、和差化积公式、同角三角函数基本关系（），灵活搭配使用6.外接/内切圆问题①求半径：套核心公式，补全缺失量；②关联边/角：将、代入定理建方程；③直角三角形用特殊结论快速解①求半径：核心逻辑→套对应核心公式，缺什么补什么；如求缺，则先由余弦定理求，再求；求缺，则先由正余弦定理求面积；②关联边/角：将、代入正余弦定理或面积公式，建立等式（如已知和，则，可直接用表示）；③特殊三角形简化：直角三角形直接用专用结论（），等边三角形、（为边长），节省计算时间7.实际应用①建模转化为三角形，标注已知量；②选正弦/余弦定理；③计算求解；④验证实际合理性核心步骤：建模→选定理→计算→验证；①建模转化：将实际场景（如测量距离、高度）转化为三角形问题，明确已知量（边长、角度：仰角/俯角/方位角）和所求量；关键：准确标注角度，方位角是“正北顺时针转至目标方向的角”，仰角/俯角是“视线与水平方向的角”，利用平行线性质转化为三角形内角；②选定理：根据建模后的三角形已知条件，按综合解三角形的定理选择原则判断（两角一边用正弦，两边夹角用余弦）；③计算求解：代入定理公式计算，注意单位统一（如海里、米）；④验证合理性：结果需符合实际场景（如长度为正、角度在合理范围），避免因建模错误导致荒谬答案8.面积与周长最值面积最值：固定角与对边，用余弦+基本不等式求最大值；周长最值：固定角与对边，和差化积求三角函数最大值，或用基本不等式关联边长核心思路：利用定理和不等式/三角函数单调性求最值，关键验证等号成立条件；①面积最值：常见场景“固定角和对边”→由余弦定理，结合基本不等式，求出的最大值，再代入得面积最大值；等号成立条件：（此时三角形为等腰三角形）；②周长最值：常见场景“固定角和对边”→由正弦定理将周长转化为，利用和差化积公式，当时最大，即周长最大；也可利用基本不等式关联边长求和的最值；注意：所有最值需满足“能构成三角形”，即等号成立时的边/角关系符合内角和为、大角对大边的条件知识点3：常见误区规避1.综合解三角形误区：忽略两边对角的解个数判断、未验证角范围；规避：先算定解数，检查值范围，结合大角对大边验证误区1：忽略两边对角题型的解个数判断，直接得出一个解，导致漏解或多解；原因：未考虑三角形大角对大边的隐含条件；规避：先计算，对比与、的大小（无解，一解，两解，一解），结合示意图辅助判断；误区2：未验证角的范围，出现仍继续计算；规避：先检查值是否在内，再结合大角对大边验证角的合理性（如则，若求出则解错误）2.判断形状误区：随意约去公因式漏解；规避：移项用和差化积化简，确保不遗漏解误区：等式变形时随意约去含三角函数或边长的公因式（如由直接约去得，忽略的情况），导致漏解；原因：未考虑公因式可能为0或三角函数的多解性；规避：优先移项，将式子化为“一边为0”的形式（如），再用和差化积等公式化简（转化为），逐一分析因式为0的情况，确保不遗漏解3.特殊线段题型误区：混淆公式、误用定理；规避：牢记公式核心，角平分线先求比例再求解，高线标注垂直关系明确对应角误区1：混淆特殊线段公式（如错记中线定理为），导致计算错误；规避：牢记公式核心逻辑（中线定理：4倍中线平方=2倍两边平方和-第三边平方），记不清时用拆分三角形列方程的方法替代；误区2：角平分线题型直接用余弦定理求长度，计算量大且易出错；规避：先由角平分线比例定理拆分边长，再用面积法建立方程，减少计算量；误区3：高线与非对应边关联（如将边上的高线错用为）；规避：画图标注高线与边的垂直关系，明确对应边，关联或（即高线=邻边×对角正弦）4.恒等变换误区：忽略内角和关联；规避：优先用内角和消去一角再化简误区：忽略三角形内角和的关联作用，单独化简多个角的三角函数，导致式子复杂无法求解；原因：未利用的隐含条件简化变量；规避：看到式子中有多个角（如、、）时，优先用内角和消去一个角（通常消去，转化为、的关系），再进行恒等变换，减少变量个数5.外接/内切圆误区：混淆半径公式；规避：牢记关联边与对角正弦，关联面积与半周长误区：混淆外接圆与内切圆半径公式（如错用、）；原因：未明确两半径的核心关联对象；规避：牢记核心区别：外接圆半径关联“边和对角的正弦”（核心公式），内切圆半径关联“面积和半周长”（核心公式）；辅助记忆：直角三角形的特殊结论（），通过特殊情况验证公式正确性6.实际应用误区：混淆角定义、建模错误；规避：明确方位角/仰角定义，用平行线性质转化角度为三角形内角误区1：混淆方位角、仰角/俯角的定义，导致建模错误（如将方位角当作三角形内角、将俯角当作与竖直方向的角）；规避：建模时先明确角的定义，画图标注：方位角从正北顺时针标注，仰角/俯角与水平方向平行标注，再利用平行线的内错角、同旁内角性质，将实际角度转化为三角形的内角；误区2：未验证结果的实际合理性（如求出的距离为负数、角度大于180°）；规避：计算完成后，检查结果是否符合实际场景（长度为正、角度在0°~180°之间），不符则重新建模或检查计算7.最值问题误区：忽略基本不等式等号条件、扩大角范围；规避：验证等号成立的边/角关系，结合题设确定角范围误区1：用基本不等式求最值时，忽略等号成立条件（如未验证是否能构成三角形）；原因：未考虑“等号成立”与“三角形存在”的兼容性；规避：求出最值后，必须验证等号成立时的边/角关系是否符合三角形定义（如且，则三角形为等边三角形，符合内角和要求）；误区2：扩大角的范围（如认为的最大值为1，就直接取，忽略题设中的约束条件）；规避：先结合题设已知角，确定未知角的范围（如已知，则，），再在范围内求三角函数的最值【题型1正余弦定理面积公式综合解三角形】例1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2+3c例2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）△ABC中，A=2π3，b=1，sinC=2变式1．（2025·上海徐汇·一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=4，b=5．(1)若cos2C=45(2)若内角C的对边c=6，求角A的正弦值及△ABC外接圆的半径R．变式2．（2025·上海静安·一模）在△ABC中，将角A,B,C所对边的边长分别记作a,b,c.设b=2c−a.若c=1，cosC=15【题型2判断三角形的形状】例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状是（

A．直角三角形 B．底边为BC的等腰三角形C．底边为AC的等腰三角形 D．底边为AB的等腰三角形例2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若2acos2BA．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形变式1．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状：(1)a=2bcos(2)tanB=【题型3三角形面积周长的计算】例1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）在ΔABC中，a=5，b=8(1)若C=π3，求c的值，以及ΔABC(2)若tanA+tanB=例2．（25-26高三上·上海·月考）在△ABC中，a=3(1)求sinB(2)求c以及S△ABC变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c，其中b=2．(1)若A+C=2π3，且a=2c(2)若A−C=π12,变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知bsin(1)求B；(2)若c=2a,△ABC的面积为233，求【题型4三角形面积周长的最值与范围】例1．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，角A,B,C所对边的边长分别为a，b，(1)求角A的值；(2)若△ABC外接圆的直径等于4，求△ABC面积的最大值．例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=4．(1)若a4b=sinBsin(2)若ab=10，求△ABC的面积的最大值．变式1．（24-25高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b=2，且tanC=3sinB1−变式2．（2025·上海·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(1)求sinC(2)若c=3，C为钝角，求△ABC面积S的最大值．【题型5三角形的中线问题】例1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c=2，a≠c，cos2(1)求B；(2)若M是BC的中点，AM=23，求△ABC例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2(1)求A；(2)若BC边上的中线为AD，AD=19，a=27，求变式1．在△ABC中，a=3(1)求角C的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线的长度．条件①．△ABC的周长为4+23；条件②．a=2b；条件③．BC变式2．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知2b−c=2acos(1)求角A的大小；(2)若a=3，△ABC的面积为334，线段BC的中点为D，求【题型6三角形的角平分线问题】例1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2(1)求C；(2)若C的平分线与AB交于点D，且CD=2，求a+4b的最小值.例2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3asinB=2bcos2A2，D为BC中点，且AD=72(1)求A；(2)求a.变式1．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为(1)求角A；(2)D为边BC上一点，若AD为角A的平分线，且AD=3，求AB+5BD的最小值．变式2．在△ABC中，内角A, B, (1)求B；(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且AD=2DC=143，求【题型7三角形的内心问题】例1．在①sinB+sinCsinA=b−ab−c；②(1)求C.(2)设O为△ABC的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足AB=5,AO2+B例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，c=5，且bsin(1)求b；(2)若O为△ABC的内心，求△OBC的面积.变式1．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b=2，且满足a(1)求角B的大小(2)△ABC的内心为I，求△ACI周长的取值范围.变式2．从①(a+b+c)⋅(sinA+sin在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围；(3)若c=23，△ABC的内心为I，求△ABI【题型8三角形的外心问题】例1．锐角△ABC的外心为O，满足2sin(1)求A的值；(2)延长BO交AC于D，若DA=DO，求∠ACB的值．例2．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2asin(1)求A；(2)若O为△ABC的外心，D为边BC的中点，且OD=1，求△ABC周长的最大值．变式1．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别记作a,b,c.已知△ABC的周长为4，且有abc=64(1)求△ABC的面积；(2)设△ABC内心为I，外心为O，IO=1，求外接圆半径．注：在△ABC中，有cosA+cosB+cosC=1+变式2．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinB=3bcosA，a=6，点P在边BC上，并且BP=3PC，O为A．73 B．213 C．212【题型9边角互化求角/求边长】例1．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若b=3,2acosC+2ccosA=3a，则A．2 B．3 C．43 D．例2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosCc+cosBA．π6 B．π3 C．2π变式1．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若tanB=−3,b=3ac，则A．6 B．4 C．3 D．2变式2．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ccosA+csinA=b+2A．π4 B．π3 C．π2【题型10解三角形中的恒等变换】例1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos(1)证明：tanA(2)求bsin例2．已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c，且sinA−(1)求C；(2)若2absinC=c变式1．在△ABC中，cosBcosA=1+变式2．锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，且bcosA−cosB=1【题型11解三角形的实际应用】例1．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点P在边BC上，且|PB|=2|PC|，小闵同学在该区域玩耍，他在P处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为m例2．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为M、N，塔底分别为A、B，塔身MA、NB均垂直水平面ABC．已测得①∠MCA，∠NCB，∠ACB；②∠MCA，∠ACB，∠MCN；③∠MCA，∠NCB，其中不能唯一确定M与N之间距离的数据的序号有．变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影A'、B'、C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°，由C点测得B点的仰角为15°变式2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=20米，在C点测得塔顶A的仰角为60∘，则塔的总高度为【题型12多个三角形背景下的解三角形】例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形ABCD中，AB⊥AC，且△ACD是边长为2的等边三角形.

(1)若∠ABC=60°，求sin∠ABD(2)若线段AC（不含端点）上存在动点P，满足BP=DP，记BP=y,AP=x，求y关于x的函数.例2．如图，在四边形ABCD中，AC=27(1)求sin∠DAC(2)若∠BAC=2∠DAC，且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长．变式1．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1,AC=3,∠ABC=π3,∠ADC=2π3，(1)用θ表示AD；(2)求四边形ABCD面积的取值范围；(3)当θ为何值时，S△BCE变式2．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD,AB=2，∠BAD=π3，AC平分∠BAD且AC与BD相交于点(1)若△BCD的面积为23，求BC(2)若cos∠BDC=239一、核心基础（必记核心，串联全专题）1.两大定理核心（公式+本质）正弦定理：，本质是“边角正弦成正比”，核心作用是“边角互化”余弦定理：（及变形），本质是“边与角的平方关联”，核心作用是“求边/求角/判断角型”2.三大关联结论（隐含前提）内角和：→衍生，（消角关键）大角对大边：（判断解的合理性、形状的核心）面积桥梁：（关联正余弦定理、外接/内切圆）二、题型模块（考点分类，精准定位）基础型：综合解三角形（知三求三）、判断三角形形状线段型：中线、角平分线、高线相关计算（含长度、角度、边长关联）运算型：三角形内恒等变换（边角互化+三角公式化简）圆相关：外接圆（）、内切圆（）半径计算（关联面积、边长）应用与最值：实际测量（仰角/俯角/方位角建模）、面积/周长最值（结合不等式/三角函数）三、方法工具（通用技巧，跨题型适用）1.边角互化原则齐次式优先互化（如、）求角优先角化边，求边优先边化角（简化计算方向）2.定理选用口诀两角一边/两边对角→正弦；两边夹角/三边/平方关系→余弦3.最值求解工具代数工具：基本不等式（，适用于边长和/积最值）三角工具：和差化积/二倍角公式（适用于角的三角函数最值）四、记忆要点（易错区分，强化框架）1.关键公式速记特殊线段：中线；角平分线比例；高线圆半径：，（为半周长）一、单选题1．在△ABC中，满足a2=b2+A．150° B．30°或150° C．60° D．60°或120°2．小河的对岸有一棵树，设树底为O，树顶为C．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取A,B两点，使得A,B,O在同一水平面上，且A,B,O三点共线，AB=253−1米．若在A处测得树顶C的仰角为45°，在B处测得树顶C的仰角为60°，则这棵树的高度A．403米 B．353米 C．303米 3．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=23，C=π3，sinB=2sinA．2 B．3 C．3 D．45．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a−c=2bcosC，b=4，则△ABC的面积的最大值为（A．43 B．3 C．32 二、填空题6．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3，c=1，cosA+C=−127．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2π3，角A的平分线交BC边于点D.若AD=1，则4b+c8．在四边形ABCD中，∠B=∠D=π2，∠A=π3，AD=5，AB=49．在△ABC中，D在边AB上，CD平分∠ACB，若AC=2,BC=1，且CD=233，则10．已知C为锐角，若存在△