2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破06 平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式 （解析版）

重难点突破06平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：与模有关的数量积最值问题一、必备知识1.数量积核心公式：（为与的夹角，）2.模的核心性质：；（三角不等式）3.最值关联逻辑：当、为定值时，的最值由最值决定；当夹角固定时，最值由模的取值范围决定二、必备解法1.定模定角型：直接代入数量积公式，利用求最值.例：若，，则的最大值为，最小值为2.定模变角型：抓住模为定值的条件，分析夹角的取值范围，再求的最值，代入公式计算.关键是通过图形或题意确定的边界3.变模定角型：根据题意确定模的取值范围（如），结合固定夹角，将转化为关于模的一次或二次函数，利用函数单调性求最值4.模长约束型：若存在（定值），可平方展开得，结合已知模的条件求解的范围三、常见误区1.忽略夹角的取值范围，直接用求最值，导致结果偏差.例：两向量夹角实际仅为，却错误代入计算最小值2.误用三角不等式，未注意“同向”“反向”的取等条件，导致模的范围判断错误3.忘记的转化技巧，面对模长平方类条件时无从下手知识点2：与夹角有关的数量积最值问题一、必备知识1.夹角公式变形：，，且在上单调递减2.数量积与夹角的关联：；；3.最值逻辑：夹角最值对应最值，进而转化为数量积的最值；反之，数量积的范围可通过夹角公式反推夹角范围二、必备解法1.已知夹角范围求数量积最值：由得（因单调递减），结合、的定值或范围，代入数量积公式求最值2.已知数量积范围求夹角最值：先确定的范围，即的范围，再利用的单调性反求的最值3.含变量夹角的最值问题：设夹角为变量，将表示为的函数（），结合的实际约束范围（如几何图形中角的限制），利用三角函数单调性求最值三、常见误区1.混淆的单调性，错误认为增大时增大，导致夹角与数量积的对应关系颠倒2.忽略（同向）和（反向）时的特殊情况，未验证这两个边界的数量积是否为最值3.计算时，遗漏或的计算，直接用数量积代替，导致夹角范围判断错误知识点3：基底法求解数量积的最值问题一、必备知识1.基底定义：选平面内两个不共线的向量、作为基底，平面内任意向量均可表示为（、为实数）2.基底法核心：将所求数量积的两个向量均用基底表示，再利用数量积运算律展开，转化为关于基底数量积和系数的表达式3.运算律支撑：；二、必备解法1.步骤1：选基底.优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等腰三角形的两腰、矩形的邻边等2.步骤2：分解向量.将所求数量积的两个向量、分别用基底、表示，即，3.步骤3：展开运算.计算4.步骤4：求最值.若展开后含变量（如动点对应的系数），将表达式转化为关于变量的函数（一次、二次函数或三角函数），结合变量范围求最值三、常见误区1.基底选择不当，选了共线向量或模长、夹角未知的向量，导致后续运算无法推进2.向量分解错误，遗漏系数或分解形式错误（如将错误表示为，实际应为）3.展开数量积时，误用运算律，如错误认为，忽略的含角项知识点4：坐标法求解数量积的最值问题一、必备知识1.坐标运算公式：若，，则；2.坐标法核心：建立合适的平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，把数量积问题转化为代数运算问题（函数最值、不等式求解等）3.建系原则：优先让更多向量的坐标简化（如让定点在坐标轴上、对称中心在原点等）二、必备解法1.步骤1：建坐标系.根据题意选择合适的坐标原点和坐标轴，常见技巧：①固定点（如线段端点、顶点）放在原点；②对称图形以对称轴为坐标轴；③水平、竖直方向为坐标轴2.步骤2：求坐标.确定所有相关点的坐标，进而写出对应向量的坐标（动点坐标用变量表示，如、）3.步骤3：算数量积.代入坐标运算公式，将表示为关于变量的代数函数（如）4.步骤4：求最值.结合变量的取值范围（由几何图形或题意确定，如动点在线段上则坐标满足线性约束），利用函数单调性、二次函数配方法或不等式（如基本不等式）求最值三、常见误区1.坐标系建立不合理，导致向量坐标复杂，增加运算量且易出错2.动点坐标的变量范围确定错误，如动点在圆上却未考虑圆的方程约束，导致函数定义域偏差3.计算数量积时，混淆坐标运算公式，错误写成（与向量叉乘混淆）知识点5：平面向量系数的最值问题一、必备知识1.核心模型：已知（、为系数，、为已知向量），结合的约束条件（如模长范围、与某向量垂直等），求、的最值或、的最值2.关联工具：基底法、坐标法、不等式（基本不等式、柯西不等式）、函数思想3.线性约束逻辑：若、不共线，中、唯一确定，约束条件可转化为关于、的方程或不等式二、必备解法1.基底法转化：将代入约束条件（如），展开后得到关于、的方程（如二次方程），结合几何意义（如圆上点的坐标范围）求系数最值2.坐标法转化：建立坐标系，将、、转化为坐标，得到的坐标与、的关系式，结合约束条件列出、的不等式组，用线性规划或函数思想求最值3.不等式法求解：若已知、、，可利用柯西不等式或基本不等式求系数和或积的最值4.几何意义法：将、看作平面内的点，约束条件转化为点的轨迹（直线、圆、线段等），系数最值对应轨迹上点的横纵坐标或其组合的最值三、常见误区1.未明确、是否共线，直接套用唯一分解定理，导致系数关系错误（共线时、不唯一）2.使用基本不等式或柯西不等式时，忽略等号成立的条件，导致最值无法取到知识点6：数量积中的极化恒等式与最值问题一、必备知识1.极化恒等式核心公式：①平面内任意向量、，有；②若为线段的中点，则（三角形极化恒等式，为平面内任意点）2.适用场景：涉及“向量数量积”与“中点”“线段长度”相关的最值问题，尤其适合解决动点到两定点的数量积最值3.几何意义：的最值等价于的最值（因为定值），即动点到中点的距离最值二、必备解法1.通用型极化恒等式用法：当已知或的范围时，代入，将数量积转化为两个模长平方的差，再结合模长范围求最值2.三角形型极化恒等式用法（核心）：①确定定点、，取中点，计算（定值）；②将转化为；③分析动点的轨迹，求的最值（最大值、最小值）；④代入转化式求的最值3.特殊场景技巧：若动点在圆上，为定点，则的最值为圆心到的距离加减圆的半径；若动点在线段上，则的最值为到线段两端点的距离三、常见误区1.误用极化恒等式，将三角形型公式错误记为，符号颠倒导致结果错误2.未正确识别适用场景，对不涉及“中点”“两定点”的数量积问题强行使用极化恒等式，增加解题难度3.求最值时，忽略动点的轨迹约束（如仅在某条线段或圆弧上），错误取到轨迹外的距离值4.忘记极化恒等式的推导前提（平面内任意向量），在空间向量中错误套用公式【题型1与模有关的数量积最值】例1．a,b,c起点重合，a【答案】13【分析】根据数量积公式，可得a⋅b=12，根据求模公式，可得a+b【详解】由题意a⋅a+b2因为a−所以a⃗所以c⃗所以cos<因为−1≤cos<c整理得c2−213解得13−1≤故答案为：13−1,例2．平面向量a,b满足a=1,b=A．1 B．33 C．12 【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，作OC=c，设Cx,y【详解】因为a⋅b=0作OA=a,OB=b，以则A1,0,B0,3，作则a−c=因为a−c=整理得：x=3y−1，则由二次函数性质可知，当y=34时，c取得最小值故选：C变式1．已知OA=OB=3，AB=32，点C4,2，A．53 B．253 C．5【答案】C【分析】由AB2=18可推导得到OA⊥OB，结合OA=OB=3可设A3cosθ,3sin【详解】∵AB∴OA⋅OB∵OA=OB=3，∴A,B两点在以设A3cosθ,3sinθ∴23CA∴23CA则当cosθ=1时，23CA+1故选：C.变式2．在平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|=2，|AB|=2A．16,20 B．16,22 C．18,22 D．[8,12]【答案】D【分析】先根据AB=OB−OA，求出〈OA【详解】因为|OA|=|OB|=2，|由AB=OB−OA平方可得，2CA+AB所以，2=2+2+4×25−4OA又OA+OB⋅所以2CA+AB故选：D.【题型2与夹角有关的数量积最值】例1．两个非零向量a，b，满足a+b=2a−b，则向量【答案】35/【分析】将a+b=2【详解】因为a+b=2即a⋅所以cosa,b所以向量a与向量b夹角的余弦值的最小值为35故答案为：35例2．已知a,b均为单位向量，且|a+2b|<|3aA．0,2π3 B．2π3,【答案】D【分析】由|a+2b【详解】因为a,b均为单位向量，所以由|a+2b则a2则1+4a⋅b则cos〈因为0≤〈a,b则a与b的夹角的取值范围是π3故选：D.变式1．P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量AP=xAB+yAC，且1≤x≤2，1≤y≤2.设向量AP与AB的夹角为α，则A．64 B．63 C．57【答案】C【分析】根据平面向量数量积的运算性质，表示向量夹角的余弦，再结合二次函数的性质求最值.【详解】不妨设等边△ABC的边长为1，则AB⋅AP⋅AB=AP2=AP2=xAB所以cosα=x+1又因为xy所以cos2α≤25所以cosα故选：C变式2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知平面向量a、b，满足a=1，b=2，若对任意模为2的平面向量c，均有a⋅c+b⋅A．0,π3 B．π3,2π【答案】B【分析】由题意得a+b≤7以及a−【详解】由a=1，b=2，若对任意模为2的向量c，均有则a→∴a平方得到a2+b2+2同时a→∴a−b平方得到a2+b2−2综上−12≤∴向量a,b的夹角的取值范围故选：B.【题型3基底法求数量积的最值】例1．已知△ABC满足AB=3，BC=6，∠ABC=60°，M，N为直线BC上的动点，且S△AMN=33，则AM【答案】11【分析】根据三角形边角关系确定BC边上的高，由△AMN的面积可得MN的长度，不妨设点M靠近点B，得MN=23BC，设BM=λBC，则【详解】过A作AD⊥BC于D，因为△ABC满足AB=3，BC=6，∠ABC=60°，所以AD=AB⋅sin则S△AMN=1不妨设点M靠近点B，则MN=设BM=λBC，则所以AM=因为BA⋅则AM⋅AN因为λ∈R，故当λ=−62×36=−1故答案为：114例2．在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=π3，E为边CD上的动点（包括端点），F为BC的中点，则AE⋅A．12,1 B．0,12 C．【答案】D【分析】设DE=λDC,λ∈0【详解】设DE=λ则AE=由F为BC的中点，得AF=在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=π所以∠BAD=2π3所以AE⋅故选：D变式1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,∠DAB=120°,|AB|=4,|AD|=2，其中点M在线段OB上且满足AM⋅CM=−209【答案】473/437【分析】取定平面向量的一个基底{AB【详解】在▱ABCD中，由∠DAB=120°,|设DM=λDB(12AM⋅整理得λ2−λ+29=0，而1则|DB|=AB设AN=xAB(0≤x≤1)，NDND≤169，当且仅当x=16时取等号，所以故答案为：473变式2．在△ABC中，AC=3,∠BAC=π3,AC⋅BC=3，则AB=；若BD=【答案】4−10【分析】利用数量积的定义以及运算律运算可得AB=4，根据题意设BE=λBD【详解】

如图，AC⋅则AC⋅解得AB=4设BE=λBD,0≤λ≤1，则BE所以AE=−AB因为AB=4，AC所以AE⋅又因为0≤λ≤1，所以λ=0时，AE⋅故答案为：4;−10.【题型4坐标法求数量积的最值】例1．（2025·上海闵行·一模）若点P是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则PA⋅BC【答案】33/【分析】以△ABC的外心O为原点建系，设P3【详解】如图所示：O为△ABC的外心，以O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，因等边△ABC的高为32，则A因圆O:x2+则PA=所以PA⋅BC=−33cosθ，所以当故答案为：3例2．在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM⋅BC=0，则【答案】−45【分析】以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.【详解】在△ABC中，由余弦定理cosC=AC又AM⋅BC=0，故M点在△ABC则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示：

又cos∠ACO=−cosC=故OA=AC×sin∠ACO=5则A0,455,C故AM⋅CM=m也即AM⋅CM的最小值为故答案为：−4变式1．如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则EM⋅【答案】2(【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设M(2cos则EM=4cos其中cosθ=55，sinθ=255．因为0≤α≤故答案为：2(5变式2．（24-25高三上·上海·月考）已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则AB⋅AM的最小值为【答案】18−6【分析】建立平面直角坐标系，设M的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得．【详解】以BC的中点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，因为等边△ABC的边长为6，所以△ABC的内切圆圆心O在AD上，半径r=6×6×则B(−3,0)，C(3,0)，A(0,33)，O(0,3所以AB=(−3,−33)所以AB⋅所以当sin(α+π6)=1时，故答案为：18−63【题型5平面向量系数的最值】例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且AP=λAB，若CP⋅AB≥A．12,1 C．2−22,1【答案】C【分析】以C为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可表示出CP⋅AB，PA⋅【详解】以C为坐标原点，CA,CB正方向为则A1,0，B0,1，C0,0，∴∵P为AB边上的点，AP=λAB，∵AP=λAB=−λ,λ，∴∴CP⋅AB∵CP⋅AB≥PA又0≤λ≤1，∴2−22≤λ≤1，即故选：C.例2．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，且AB⋅AC=4，则|CA|=；若在线段【答案】23+22/【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式化简求得C=90∘，再利用数量积运算律求得【详解】在△ABC中，cosA则sinAcosC=0，而sinA>0，于是cosC=0由AB⋅AC=4，得AB由CP=2mCA|CA|+nCB则m+n=1，而m,n>0，因此1≥3+2n当且仅当nm=2m所以1m+2故答案为：2；3+2变式1．设θ为两个非零向量a，b所成的角，已知对任意t∈R，|a−tb|的最小值为【答案】θ=π6或【分析】令a=OA，b=OB，tb=OC【详解】令a=OA，b=如下图所示，|a−tb|即为线段AC的长度，由对任意t∈R，|而∠AOB=θ，AC⊥OB时，线段AC最短，此时|AC|所以sinθ=12，又θ∈[0,π]

故答案为：θ=π6或变式2．在△ABC中，BA=a,BC=b，若O为其外心，满足ABBC⋅BC【答案】1【分析】根据数量积的定义结合正弦定理化简向量等式，可得m=2sin【详解】如图：若O为△ABC的外心，则OA=设点E为线段BC的中点，设点F为线段AB的中点，则OE⊥BC,OF⊥BA，因为BC⋅BA⋅所以ABBC12所以AB⋅BC=2mOB由正弦定理可得2OB=所以AB⋅BC=2mAB⋅BC所以m=2sin当且仅当sinA=sinC=所以m的最大值为1.故答案为：1【题型6极化恒等式与最值】例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为23，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MBA．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】连接OE、OF、AB、OM，则O为AB的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出MA⋅MB=MO2【详解】如下图所示，连接OE、OF、AB、OM，则O为AB的中点，则∠EOF=60∘，且OE=OF，故易知OA=1，则=MO当且仅当M与正六边形的顶点重合时，MA⋅MB取最大值故选：C.例2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包括边界），O为BC的中点，则PA⋅PO的取值范围是【答案】−【分析】首先根据向量的运算将PA⋅PO转化为PM2−OM【详解】如图，在等边△ABC中，O为BC的中点，连接AO，取AO的中点M并连接BM.PA⋅PO由于AB=2，BO=1，得：AO=AB2因此可得：PA⋅如图易知：由于P为三角形ABC内一点（包括边界），因此当点P与点M重合时，PM取得最小值，最小值为0，当点P与点B或点C重合时，PM取得最大值，最大值为BO综上可得：−34≤故答案为：−变式1．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，E,F为BC上的动点，且EF=2，则AE⋅

【答案】3【分析】根据题意分别取BC,EF的中点D,G，由极化恒等式可得AE⃗⋅AF【详解】如图，分别取BC,EF的中点D,G，则AE⃗

当点E运动到点B时AG取到最大值，此时BG=2由余弦定理解得AG此时AE⋅当点E,F都运动到BD,DC的中点，即点G与点D重合时AG取到最小值，AG此时AE⋅AFmin故AE⋅AF的取值范围为故答案为：3变式2．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则PA⋅PB的取值范围是【答案】0,1【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.【详解】如图，取AB的中点E，PA⃗而PE∈12,故答案为：0,1一、核心基础1.数量积公式：（为与的夹角，）2.模的关联：；（三角不等式）3.运算律：分配律；展开律二、题型模块（必备知识+核心解法+常见误区）题型1：与模有关的数量积最值必备知识：数量积公式、模的性质、三角不等式核心解法：定模定角：用直接求；定模变角/变模：结合夹角/模的范围转化为函数最值；模长约束：平方展开关联数量积常见误区：忽略夹角范围、误用三角不等式取等条件题型2：与夹角有关的数量积最值必备知识：（在单调递减）核心解法：已知夹角范围→求范围→代入数量积公式；已知数量积范围→反推范围→求夹角最值常见误区：混淆单调性、遗漏特殊情况题型3：基底法求数量积最值必备知识：向量基底分解、数量积运算律核心解法：选已知模/夹角的向量为基底→分解目标向量→展开数量积→转化为函数最值常见误区：基底选择不当、向量分解错误、误用运算律题型4：坐标法求数量积最值必备知识：向量坐标运算（）核心解法：建坐标系（简化向量坐标）→写向量坐标（动点用变量表示）→算数量积为代数函数→结合变量范围求最值常见误区：建系不合理、动点范围错误、混淆坐标运算公式题型5：平面向量系数的最值必备知识：向量分解定理、线性约束逻辑核心解法：基底/坐标法转化为系数方程→不等式法（柯西/基本不等式）→几何意义（轨迹上点的坐标最值）常见误区：忽略向量共线性、不等式等号条件缺失、可行域判断错误题型6：极化恒等式与最值必备知识：通用式：；三角形式：（为中点）核心解法：转化数量积为模长平方差→求动点到中点的距离最值常见误区：公式符号错误、误用场景、忽略动点轨迹约束一、填空题1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设平面向量a,b,c满足：a=2，b=c，a【答案】1,3【分析】根据题设条件，设出a,【详解】依题意，设a=(2cosθ,2sinθ)则a−由a−b=1，则2显然t≠0，否则b=(0,0)=0，故t2+3=4tcos由cosθ=t2+34t故b=故答案为：1,3.2．（25-26高二上·上海·开学考试）平面上，已知向量a,b满足a=2, b=3．若存在单位向量c，使得【答案】4【分析】利用向量数量积的运算律计算可得a+b⋅c=a⋅【详解】由题意，a−∴a设向量a+b与向量c的夹角为α，则∵cosα∈−1,1则a⋅b+12≤a+∵a令a⋅b=t设y=13−2t则y2∵0≤t∴y的最小值为43，即a−b故答案为：433．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量a、b、c满足a=c=1且a⊥c，向量b满足b【答案】2+1/【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出a−c、b−c的值，再由【详解】因为平面向量a、b、c满足a=c=1且aa−因为b2−2c⋅b=0，则所以a−当且仅当a−c与故a−b的最大值为故答案为：2+14．（25-26高三上·上海·期中）已知a,b,c为空间中三个单位向量，且a⋅b=b⋅c=c⋅【答案】arccos【分析】由题可设a=1,0,0,b=【详解】由题可设a=则p−3所以x−32两式相减可得：x=y，再代入第一个式子，可得：2x设向量p与向量c夹角为θ，则cosθ=易知对于表达式−114x2+6x此时1−26x所以，当x=1112时，cosθ所以θ的最小值为arccos14故答案为：arccos145．（25-26高三上·上海黄浦·期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=23，点M是线段AC一个动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则BP⋅

【答案】2,6【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得BP⋅BQ=【详解】连接BM，则BP=BM又∠ABC=90°，AB=2，BC=23，所以tanA=BC所以C=π又AC=AB2+BC要确保以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，当M在靠近C，且CM=1时，BM当M在靠近A，且AM=1时，BM所以3≤BM≤7，则即BP⋅

故答案为：2,6.6．（25-26高三上·上海·期中）a=3,b=4,a⋅b=4，若平面向量c【答案】17【分析】设OA=a,OB=b,OC=c，先求出∠AOB，以点【详解】如图，设OA=因为a=3,所以cos∠AOB=43×4如图，以点O为原点，OB为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则B4,0，设Cx,y,Ax0,y0，由故A1,2由c−b=1所以点C的轨迹是以点B为圆心，1为半径的圆，c−a=所以c−a的最大值为故答案为：17+17．（25-26高三上·上海松江·期中）已知|a|=1,|b|=1且a⋅b=0，若向量c【答案】2【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义，结合余弦函数的有界性求出最大值.【详解】由|a|=1,|b|=1且当c=0时，当c≠0时，由(c则|c|2=|c因此|c|≤2，即|故答案为：28．（2025·上海嘉定·一模）已知向量OA→=1,7，OB→=5,1，OP→=2,1，K【答案】4,2【分析】由题意设OK=kOP=【详解】因为K为直线OP上的一个动点，所以OK与OP共线，设OK=k所以KA=1−2k所以当k=2时，KA⋅KB取最小值，此时故答案为：4,29．（2025·上海静安·一模）如图，已知AB是半圆O的直径，直径长为2，点C,D均在半圆O上，且都不与点A,B重合，A,B,C,D四点依次按照逆时针方向排列.若CD的长为2，则AC⋅BD的取值范围为【答案】−1−【分析】连接OC,OD，设∠COB=θ，利用转化法结合辅助角公式及三角函数的性质计算即可.【详解】连接OC,OD，由CD=2知OD=1=OC,∴DO设∠COB=θ，则θ为锐角，且∠DOA=π所以AC=−1−2由于θ+π4∈即AC⋅BD的取值范围为故答案为：−1−10．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC, ∠BAD=π3, AB=AD=2．若M、N分别是AD、BC上的动点，满足AM【答案】−【分析】建立直角坐标系，由题意可得：A(−2,0),D(−1,3)，由题意可得M(λ−2,3λ)，【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：A(−2,0),D(−1,3设Mx,y，AM=λAD,即故M(λ−2,3λ)，同理可得据此可得：AN=(2,则AN=−3λ由于λ∈0, 1，所以当λ=56故答案为：−11．（25-26高三上·上海·开学考试）已知平面向量e1→,e2→,e3→,【答案】−【分析】设C(cosθ,sinθ)，如图，不妨设e1→=OA→=(1,0),e2→=OB→=12,32,e3→=CO→=(−cos【详解】设C(cos不妨设e1则e1→·e3设M为AB的中点，G为OC的中点，F为BD的中点，E为AD的中点.则M312设λ3e3→=HO→所以λ1e1为了使e1→,e3|HM|不小于M到直线OC的距离，所以|GM|为点M到直线OC所以GM⊥AC.即GM→⊥34cosθ−12所以cosθ−π6=所以向量e1→与e3则e1→故答案为：−12．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知不平行的两个向量a，b满足a=1,a·b=3.若对任意的【答案】2【分析】先由数量积的定义推得b=m>【详解】依题意，设a，b的夹角为θ(0<θ<π因为a·b=a⋅又因为对任意的t∈R，都有b−ta≥1成立，所以b−t整理可得：t2−23t+m整理可得：m2≥4，又因为m>3，解得m≥2，即b故答案为：213．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量a,b,c满足a=2,【答案】14−43/【分析】根据条件，结合数量积公式，可得<a,b>=π3，如图建系，可得【详解】因为a=2,所以a2=a⋅b因为<a,b以a起点为坐标原点，a为x轴正方向，与x轴垂直方向为y轴正方向建系，如图所示，则a=(2,0),b=(2,2因为2c2=b⋅表示以12则c=2又x−22+y−32则x−22+y−所以c−a2故答案为：14−414．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形ABCD的边AB=4,AD=2，点P,Q分别在边BC,CD上，且∠PAQ=45°，则AQ⋅

【答案】16【分析】建立平面直角坐标系，设∠PAB=α，表示向量AP,AQ的坐标，进而得出【详解】以点A为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，

∵AB=4,AD=2∴A0,0设∠PAB=α，∵∠PAQ=45°，则P4,4tanα∴=16当且仅当tanα=∴AP⋅AQ故答案为：16215．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知e1,e2，是空间单位向量，e1⋅e2=1