二次根式的加法与减法课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3二次根式的加法与减法

二次根式的加法与减法（第1课时）计算：（1）；解：（1）．计算：（2）．解：（2）．如何计算

？思考被开方数不同，无法直接相加．如果

与

能化成被开方数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算．因此先把

，

分别化简成

，

，然后利用分配律将

和

合并，如何计算

？思考即（化简）（利用分配律合并）．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立．新知一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并．可以合并的二次根式，叫作同类二次根式．（1）根号外的因数（或因式）相加减；（2）根指数和被开方数不变．如．合并同类二次根式的方法：

例1计算：（1）；（2）；解：（1）；

（2）；

例1计算：（3）．解：（1）．

比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？二次根式加减运算的实质是合并被开方数相同的最简二次根式，整式加减运算的实质是合并同类项，都是把系数合并，最简二次根式或同类项不变．

例2计算：（1）

；解：（1）；

例2计算：（2）

．解：（2）．与能合并吗？判断二次根式是否可以合并的方法：（1）先将二次根式化成最简二次根式；（2）再看被开方数是否相同．

例3二次根式：①；②；③；④中，能与合并的二次根式是（）．

A．①和④B．②和③

C．①和③D．③和④解析：①；②；③；④，故能与合并的二次根式是③和④．D

例4

有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？问题1．能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？（1）够宽；（2）够长．8

dm2

18

dm2

dmdm

分析：（1）因为大、小正方形木板的边长分别为dm和dm，5＞

＞，所以木板够宽；（2）两个大、小正方形木板边长的和为dm．问题2．如何比较与7.5的大小？化成最简二次根式利用分配律合并．

分析：由＜1.5可知＜7.5，木板够长．由＜1.5可知＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长．

因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．解：大正方形木板的边长为dm．因为

，所以这块木板够宽

．

两个正方形木板的边长的和为dm，而

．二次根式的加减合并被开方数相同的二次根式二次根式加减的方法和步骤二次根式的加法与减法（第2课时）

1．二次根式的乘法法则：___________________________．

3．二次根式的除法法则：_________________________．(a≥0，b≥0)(a≥0，b＞0)

2．积的算术平方根的性质：_________________________．(a≥0，b≥0)

4．商的算术平方根的性质：_________________________．(a≥0，b＞0)

5．二次根式的加减运算法则二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并．（3）．（2）；（1）；问题计算：（1）；问题解：（1）；先算乘法再算减法（2）；问题先算乘方解：（2）；再算乘法最后算减法解：（3）．（3）．问题先算括号再算除法最后算加法二次根式的混合运算顺序：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．新知如果计算结果含有二次根式，要将二次根式化简．（2）．（1）；问题计算：解：（1）；（1）；问题分配律解：（2）解法1：．（2）．问题除法转化为乘法分配律（2）．问题解：（2）解法2：．多项式除以单项式二次根式的混合运算法则：在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．新知灵活应用二次根式的混合运算法则可减少运算步骤，并且运算结果不易出错．

例1计算：（1）；（2）．解：（1）；先算括号（1）；乘法分配律是a(b＋c)＝ab＋ac，而除法不存在分配律，即a÷(b＋c)≠a÷b＋a÷c．解：（2）．多项式乘多项式的法则（2）．

例2设a，b

分别是的整数部分和小数部分．（1）分别求出a，b的值；∴，∴，解：（1）∵，∴，即，∴a＝3，．

例2设a，b

分别是的整数部分和小数部分．

（2）求3ab－7的值．解：（2）∵a＝3，，∴3ab－7．二次根式的混合运算（一）运算顺序运算法则二次根式的加法与减法（第3课时）

1．平方差公式：___________________________．

2．完全平方公式：_________________________．(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2

3．计算：．解：原式．（2）．（1）；问题计算：（1）；问题解：（1）＝5－3＝2；(a＋b)(a－b)＝a2－b2（2）．问题(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2解：（2）．在进行二次根式的混合运算时，能用乘法公式的要尽量用乘法公式，有时还需逆用公式，这样可使运算简便．归纳

例1计算：（1）；分析：

例1计算：（1）；解：（1）；

例1计算：（2）．解：（2）．逆用积的乘方anbn＝(ab)n

例2计算：（1）；解：（1）；逆用平方差公式

例2计算：（2）；分析：(a＋b)(a－b)＝a2－b2

例2计算：（2）；解：（2）原式；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2

例2计算：（3）．解：（