苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》达标测评【含答案】

苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》达标测评一．选择题（共10小题，满分30分）1．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于（）A．1 B． C． D．2．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（）A． B． C． D．3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sinA的值为（）A． B． C． D．4．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米5．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A． B． C．6 D．87．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（）A． B．5﹣ C． D．5﹣28．今年，我校新建成的体育馆投入使用，初三数学兴趣小组的同学要测量体育馆的高度CE．如图，小张眼睛到地面距离1.6米，小张在A处测得体育馆顶C点的仰角为27°，前进20米到达B处测得体育馆C点的仰角为39°，斜坡BD的坡度i＝1：2.4，BD长度是13米，CE⊥DE，A、B、D、E在同一平面内，则体育馆CE约为（）米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）A．29 B．27 C．25 D．239．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m10．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A．188m B．269m C．286m D．312m二．填空题（共10小题，满分30分）11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于．12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使得B′与C重合，联结A′B，则tan∠A′BC′的值为．13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM＝CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为．14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝CB，sin∠BAD＝，∠BCD＝60°，连接AC，则tan∠ACD＝．15．已知：如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝，AC＝2，AD是BC边上的高，则BC的长度为．16．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．则斜坡CD的长为．（结果保留根号）17．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝．19．一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为．20．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB与支架AD，砝码杆AC均成120°角，且AB＝40cm，AC＝18cm，AD＝6cm，底座是半径为2cm的圆柱体，点P是杠杆的支点．如图1，若砝码E在端点C时，当杠杆平衡时，支架AD垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M到支点P的距离PM为cm．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B，砝码杆重力集中在砝码E上，支架AD的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且G1•h1＝G2•h2，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E到离A点的距离为cm．三．解答题（共6小题，满分60分）21．如图，在四边形ABCD形状的池塘上，要从C处出发，架设一座小桥CP连接对岸AD，已知AB＝BC＝6米，AB⊥BC，∠A＝105°且∠BCD＝135°，求小桥CP长度的最小值．22．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．23．如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）24．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）25．大庆市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD，如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°，线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米，求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73．）26．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE＝30cm，后支撑板EC＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°．（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；（2）如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin53≈，cos53°≈，tan53°≈）

参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝，∴CD＝AC＝．在Rt△BCD中，∵sin45°＝＝，∴BC＝1．∴故选：A．2．解：设AC＝a，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2a，∵tan∠ABC＝＝，∴BC＝AC＝a，∵AB＝BD＝2a，∴CD＝BC+BD＝（2+）a，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选：C．3．解：如图所示，AE＝3，CE＝4，则AC＝5．在Rt△ACE中，sinA＝＝．故选：B．4．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠CDB＝90°，由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝2（千米），即该建筑物离地面的高度为2千米，故选：A．5．解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，设每个小正方形的边长为1，则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，∴cos∠PQC＝＝＝，∵AB∥CQ，∴∠QMB＝∠PQC，∴cos∠QMB的值是，故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．7．解：设BC与C′D′交点为E，则BE⊥C′D′，因此C′E＝BC′•cosC′，∵四边形ABC′D′为菱形，则∠C′＝∠D′AB＝45°，∴C′E＝BC′•cosC′＝2×＝，同理BE＝BC′•sinC′＝，∴D′E＝2﹣，BE＝，∴梯形D′EBA面积为：S′＝（D′E+AB）×BE×＝2﹣1，阴影面积为：S＝SSABCD﹣S′＝2×2﹣（2﹣1）＝5﹣2．故选：D．8．解：如图，延长CF交CE的延长线于H，延长CE交AB的延长线于J．设CE＝xm．在Rt△BDK中，∵BD＝13米，DK：BK＝1：2.4，∴DK＝5米，BK＝12米，∵AG＝BF＝HJ＝1.6米，DK＝EJ＝5米，∴EH＝5﹣1.6＝3.4（米），∵GH﹣FH＝GF，∴﹣＝20，∴＝20，∴x≈23（m），答：体育馆CE约为23米，故选：D．9．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20（m），∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．10．解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，在Rt△AON中，tanN＝＝tan43°，∴NO＝≈150m，在Rt△BOM中，tanM＝＝tan35°，∴MO＝≈135.7（m），∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286（m）．故选：C．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB＝＝＝，故答案为：．12．解：过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在等腰△A′B′C′中，则A′D是底边上的中线，且A′D⊥B′C′，∵A′B′＝AB＝5，B′C′＝BC＝8，∴B′D＝B′C′＝4，BD＝8+4＝12，∴A′D＝＝3，Rt△A′BD中，tan∠A′BC′＝＝．13．解：连接AM、AN，∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM＝AN，∴△AMN为等边三角形，AM＝MN，当MN最短时，AM最短，此时AM⊥BC，如图，则∠MAC＝30°，∵∠AMP＝60°，∴∠APM＝90°，∵AM＝AB＝5，∴AP＝AM＝，∴PC＝AC﹣AP＝10﹣＝．故答案为：．14．解：如图，延长AB到E，连接CE，使CE⊥BE，作DF⊥AB于F，∵∠BCD＝60°，∴∠EBC＝60°，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∵sin∠BAD＝，∴设AD＝5k，则DF＝CE＝3k，AF＝4k，又∵∠CBE＝60°，∴CB＝＝2k，∵CD＝CB，∴CD＝2k，∴tan∠ACD＝tan∠CAE＝，故答案为：．15．解：在Rt△ADC中，CD＝AD＝AC×sinC＝2＝2，在Rt△ABD中，BD＝＝＝1，∴BC＝CD+BD＝2+1＝3，故答案为：3．16．解：∵∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度为1：，∴tan∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100米，∴CE＝AE﹣AC＝100﹣20＝80（米），∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴＝，即＝，解得：DE＝320（米），∴CD＝＝＝80（米），故答案为：80米．17．解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．∵cos∠BAC＝，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，∵MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，∵∠ADC＝∠AEC＝90°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，∵∠DAE＝∠EAC，∴＝，∴DE＝ED，∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．故答案为：﹣118．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴tanB＝＝∴BC＝8，AB＝＝＝10，∴＝，∵FC＝FG，解得：FC＝3，即CE的长为3．故答案为：3．19．解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，在Rt△ABC中，∵AB＝5，∠ABC＝45°，∴AC＝AB＝5，BC＝10，∴AF＝BF＝5，在Rt△BCD中，∵tan∠DBC＝，∴BD＝6，在Rt△BDE中，∵tan∠DBE＝，∴DE＝，BE＝，∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，∴四边形DEFM是矩形，∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，∴AM＝AF﹣MF＝，在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，故答案为：．20．解：如图1中，过点B作BT⊥PM于T，过点A作AR⊥BT于R．∵AP⊥PT，∴∠APT＝∠PTR＝∠ART＝90°，∴四边形ARTP是矩形，∴AP＝RT＝6+4＝10（cm），∠PAR＝90°，∵∠BAP＝120°，∴∠BAR＝30°，∠ABR＝60°，∴BR＝AB＝20（cm），∴BT＝BR+RT＝30（cm），∵AB⊥BM，∴∠ABM＝90°，∴∠TBM＝30°，∴BM＝＝＝20（cm）．如图2中，延长EA交AG1于K，过点A作AJ⊥G1G2于J，设G1，G2的重力线交桌面于N，M，则四边形AEMJ，四边形AKNJ都是矩形，∴AE＝JM，AK＝JN，在RtABK中，AK＝AB•cos60°＝20（cm），在Rt△APJ中，PJ＝AP•sin30°＝4（cm），由图1可知，G1•AC•cos30°＝G2•AB•cos30°，∴G1：G2＝AB：AC＝20：9，∴h2：h1＝G1：G2＝20：9，∵h2＝JN﹣PJ＝20﹣4＝16（cm），∴h1＝，∴AE＝JM＝﹣4＝（cm）．故答案为：20，．三．解答题（共6小题，满分60分）21．解：当CP的长度最小时，CP⊥AD，在四边形ABCD中，∠BAP＝105°，∠B＝90°，∴∠BCP＝360°﹣105°﹣90°﹣90°＝75°，如图，连接AC，∵AB＝BC，∠B＝90°，∴∠BCA＝45°，∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABC中，AB＝BC＝6米，∴AC＝＝6（米），在Rt△APC中，AP＝AC＝3（米），∴CP＝AP＝3（米）．答：小桥CP长度的最小值为3米．22．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∵AB∥CF，∴∠BCH＝∠ABC＝30°，∵AB＝20，∴，在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，∴，CH＝BC×cos30°＝15，在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，∴∠EDF＝∠E＝45°，在Rt△BDH中，，∴．23．解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tanM，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.