第4课时正方形

第4课时正方形知识点❶

正方形的性质与判定1.定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形.

知识点❷

平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系1.从边、角的角度看2.从对角线的角度看考点与正方形有关的推理及计算典例1

(2025·福建厦门模拟预测)如图，四边形ABCD是正方形，点E在CD上，点F在CB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF.求证：AE⊥AF.［解析］

∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°.已知DE＝BF，根据“SAS”(边角边)判定定理，可得△ADE≌△ABF，可得∠DAE＝∠BAF.∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠BAF＋∠BAE＝90°，即∠FAE＝90°，∴AE⊥AF.［答案］证明：∵

四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°.∵点F在CB的延长线上，∴∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠D.∵DE＝BF，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴∠BAF＝∠DAE.∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，∴∠BAE＋∠BAF＝90°，即∠FAE＝90°，

∴AE⊥AF.

命题点

与正方形有关的推理及计算1.(2025·安徽)已知点A'在正方形

ABCD内，点E在边

AD上，BE是线段

AA'的垂直平分线，连接

A'E，A'B.(1)如图1，若BA'的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；(2)如图2，点F是AA'的延长线与CD的交点，连接

CA'.(ⅰ)求证：∠CA'F＝45°；(ⅱ)如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA'.若CG＝CB，判断△A'DG的形状，并说明理由.

第2题图(1)若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C'NM＝

_

(用含α的式子表示)；

(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原.若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为

.

2.(2024·安徽)如图，现有正方形纸片ABCD.点E，F分别在边AB，BC上.沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原.

90°－α第3题图

B第4题图

45

第5题图5.(2019·安徽)如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是(

)A.0B.4C.6D.8

D6.(2017·安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.求证：①BE＝CF；②BE2＝BC·CE；(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG延长交CD于点F，求tan∠CBF的值.

图1

图2第7题图

B8.(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为

.

第8题图

9.(2025·乐山)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC