山西省部分学校2025届高三下学期2月开学联考考试数学试卷（含解析）

2025届高三年级开学联考本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,A={-1,0},则CuA=A.{-1,0}B.{0}C.{2.一次演讲比赛，10位评委给某位选手打出了10个原始分，去掉一个最高分和一个最低分后得到8个有效分，则这8个有效分与10个原始分相比，下列一定成立的是A.平均分变小B.极差变小C.中位数不变D.方差变小4.已知向量a和b满足a=(1,1),|b|=2,则|a—b|=A.√2B.25.某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩(满分150分)X近似服从正态分布N(120,100),则得分在区间[130,140]内的学生大6.椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,点P为椭圆E上一动点，延长F₁P到点Q,使得P为线段F₁Q的中点，则|QF₂|的最小值为A.1B.27.已知函数,则的最小值为A.1B.28.若函数f(x)=ln|x|-a(|x|-1)有4个零点，则a的取值范围为数学试题第1页(共4页)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.y=f(x)与y=g(x)有相同的对称中心B.f(x)与g(x)有相同的周期上有2个交点D.函数y=f(x)·g(x)在的值域为10.已知可导函数y=f(x)的导函数为f(x)=x(1n|x|+x²-1),则A.y=f(x)有2个极值点x=±1C.y=f(x)只可能在x=1或者x=-1时取得最小值D.对Vx∈(-1,0)U(1,+∞),f'(x)>0恒成立11.已知圆T:(x-1)²+y²=1,抛物线E:y²=4x的焦点为F,直线l:ax+y-a=0与E从上到下依次交于A,D两点，与T从上到下依次交于B,C两点，则D.|AB|,|BC|,|CD|可以构成等差数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.数列{an}的前n项和S,满足S,=2an-1,则an=13.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,则以AA₁的中点P为球心，2√2为半径的球与侧面BCC₁B₁相交，则交线(在正方形BCC₁B₁内部)的长度为14.甲、乙进行发球比赛，他们实力相当，每次发球命中3分或者命中2分或者未命中，三种情况的概率均为.规则如下：甲、乙轮流发球，一方发完球后交给另一方发球，此时叫做一轮发球，现在甲先发球，乙后发球，经过2轮发球后，甲得分比乙得分高的概率四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a(2—cosC)=c(2cosB+cosA),(1)求C;(2)记D为AC的中点，求BD的取值范围.数学试题第2页(共4页)数学试题第3页(共4页)16.(本小题满分15分)如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁C₁CA⊥(2)若AA₁=2,AB=5,直线A₁B与平面BCC₁B₁A₁BC与平面B₁AC夹角的余弦值.17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=(x-a)(x+1)+alnx.所成的角的正弦值为,求平面(1)当a=-2时，讨论f(x)的单调性；(2)记函数g(x)=f(x)—3x+1,已知g(x)只有1个零点，求正整数a的最小值.18.(本小题满分17分)已知双曲线的离心率为,F₁,F₂分别为C的左、右焦点，A,B分别为C的左、右顶点，P,Q为C右支上异于顶点的两点，点P关于坐标原点OBP,BQ与y轴分别交于T,S.(1)求C的标准方程；(3)若|OD|·|OE|为定值,探究直线PQ是否过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.19.(本小题满分17分)正四面体A-BCD某个顶点处有一粒子Q,粒子Q的运动规律如下：粒子Q每经过一个时间单位，有的概率仍停留在原顶点，也有可能沿着棱从原顶点移动到另外的顶点，而且移动到另外三个顶点的任何一个都是等可能的.已知在时刻t=0时，粒子Q在顶点A处，若在时刻t=n时，粒子Q在顶点A处记为事件An,记此时事件A,发生的概率为pn(A).(1)求p₂(A);(2)求p,(A),并判断数列{p(A)}的单调性；(3)记b=p(A)·pn+1(A),求证：数学试题第4页(共4页)参考答案及解析数学2025届高三年级开学联考数学参考答案及解析1.C【解析】由题意可得U={-1,0,1},则CA={1}.故选C.不变的只有中位数.故选C.则|a-b|=√2.故选A.5.C【解析】由题意，μ=120,σ=10,则P(130≤x≤6.B【解析】由题意得|F₁F₂I=2,记点T(3,0),则|F₂T|=2,即F₂为线段F₁T的中点，P为线段F₁QQ的轨迹为以T,F₁为焦点的椭圆，可得|QF₂|的最小值为2.故选B.7.D【解析】,所以2+2=4,当且仅当t-1=1,即1=2,即x=1时等号成立.故选D.(x≠±1)有2个实数根，令(1,+∞)时单调递减，h(x)<h(1)=0,故g'(x)<0,即g(x)在区间(0,1),(1,+∞)上单调递减，x→0→0,要满足)有2个实数根，则a的取值范围为(0,1)U(1,+∞).故选B.9.AB【解析】y=g(x)的对称中心为(k∈Z),y=f(x)的对称中心为)(k∈Z),故数学参考答案及解析g(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0),y=f(x)的周期,故y=g(x)与y=f(x)有相同得两函数有1个交点，C错误；元了元了故选AB.可知可知0,在(1,+∞)上，了(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，同理可得f(x)在(一∞,一1)上单调递减，在(一1,0)上单调递增，故11.CD【解析】由题意可知F(1,0),设A(x₁,y1),A(2,2√2),,所以直线l的斜率为|DFI≥4,当且仅当|AF|=|DF|=2时等号成立，此时|的斜率|不存在(故B|错误=9选项：|△DB|一6>4,所以存在，故确.故选CD.12.2”-1【解析】S,=2an-1,Sn-1=2an-1-1,S,一(n≥2),故a=2”-¹,(n≥2),a₁=2a₁-1,a₁=1,符13.【解析】由题意可得交线为以BB₁的中点E为圆心，半径为2的圆的一部分，计算可得球与棱B₁C₁的交点F到B₁的距离为√3,所以交线所对的参考答案及解析数学故(5分)(6分)甲得分比乙得分高的情况有如下可能，甲得分乙得分60263465则sinA=sin(B+C),sinB=sin(A+C),且B∈(0,π),sinB≠0,(4分)(2)在△BDC中，由余弦定理可得(7分)(9分)因为△ABC为锐角三角形，所以解得(10分)所以(12分)故BD的取值范围为(13分)因为平面A₁C₁CA⊥平面BCC₁B₁,平面A₁C₁CA∩平面BCC₁B₁=CC₁,A₁HC平面A₁C₁CA,所以A₁H⊥平面BCC₁B₁,所以A₁H⊥BC,A₁H⊥BB₁.(2分)因为A₁B₁=A₁B,所以A₁Q⊥BB₁,A₁Q∩A₁H=A₁,A₁Q,A,HC平面A₁QH,又A₁C₁=A₁C,A₁H⊥CC₁,所以H为CC₁的中点，又A₁H∩CC₁=H,(7分)以BC⊥AC.(8分)(2)由(1)可得A₁B与平面BCC₁B₁所成的角轴，过C作CM垂直于A₁C₁于点M,以CM所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,B₁(9分),BC=(0,—4,0),AC=设平面A₁BC的一个法向量为m=(x₁,y₁,z1),则m=(4√2,0,-7),(11分)设平面B₁AC的一个法向量为n=(x₂,y₂,z2),(13分)(13分)设平面A₁BC与平面B₁AC的夹角为θ,(15分)(2分)0.(4分)参考答案及解析数学单调递增.(5分)当0<a<2时，g(x)在上单调递增， 上单调递减，(1,+∞)上单调递增，(8分)(9分)又g(1)=-2a<0,由于g(x)只有1个零点，所以(11分)存在ao∈(0,1),使得(13分)所以2>a>ao.(14分)因为a∈N',所以amin=1.(15分)即即∴b²=1,(2分),则.所以a²=3,(4分)故C的标准方程(5分)(2)设Q(x₁,y₁),P(x₂,y₂),则x²-3y²=