五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(新疆专用)15：平行四边形与多边形（教师版）

专题15平行四边形与多边形（解析版）1．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则．【答案】2【解析】解：∵，，∴，∴，∵的平分线交于点E，∴，∴，∴；故答案为：2．2．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则．【答案】40【解析】解：设正方形、的边长分别为a、b，根据题意，得，∴，∴，故答案为：40．3．（2023·新疆·中考真题）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是边形．【答案】十/10【解析】解：一个多边形的每个内角都是，这个多边形的每个外角都是，这个多边形的边数．故答案为：十．4．（2021·新疆·中考真题）四边形的外角和等于.【答案】360°．【解析】解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°．5．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线．(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：如图所示，∵垂直平分，∴，，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形．6．（2024·新疆·中考真题）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求证：是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：∵的中线，交于点O，∴，，∵点F，G分别是，的中点，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形；（2）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵G是中点，∴，∴，同理，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴是矩形．7．（2023·新疆·中考真题）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．

(1)求证：；(2)当时，求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：在与中，∴，∴，又∵、分别是、的中点，∴；（2）∵，∴四边形是平行四边形，，∵为的中点，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴四边形是矩形．8．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．(1)求证：；(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：∵点F为边AB的中点，∴，在与中，，∴；（2）证明：∵点D为边AC的中点，∴，由（1）得，∴，，∴，，∴四边形BCDE是平行四边形．9．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．求证：（1）；（2）四边形AEFD是平行四边形．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，在△ABE和△DCF中，，∴（SAS）．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，即AD=BE+EC，∵BE=CF，∴AD=CF+EC，即AD=EF，∵点F在BC的延长线上，∴AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形是菱形，，，直线交两对边于点，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵四边形是菱形，，，∴，，，∴，∵直线交两对边于点，，∴，∴，∴，故选B．11．（2025·吐鲁番·三模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，∴，即①，∵，∴②，①②得，∴大正方形的面积，故选：B．12．（2025·乌鲁木齐十三中·模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（

）A． B．6 C．7 D．4【答案】A【解析】解：如图，连接DH，根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，∴DH=BH，∵点H为BC的中点，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在▱ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等边三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH=．故选：A．13．（2025·乌鲁木齐十三中·模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（）

A． B． C．15 D．【答案】A【解析】

解：如图，设内切圆的圆心为O、为内切圆的半径，则四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，而，∴①，∵小正方形内切圆半径为，∴小正方形的边长为7，∴小正方形的面积为49，∴，∴即②，把①代入②中得，∴，∴(负值舍去)，∴大正方形内切圆半径为．故选：A．14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：由题意可知，射线是的角平分线，由等腰三角形“三线合一”得是边中点，，由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点，是梯形的中位线，，在中，，，∴，故选：D．15．（2025·新疆吐鲁番·一模）第14届国际数学教育大会会标如图(a)所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图(b)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若．则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根据题意，设，则，∵，四边形为正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故选：C．16．（2025·喀什地区·三月学业测试）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°，∴∠AED=∠ADE=45°，∴AE=AD=1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=AD=，由第二次折叠可知，∴故选：A．17．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为(

)A．3 B． C．5 D．【答案】B【解析】解：在中，，四边形是正方形，如图，过点作于点，则，，，，，在和中，，，，设，，，在中，由勾股定理得：，则解得负值舍去，，在中，故选：B．18．（2025·伊宁市·九年级质量抽测）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】解：四边形是平行四边形，，，，，，的平分线和的平分线交于上一点，，，，故选：B．19．（2025·喀什地区·模拟）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则n的值为．

【答案】3【解析】设，，∵，，∴，即，∴，整理得，∴，∵，∴，∴正方形的面积为，∵正方形的面积为，∵正方形与正方形的面积之比为，∴，∴解得．故答案为：3．20．（2025·乌鲁木齐沙区·九年级适应性测试）正五边形的一个外角的大小为度．【答案】72【解析】解：正五边形的一个外角的度数为：，故答案为：72．21．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个正多边形的一个外角为，则此正多边形的边数为．【答案】9【解析】解：；故答案为：9．22．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是．【答案】6【解析】解：设外角为x，则相邻的内角为2x，由题意得2x+x＝180°，解得x＝60°，360°÷60°＝6．故n的值是6．故答案为6．23．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是．【答案】①②③【解析】解：在中，，∴设，则：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故①正确；若的面积是正方形面积的3倍，则：，∴，即：，∴或（舍去），∴，∴点F是的三等分点；故②正确；∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，∴点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，则：，，∴，∴，即：的最大值为；故③正确；故答案为：①②③．24．（2025·乌鲁木齐新市区·一模）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是.【答案】8【解析】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，即该正多边形的边数是8，故答案为：8．25．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和8，则阴影部分的面积为．【答案】/【解析】解：长方形内两个相邻的正方形的面积分别为4和8，大正方形的边长为，小正方形的边长为2，阴影部分的面积为．故答案为：．26．（2025·伊宁市·阶段性质量抽测）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5.现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为.【答案】【解析】由勾股定理得：=,即(0,4).矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形是平行四边形，A=B,=AB=4-(-3)=7,与的纵坐标相等，∴（7,4），故答案为（7,4）.点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解题的关键.27．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为．【答案】31【解析】解：∵四边形PMNF和四边形GHCF都是正方形，∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，∴PF2+CF2=42，∵长方形PECF的面积为11，∴CF•PF=11，∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF•PF=64，∴PF+CF=8，∵长方形ABCD的面积=BC•CD=（BE+PF）•（CF+DF），∴长方形ABCD的面积=（2+PF）（2+CF）=4+PF•CF+2（PF+CF）=31，故答案为：31．28．（2025·乌鲁木齐兵二·模拟预测）正边形的一个内角是相邻一个外角的4倍，则的值为．【答案】10【解析】解：由题意，得每一个外角的度数为180÷(4+1)=36°，∴n=360÷36=10故答案为10.29．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．【答案】6【解析】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．故答案为：6.30．（2025·乌鲁木齐十三中·四模）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为．【答案】【解析】解：设它是n边形，则（n−2）•180°＝1080°，解得n＝8．360°÷8＝45°，故答案为．31．（2025·乌鲁木齐经开区·模拟）正多边形的一个中心角为度，那么这个正多边形的一个内角等于度．【答案】144【解析】解：由于正多边形的中心角等于，，所以正多边形为正边形，又因为其外角和为，所以其外角为，其每个内角为．故答案为．32．（2025·六十八中·模拟）如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝．【答案】30°【解析】解：由多边形的内角和可得，∠ABE=∠BEF=＝135°，∴∠EBC=180°-∠ABE=180°-135°=45°，∵∠DCE=∠CEG=＝120°，∴∠BCE=180°-∠DCE=60°，由三角形的内角和得：∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-45°-60°=75°，∴∠FEG=360°-∠BEF-∠CEG-∠BEC=360°-135°-120°-75°=30°．故答案为：30°．33．（2025·乌鲁木齐七十中·模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．【答案】8【解析】解：设边数为n，由题意得，180（n－2）=3603，解得n=8．所以这个多边形的边数是8．故答案为：8．34．（2025·喀什地区·四月学业测试）如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是．【答案】【解析】解：记长方形的长为，宽为，由题知，，，即，，即，，解得，长方形的面积是．故答案为：．35．（2025·喀什地区·一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．【答案】140°．【解析】解：该正九边形内角和，则每个内角的度数．故答案为140°．36．（2025·和田地区·三模）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为．【答案】或2【解析】解：∵四边形为矩形，∴，，，当时，如图所示：∵，∴点在上，根据折叠可知：，，设，则，∴，，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，即；当，如图所示：根据折叠可知：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴；综上分析可知：或2．故答案为：或2，37．（2025·伊宁市·阶段性质量抽测）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为．（结果保留根号）【答案】【解析】解：如图，作于点H，该多边形为正八边形，，，，又，是等腰直角三角形，，，该正八边形的面积，故答案为：．38．（2025·新疆·学业水平监测冲刺卷）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．(1)求证：；(2)若，求证：．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，，在和中，，；（2）∵四边形为正方形，，，，，，，．39．（2025·乌鲁木齐经开区·学业水平监测）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．(1)求证：四边形是菱形；(2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）解：连接，，，，四边形是平行四边形，四边形中，点、、、分别是各边的中点，，，四边形是矩形，，，四边形是菱形；（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，，，矩形的周长为22，，四边形是菱形，即，四边形的面积为10，，即，，，．40．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．(1)求证：；(2)若，求证：四边形为平行四边形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：∵与是对顶角，∴，在与中，，∴（2）证明：由（1）知，∴，∴，∵点在的延长线上，∴，又∵，∴四边形为平行四边形．41．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图、四边形中，，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，，，求的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：，，，四边形是平行四边形；（2）解：过点作，垂足为，如图：四边形是平行四边形，，平分，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，设，而，∴，解得：，．42．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合．【研究对象】如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________；【性质探究】（2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明；【拓展应用】（3）如图3，已知在筝形中，，求对角线，的长．【答案】（1）菱形；（2）性质：筝形对角线互相垂直，证明见解析；（3）；【解析】解：（1）由定义可知：菱形的对角线互相垂直，故菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）性质：筝形对角线互相垂直；证明：如图，在和中，（），，，，；（3）如图，过作于点，连接、交于点，，，，，，，在中，由（2）知，且，，，．43．（2025·乌鲁木齐一中·模拟预测）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2)求证：四边形AFBE平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=OC，OF=OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．44．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积．【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1【解析】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下：如图，连接、交于点，在和中，，，，，，即，∴四边形是垂美四边形；性质探究：；证明如下：记和交于点，由题可知，，在中，，在中，，在中，，在中，，，，；问题解决：如图，连接，过作于点，，，在中，，∴，，，．45．（2025·和田地区·三模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)4【解析】（1）证明：∵平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；（2）∵平行四边形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，由（1）知：四边形是矩形，∴，∴，在中，．46．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F．(1)求证：；(2)已知，连结，．求证：四边形为矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∴．在和中，，∴，∴．（2）证明：∵，，∴四边形是平行四边形．又∵，∴，∴四边形为矩形．47．（2025·乌鲁木齐一中·二模）如图，在中，，D是的中点，，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：∵，D是BC的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四边形是矩形．（2）由（1）可知四边形是矩形．∴，，，∵D是的中点，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．48．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，在中，．求作：矩形．小明的作法：（1）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线，交于点；（3）连接并延长，截取；（4）连接，．四边形就是所求作的矩形．【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形是矩形．【答案】证明见解析【解析】解：由作法得垂直平分，则，而，所以四边形为平行四边形，而，所以四边形为矩形．49．（2025·乌鲁木齐·三月学业测评）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点．(1)求证：四边形是平行四边形：(2)如果，连接、，求证：四边形为矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：点、分别是、边上的中点，，又，四边形是平行四边形；（2）证明：连接、，如图，由（1）知：四边形是平行四边形，∴，∵点是边上的中点∴∴又，∴四边形为平行四边形，∵，，∴，∴，∴四边形为矩形．50．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．(1)求证：四边形为矩形：(2)连接．若，求菱形的面积．【答案】(1)见解析；(2)．【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴四边形为矩形；（2）由（1）可知，，，，菱形的面积．51．（2025·乌鲁木齐兵二·阶段测试）如图，已知边长为3的正方形，E为边上一点，，将沿翻折得到，延长至点G，使，连接．(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图，连接，由折叠的性质可得，∵∵，∴，，∴，∴，∴，在中，∴，∴．52．（2025·乌鲁木齐132中·三模）如图，在中，过点A作于点E，于点F，且．(1)求证：是菱形．(2)若，求平行四边形的面积．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D∵AE=AF，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵∠EAF＝60°，∴∠DAF=30°，在Rt△AFD中，DF=2，∴AD=4，∴AF=，∵AD=CD=4，∴菱形ABCD面积=53．（2025·乌鲁木齐十三中·四模）菱形对角线与交于点O，若，过点A作于点M，交于点N．(1)求证：；(2)若，求的长度．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）解：∵菱形，，∴，，，∵，为菱形的对称轴，且，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，（2）解：过N作于，∵菱形，∴平分，又∵，，∴，设，∵，∴与均为等腰直角三角形，∵，，，∴，∴，得，∴．54．（2025·乌鲁木齐开发区·初中学业水平监测）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：；(2)证明四边形是菱形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）解∶，是的中点，在与中，（2）由（1）可知，，是的中点，四边形是平行四边形，又为直角三角形，D是的中点，四边形是菱形．55．（2025·乌鲁木齐六十八中·三模）在△ABC中，D是BC边长的一点，E是AC边的中点，过点A作交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形：（2）若，，，请直接写出AE的长为__________．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵，∴，∵E是AC边的中点，∴，在中，∴（AAS），∴，∵，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）∵∴∴∵四边形ADCF是平行四边形∴∴,即,∴平行四边形ADCF是矩形在Rt△CDF中，∴,∴,故AE的长为．56．（2025·乌鲁木齐八一中学·一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.（1）求证：.（2）求证：四边形是菱形.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：如图，，，是直角三角形，是边上的中线，是的中点，，，在和中，，；．（2）由（1）知，，，，四边形是平行四边形，，是的中点，，四边形是菱形.57．（2025·吐鲁番·一模）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：

(1)；(2)．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，又．四边形是平行四边形．平行四边形对角相等（2）四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，，，，在和中，，．58．（2025·吐鲁番市·二模）如图，点E是矩形的边上的一点，且．(1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)试判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形是菱形，理由见解析【解析】（1）解：如图所示：

（2）四边形是菱形；理由：∵矩形中，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是菱形．59．（2025·吐鲁番·二模）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F．(1)求证：；(2)连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形