2026年高中圆测试题和答案

2026年高中圆测试题和答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知圆C的方程为x²+y²-6x+8y+9=0，则圆心坐标为A.(3,-4)B.(-3,4)C.(6,-8)D.(-6,8)2.若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切，则k的取值集合为A.{±√3}B.{±√5}C.{±√15}D.{±√17}3.圆x²+y²=25上一点P到直线3x+4y-35=0的距离的最大值为A.5B.7C.12D.144.两圆x²+y²=1与(x-5)²+y²=4的公切线共有A.1条B.2条C.3条D.4条5.若圆(x-a)²+(y-b)²=r²与x轴、y轴均相切，则下列关系恒成立的是A.|a|=|b|=rB.a²+b²=r²C.a=bD.r=06.已知圆C₁:x²+y²=9与圆C₂:(x-4)²+y²=4相交，则两圆公共弦所在直线方程为A.x=2.5B.x=3C.x=2D.x=1.57.若点A(1,2)对圆x²+y²=25的幂为A.-20B.20C.5D.-58.圆x²+y²-4x+6y-12=0关于直线x-y+1=0对称的圆的方程为A.x²+y²+8x-2y-12=0B.x²+y²-8x+2y-12=0C.x²+y²+4x-6y-12=0D.x²+y²-4x+6y+12=09.若直线y=2x+m与圆x²+y²=5交于A,B两点且|AB|=2，则m等于A.±√15B.±√5C.±√3D.±110.已知圆C:x²+y²-2x-2y+1=0，则圆C与圆x²+y²=1的位置关系为A.外切B.内切C.相交D.相离二、填空题（每题2分，共20分）11.圆x²+y²-10x+2y+17=0的半径为________。12.若点P(3,k)在圆x²+y²=25的外部，则k的取值范围是________。13.直线x-y+2=0被圆x²+y²=8截得的弦长为________。14.圆(x-1)²+(y+2)²=9的圆心到直线3x-4y+7=0的距离为________。15.若圆x²+y²+4x-6y+k=0的半径为5，则k=________。16.两圆x²+y²=4与(x-6)²+y²=1的最短距离为________。17.若圆C₁:x²+y²=1与圆C₂:x²+y²-8x+12=0外切，则C₂的半径为________。18.已知圆x²+y²=25上一点P，P到点A(7,0)的最小距离为________。19.圆x²+y²-6x+2y+6=0与x轴的交点坐标为________。20.若直线y=kx+3与圆x²+y²=9相切，则k=________。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.圆心在原点、半径为r的圆，其参数方程为x=rcosθ,y=rsinθ。22.若两圆半径相等且圆心距等于半径之和，则两圆一定外切。23.圆的切线垂直于过切点的直径。24.点P对圆的幂等于该点到圆心的距离平方减去半径平方。25.圆x²+y²+2x+2y+2=0与坐标轴均无交点。26.若直线与圆相离，则圆心到直线的距离大于半径。27.两圆公共弦所在直线必垂直于两圆心连线。28.圆x²+y²=1与圆(x-1)²+y²=1的公共弦长为√3。29.圆的内接正方形对角线长等于圆的直径。30.若圆C₁与C₂内切，则两圆心距等于两半径之差。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述并证明“垂径定理”：垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的两条弧。32.已知圆C:x²+y²-4x+6y-12=0，求圆心坐标、半径，并判断点P(5,-1)与圆的位置关系。33.设圆C₁:x²+y²=9与C₂:(x-5)²+y²=4，求两圆公切线的条数并说明理由。34.已知圆x²+y²=25，过点A(10,0)作圆的切线，求切点坐标与切线方程。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论：当参数k变化时，直线y=kx+1与圆x²+y²=4的位置关系如何演变？请分情况说明交点个数及对应k的范围。36.讨论：两圆半径固定为r₁,r₂，圆心距d从0逐渐增大到r₁+r₂+1，试描述两圆位置关系的完整变化过程，并指出公切线条数的相应变化。37.讨论：在圆x²+y²=R²上取一动点P，过P作互相垂直的两条弦PA,PB，问弦AB中点M的轨迹是什么曲线？请给出推导思路并说明结论。38.讨论：若圆C₁与C₂相交于A,B两点，过A作直线l分别交C₁,C₂于C,D，求证：∠CBD的大小与l的选取无关，并说明其几何意义。答案与解析一、1.A2.C3.C4.D5.A6.A7.A8.A9.A10.B二、11.312.k>4或k<-413.414.215.-1216.117.318.219.(3±√3,0)20.0三、21.√22.√23.√24.√25.√26.√27.√28.×29.√30.√四、31.垂径定理：若直径垂直于弦，则必平分弦及其所对弧。证明：设圆O直径CD⊥弦AB于E，连OA,OB，则△OAE≌△OBE（OA=OB，OE公共，∠OEA=∠OEB=90°），故AE=EB，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。32.配方得(x-2)²+(y+3)²=25，圆心(2,-3)，半径5；点P到圆心距离√[(5-2)²+(-1+3)²]=√13<5，故P在圆内。33.圆心距d=5，r₁=3，r₂=2，d=r₁+r₂，故两圆外切，公切线3条：两条外公切线，一条内公切线。34.设切点T(x₀,y₀)，则向量OT⊥AT，得x₀(x₀-10)+y₀²=0，又x₀²+y₀²=25，解得x₀=4，y₀=±3，切点(4,3)与(4,-3)；切线斜率k=±3/4，方程为3x±4y-30=0。五、35.圆心到直线距离d=1/√(k²+1)，当d<2即|k|>√3/3时相交于两点；d=2即|k|=√3/3时相切；d>2即|k|<√3/3时相离。36.d=0：同心，公切线0条；0<d<|r₁-r₂|：内含，0条；d=|r₁-r₂|：内切，1条；|r₁-r₂|<d<r₁+r₂：相交，2条；d=r₁+r₂：外切，3条；d>r₁+r₂：外离，4条。37.设P(Rcosθ,Rsinθ)，A,B为互相垂直弦端点，取OA,OB为坐标轴方向，则A(Rcosθ,0)，B(0,Rsinθ)，AB中点M(Rcosθ/2,Rsinθ/2)，消去θ得x²+y²=(R/2)²，轨迹为以O为圆心、R/2为半径的圆。38.连BA,BC,BD，由