等差数列与等比数列的基本量运算课件-2026届高三数学一轮复习

等差数列与等比数列的基本量运算BB1．(人A选必二P23练习4改)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝272，则a3＋a9＋a15＝

(

)A．64

B．48

C．36

D．242．在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝ (

)A．±64

B．64

C．32

D．16

【解析】104．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝_____．

【解析】63

【解析】

举题固法PART01等差数列与等比数列的基本量目标11

【解析】

【答案】B

【解析】B(2)(2025·九江二模)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＋3a6＝18，则{an}的前10项和等于

(

)A．36

B．30

C．20

D．18

【解析】2(3)(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为____．

(1)(2025·赣州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝

(

)A．－7

B．7 C．63

D．7或63

【解析】变式1

B

【解析】D等差数列与等比数列的综合目标2

【解答】2

(2025·信阳二模)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，已知a1＝b1＝4，b2＝a2＋1，b3＝2a3－4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；

【解答】2

(2025·信阳二模)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，已知a1＝b1＝4，b2＝a2＋1，b3＝2a3－4.(2)将数列{an}和{bn}的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列{cn}，求{cn}的前50项和．已知等比数列{an}满足a6＝8a3，且a2＋a5＝－9，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求{an}的通项公式．

【解答】变式2

已知等比数列{an}满足a6＝8a3，且a2＋a5＝－9，Sn为数列{an}的前n项和．(2)Sm，a7，ai(m，i∈N*)能否构成等差数列？若能，则求出m，i的值；若不能，请说明理由．

【解答】变式2

数列中的新情境问题新视角3234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………根据题目所给表格规律，得到第i行中的数是以i＋1为首项，i为公差的等差数列，所以ai，j＝i＋1＋(j－1)i＝ij＋1，所以a7，8＝7×8＋1＝57.由ai，j＝2026，得ij＝2025＝1×2025＝2025×1＝5×405＝405×5＝25×81＝81×25＝75×27＝27×75＝225×9＝9×225＝675×3＝3×675.所以2026共出现12次．5712下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行、每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j，则a7，8＝_____，表中的数2026共出现_____次．解决数列新情境问题，本质上是一个数学建模的过程，其研究路径可概括为：首先，识别并界定问题中涉及的关键变量(基本量)；进而探寻这些变量间内在的规律，如等差或等比关系、递推关系，或是需要通过从特殊到一般进行归纳验证的其他规律；最终，将所发现的规律转化为数学表达式，即建立以数列通项公式或前n项和公式为核心的数学模型来完成问题的抽象与求解．

(2025·濮阳一模)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1～9九个数字填入一个3×3的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图)．已知数列{an}(n∈N*)的通项公式为an＝2n＋2，现将该数列的前16项填入一个4×4的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为

(

)A．60

B．72

C．76

D．80

【解析】变式3

C438951276三阶幻方配套热练PART02

【解析】A组固法热练C

【解析】B2.(2025·南京期初)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn.若S3＝6，S6＝3，则S9＝ (

)A．－18

B．－9

C．9

D．18由题意，设前10项依次成的等差数列的公差为d，则a9－a6＝3d＝3，解得d＝1，所以a10＝a9＋d＝1＋1＝2.设第9项起依次成的等比数列的公比为q，则a10＝a9·q，即q＝2，所以a2026＝a10·q2016＝2×22016＝22017.【解析】B3.(2025·黄山二模改编)已知各项均为整数的数列{an}中，a6＝－2，a9＝1，前10项依次成等差数列，且从第9项起依次成等比数列，则a2026＝ (

)A．22016

B．22017

C．22018

D．22019

【解析】A

5.(2025·常德模拟)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入研究：若一定数量的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数．例如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，因此它们都是三角形数．将三角形数按照由小到大的顺序排成的数列称为三角数列{an}．类似地，数1，4，9，16，…称为正方形数．在三角数列{an}中，第二个正方形数是 (

)A．28

B．36

C．45

D．55【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】AD

【解析】7.(多选)(2025·新余二模)已知递增数列{an}的各项均为正整数，且其前n项和为Sn，则

(

)A．存在公差为1的等差数列{an}，使得S14＝2025B．存在公比为2的等比数列{an}，使得S4＝2025C．若S10＝2025，则a4≤285D．若S10＝2025，则a10≥207

【答案】BCD由3S1，2S2，S3成等差数列，可得2×2S2＝3S1＋S3.又因为Sn为公比为q的等比数列{an}的前n项和，所以q≠0，则4(a1＋a2)＝3a1＋(a1＋a2＋a3)，即4(1＋q)＝3＋(1＋q＋q2)，解得q＝3.【解析】38．设Sn为公比为q的等比数列{an}的前n项和，若3S1，2S2，S3成等差数列，则q＝____．

【解析】59．(2025·亳州期末)已知数列{an}的奇数项按原来的顺序构成一个以a1＝3为首项，2为公比的等比数列，偶数项按原来的顺序构成一个以a2为首项，3为公差的等差数列．若{an}的前10项和S10＝148，则a2＝____．

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】11．(2025·邯郸一模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝1，a2＝b1，2a5＝b3＋2，a4＝b2.(1)求{an}，{bn}的通项公式；因为bm＋3am－10＝0，所以2m＋3m－10＝0.令f(x)＝2x＋3x－10.由函数y＝2x和y＝3x－10在R上为增函数，得f(x)在R上为增函数．因为f(2)＝22＋6－10＝0，所以m＝2.【解答】11．(2025·邯郸一模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝1，a2＝b1，2a5＝b3＋2，a4＝b2.(2)若bm＋3am－10＝0，求m的值；

【解答】

设|a2－a1|＝x≥0，则|a3－a2|＝x＋2.易知a3－a1＝(a3－a2)＋(a2－a1)＝4.若a2－a1与a3－a2均为负数，则－x－x－2＝4，解得x＝－3，不合题意；若a2－a1与a3－a2一正一负，则a3－a1＝2或－2，不合题意．所以a2－a1＝x，a3－a2＝x＋2，所以2x＋2＝4，解得x＝1，故a2－a1＝1.【解答】B组新定义题体验12．(2025·厦门一模节选)若数列{an}满足数列{an-1－an}是等差数列，则称{an}为“绝对等差数列，{|an＋1－an|}的公差称为{an}的“绝对公差”．(1)若“绝对等差数列”{an}的“绝对公差”为2，且