完全平方公式的运用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册1.3.4完全平方公式的运用第一章

整式的乘除学习目标1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2前面我们学习了完全平方公式：

复习导入口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。思考

怎样计算

1022，1972

更简便呢？(1)1022；

(2)

1972.解：原式=(100+2)2=10000+400+4=10404.解：原式=(200－3)2=40000－1200+9=38809.=

1002－2×100×2+22=2002－2×200×3+32探究点：完全平方公式的运用方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.例1

运用乘法公式计算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；

=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.解：原式

=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]

同号

异号ab平方差公式整体探究点：完全平方公式的运用(2)(a+b+c)2.解：原式

=[(a+b)+c]2方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2完全平方公式

都同号探究点：完全平方公式的运用例2

计算：(1)(x+3)2

–x2；

解：原式

=x2

+6x+9–x2

=6x+9；

或原式

=(x+3+

x)

(x+3–x)

=(2x+3)×3

=6x+9；

还有其他的方法吗？探究点：完全平方公式的运用(2)(a+b+3

)(a+b-3

)；(3)(x+5)2

–(x-2)(x-3).解：(2)原式

=[(a+b)

+3][(a+b)

-

3]

=(a+b)2

-

32

=a2

+2ab+b2

-

9；解：(3)原式

=x2+10x+25

-(x2-5x+6)

=x2+10x+25

-

x2+5x-

6

=15x+19.探究点：完全平方公式的运用1.

化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.=x4－8x2y2＋16y4.=(x2－4y2)2解：原式

=

(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)

【练一练】探究点：完全平方公式的运用2.

已知

a＋b＝7，ab＝10，求

a2＋b2，(a－b)2

的值.解：因为

a＋b＝7，要熟记完全平方公式哦！(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.

所以

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，所以(a＋b)2＝49.

探究点：完全平方公式的运用【观察·思考】

观察下图，你认为(

m＋n)×(m＋n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。(m+n)2－m2－n2＝

m2＋2mn＋n2所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数比

m×m

点阵、n×n

点阵中的点数之和多2mn

。探究点：完全平方公式的运用【练一练】3.有这样一道题，计算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－xy]＋[(x－y)2＋xy]的值，其中

x

=

2006，y

=

2007；某同学把“y

=

2007”错抄“y

=

2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.解：原式＝2x2－2y2＋(x2＋y2＋2xy－xy)

＋(x2＋y2－2xy＋xy)＝2x2－2y2＋x2＋y2＋xy＋x2＋y2－xy＝2x2－2y2＋2x2＋2y2＝4x2.答案与

y

无关.探究点：完全平方公式的运用完全平方公式简便计算实际应用：运用完全平方公式进行推理计算数的平方：根据数的特点，将其变形为(a+b)²或(a-b)²再进行计算综合运算

1.已知α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则αβ的值为(

A

)B.2C.12.已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为(

A

)A.13B.7C.5D.11AA3.计算10162－2032×1018＋10182等于[提示：完全

平方公式的逆用](

B

)A.2B.4C.6D.84.运用完全平方公式计算：(1)10.12＝(

＋

)2＝

；(2)1982＝(

－

)2＝

⁠.B10

0.1

102.01

200

2

39204

5.如图，某广场有一块边长为(a＋b)的正方形草

坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a－b)的正方形

水池，则剩余草坪的面积为

.4ab

6.计算：(1)5012；解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12＝

250000＋1000＋1＝251001.(2)(x－y＋4)(x＋y＋4).解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2＝

x2＋8x＋16－y2.解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12

＝250000＋1000＋1＝251001.解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2

＝x2＋8x＋16－y2.返回1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(

)A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C．9.52＝92＋0.52D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52A2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为________．8返回【点拨】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8.3．利用简便方法计算：(1)499.92；【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250000－100＋0.01＝249900.01.(3)20262－4050×2026＋20252；返回【解】20262－4050×2026＋20252＝20262－2×2025×2026＋20252＝(2026－2025)2＝12＝1.返回5．计算：(1)(3x－1)2－(2x＋5)2；(2)(m＋n)2(m－n)2；【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24.(m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)