2025北京八十中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京八十中高二12月月考数学2025年12月班级__________姓名__________考号__________（考试时间90分钟满分100分）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.2.圆的圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.3.数列的前项和为，点在函数的图象上，则（）A.4 B.8 C.16 D.324.等差数列各项均为正整数，前n项和为,，若，则n＝（）A.4 B.5 C.6 D.75.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（）A. B. C. D.6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（）A.100 B.120 C.128 D.2407.已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9.已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（）A.3 B.4 C.8 D.910.已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（）A.63 B.64 C.65 D.66第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知函数，则____________.12.若抛物线的焦点为，则____________.13.设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为__________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．15.已知数列，若，，则称为低波动数列，给出以下四个结论：①若公差为d的等差数列是低波动数列，则；②若公比为q的等比数列是低波动数列，则；③若数列是低波动数列，则；④若数列满足，则是低波动数列．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：.17.如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）求证：平面；（2）若平面，求平面与平面的夹角的大小.18.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．19.已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使；②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案BDCDCBADCB第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.【答案】由，得，则.故答案为：-.12.【答案】抛物线方程化为标准方程为，所以抛物线焦点为，所以，解得.故答案为：.13.【答案】由，其对称轴为，且，结合二次函数性质，只需，即，此时不是递减数列，如，，则，显然.故答案为：，（答案不唯一）14.【答案】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，则，且，可得，则，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因为为等比数列，则，且，所以；又因为，则；空2：设后7项公比为，则，解得，可得，所以.故答案为：48；384.15.【答案】对于①，若公差为d的等差数列是低波动数列，则由等差数列的通项公式可知，则相邻差的绝对值之和为，所以若，当时，无限增大，无法满足，故，故①正确；对于②，若公比为q的等比数列是低波动数列，则由等比数列的通项公式可知，则相邻差的绝对值之和为，当时，相邻差的绝对值之和会逐渐趋近于一个确定的值；但当时，，是低波动数列，故②错误；对于③，若数列是低波动数列，则，所以有，所以当，则，都有成立，故③正确；对于④，令，则相邻差的绝对值为，相邻差的绝对值之和，当，和逐渐增大，即不成立，所以不是低波动数列，故④错误.故答案为：①③三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）设数列的公差为，由题可知，，化简得：，因为数列的公差不为零，所以，所以数列的通项公式为；（2）由（1）可知，所以，所以，因为，所以.17.【答案】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又，所以，又，，所以，所以，又，，且平面，所以平面；（2）因为平面，平面，平面与平面相交于，所以，又由（1）知，，所以，以为坐标原点，以为轴，以为轴，过点平行于作轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，解得，，所以平面的法向量为，又由（1）得，平面，所以即为平面的法向量，即平面的法向量为，设平面与平面的夹角为（），所以，所以，即平面与平面的夹角为.18.【答案】（1）由椭圆性质可知：，，，，所以由题意可知：，即椭圆方程为：；（2）由上可知，当时，则重合，此时由椭圆的对称性可知，则；当时，则，由，可知直线为，设，，纵坐标，易知此时，联立直线与椭圆方程可得，所以，联立直线与方程，即，对于，综上可知为定值1.19.【答案】(Ⅰ)不具有性质①；(Ⅱ)具有性质①；具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数：显然，假设数列中存在负项，设，第一种情况：若，即，由①可知：存在，满足，存在，满足，由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，另一方面，，由数列的单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项恒为负数.综上可得，数列中的项同号.其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列的前项成等比数列，不妨设，其中，（的情况类似）由①可得：存在整数，满足，且（*）由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，结合数列的单调性有：，注意到均为整数，故，代入（**）式，从而.总上可得，数列的通项公式为：.即数列为等比数列.解法二：假设数列中的项均为正数：首先利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，即成等比数列，不妨设，然后利用性质①：取，则，即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，否则，由数列的单调性可知，在性质②中，取，则，从而，与前面类似的可知则存在，满足，若，则：，与假设矛盾；若，则：，与假设矛盾；若，则：，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，然后利用性质①：取，则数列中存在一项，下面我们用反证法来证明，否则，由数列的单调性可知，在性