2025北京陈经纶中学高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京陈经纶中学高二12月月考数学一、单选题1．经过点且与直线垂直的直线的方程为（

）A． B．C． D．2．抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A． B． C．1 D．23．在等差数列中，已知，，则（

）A．12 B．14 C．16 D．184．下列函数的求导正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．6．已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（

）A． B． C．或 D．或7．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（）A． B． C． D．8．已知函数，并且对任意，由关系式得到的数列满足（），则的图象是（

）A． B．C． D．9．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．设无穷数列的前n项和为，定义，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，则D．当时，二、填空题11．设，向量，且，则12．若直线与直线垂直，则的值为.13．若双曲线的一条渐近线方程为，则；离心率．14．某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有个座位.15．已知曲线．若C为椭圆，则k的一个取值为；若C表示的双曲线与直线有交点，则k的最大值为16．如图，在长方体中，，，动点，分别在线段和上.给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号为.

①；②有可能是等边三角形；③当时，；④至少存在两组，，使得三棱锥的四个面均为直角三角形.三、解答题17．已知函数．(1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数；(2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值．18．记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)当n为何值时，取最小值并求出最小值．(3)记为数列的前n项和，求．19．如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，E是的中点．(1)求证：；(2)若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值；(3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆：的右顶点为，焦距为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明．21．设，且m，n都是奇数，m行n列的数表满足：对任意的，，都有．记，．若，则称第i行为“正行”，若，则称第j列为“负列”，记A中正行与负列的数目之和为．(1)设，，直接写出，的值；(2)求证：；(3)求G(A)的最大值.

参考答案题号12345678910答案BCDDADCADD1．B【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.【详解】设与直线垂直的直线方程为，将点代入，可得，解得，可得所求直线方程为，故B正确.故选：B.2．C【解析】根据题意可知，即求，因为，即可求出．【详解】根据的几何意义可知，抛物线的焦点到其准线的距离为．因为，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线标准方程中的几何意义应用，属于基础题．3．D【分析】由等差数列的性质即可求解.【详解】在等差数列中，已知，，则，所以.故选：D.4．D【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得.【详解】选项A：，故A错误；选项B：，故B错误；选项C：，故C错误；选项D：，故D正确.故选：D5．A【分析】利用向量的线性运算转化即得.【详解】由图可得，.故选：A.6．D【分析】由题意，圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解．【详解】由圆可得圆心，半径，∵为正三角形，边长为，∴圆心到直线的距离为，即，解得．故选：D．7．C【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】设直线与平面所成的角为，所以，又，所以，故选：C.8．A【分析】从数列的递推关系与函数图象的对应关系进行分析即可得到答案.【详解】由（），代入，可知，又，即当时，函数的图象在函数图象的上方（因为对恒成立）,而选项A图象在上方，满足，B、C、D均存在部分区间图象在图象的下方，不符合条件.故选:A.9．D【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.【详解】若双曲线的离心率为，则，所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；反之，双曲线的一条渐近线为，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，故选：D.10．D【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可.【详解】对于A选项：当时，，不正确；对于B选项：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，故，不正确；对于C选项：当时，，又，所以，不正确；对于D选项：当时，，，正确，故选：D.11．【分析】由题意，根据空间垂直向量的坐标表示可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解.【详解】由，得，解得，所以，则.故答案为：12．【分析】根据直线垂直的计算公式即可求解.【详解】∵直线与直线垂直，∴，解得.故答案为：.13．【分析】根据渐近线与标准方程求解.【详解】标准方程的一条渐近线方程为,则,,故.故答案为：，.14．820【分析】根据等差数列通项公式计算以及求和公式即可求解.【详解】根据题意可知：报告厅的座位个数成等差数列，且，故，故，所以座位的个数为，故答案为：82015．1（不唯一）【分析】根据标准方程的特点能得出k的取值；根据双曲线与有交点转化为考虑渐近线的斜率．【详解】若曲线为椭圆，则，且，故k的一个取值可以为，因为双曲线与有交点，所以渐近线斜率的绝对值需小于直线的斜率1，即，解得，又，所以k的最大值为，故答案为：1（不唯一）；16．①④【分析】根据，结合体积公式，可判定①正确；假设为等边三角形，取，求得，可判定②错误；建立直角坐标系，设，由，得到，结合，可判定③不正确；分为的中点，与重合和点与重合，与重合时，分别得到三棱锥的四个面均为直角三角形，可判定④正确.【详解】对于①，在长方体中，，因为平面，且平面，又因为，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以可得到平面的距离为，因为，所以①正确；对于②，假设为等边三角形，因为为上的动点，（i）当的最小值为，即，则，此时点与点重合，在直角中，可得，则，在直角中，可得，则，则，即取得最小值时，的长度不能同时取得，（ii）当时，因为为等边三角形，可得，在直角中，可得，则，在直角中，可得，则，则，所以的长度不能同时大于，所以不可能是等边三角形，所以②错误；对于③，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，设，其中，则，若，可得，解得，又由，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以③不正确；

对于④，当为的中点，与重合时，如图（1）所示，此时，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，所以三棱锥的四个面均为直角三角形；当点与重合，与重合时，如图（2）所示，此时，所以三棱锥的四个面均为直角三角形，综上可得，至少存在两组使得三棱锥的四个面均为直角三角形，所以④正确.故答案为:①④.

17．(1)定义域为，(2)【分析】（1）先根据对数的意义求函数的定义域，然后由导数乘法公式求导数；（2）通过切点在切线上和函数的导数值等于切线的斜率，联立方程组求解即可.【详解】（1）当时，函数，其定义域为.求导得；（2）由题意，切点在切线上，得，由函数定义得，故①，切线斜率为，即，由得，故②，将①代入②得，解得.18．(1)(2)时，取最小值为(3)【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式；（2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值；（3）对数列的前n项和使用分组求和.【详解】（1）因为为等差数列的前n项和，且，，则，即，可得公差，所以数列的通项公式为．（2）因为，则，令，解得，可知当时，；当时，；所以的最小值为．（3）.19．(1)证明见解析(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）取中点F，连接，以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，计算得到和的坐标，由可证结果；（2）由二面角的向量求法进行求解；（3）先假设存在点Q，使得平面，设，，可得，由可计算得到，故在线段上不存在点Q，使得平面．【详解】（1）证明：取中点F，连接，，，E是的中点，，则以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，，，，，，，即．（2）由（1）可得，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则令，则，，，依题意平面的一个法向量为，设二面角的大小为，由图知，为锐角，，即二面角的余弦值为．（3）在线段上不存在点Q，使得平面，理由如下：假设存在点Q，使得平面，设，，，由（2）可知，平面的一个法向量为，则，解得，故在线段上不存在点Q，使得平面．20．(1)；(2)，证明见解析【分析】（1）利用已知得，又利用即可求椭圆的方程，利用离心率的公式即可求解；（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，求直线的方程，进而得，同理得，求出和即可求解.【详解】（1）由题意有：，所以，又，所以椭圆的方程为：，所以离心率为；（2）由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为：，所以，所以，即，设，所以，由，所以直线的方程为：，令得，同理得，所以，，当且时，，

当时，或，此时与平行，没有交点，不合题意.

所以.21．(1)，(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）分别计算数表中各行之和与各列之和，根据“正行”与“负列”条件判断即可；（2）用反证法，从行与列两个角度求数表总和则可推出矛盾；（3）用反证法证明，从行列两个角度分析，1的个数可推出矛盾，再举出的数表A即可．【详解】（1）数表，由题意可得，，，故只有第3行是“正行”；，，，故第2，3列是“负列”，第1列不是“负列”，故；数表由题意可得，，，故只有第2行是“正行”；，，，，，故第3，4列是“负列”，第1，2，5列不是“负列”．故．综上所述，，．（2）用反证法证明．由数目之和，假设，即数表A没有“正行”，也没有“负列”．即任意，，则数表中所有数和；且任意，，则数表中所有数的和；故数表中所有数的和为0，由题意任意的，，，即数表中1的个数与的个数相同，所以数表中必有偶数个数，但由于m，n均为奇数，数表中共有个数，为奇数，这与数表中必有偶数个数矛盾．故假设错误，不成立．故成立．（3）当时，数表包含m行1列数，若，则各行都为1，则这1列所有数的和为，不可能为“负列”；由数表，，故当时，最大为m；同理可知当时，最大为n，当，时，．下面用反证法证明．假设，则满足条件的数表分三类：，即m行都是“正行”且n列都是“负列；或，其中m行都是“正行”，列是“负列”；或，其中行是“正行”，n列都是“负列”．①若，m行都是“正行”且n列都是“负列”；即任意，，则数表中所有数和；且任意，，则数表中所有数的和；故产生矛盾，此类情况不可能；②若，m行都是“正行”且列是“负列”；由m行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数，由题意任意的，，，则每行n个数中1的个数必大于的个数，即至少有个1，故数表中所有数中至少个1；由列是“负列”，由题意可知这列中每列各数之和都为负数，则每列m个数中的个数必大于1的个数，即至少有个，故数表中所有数中至少有个，则至多有个1；又，故产生矛盾，此类情况也不可能；③若，其中行是“正行”，n列都是“负列”．由n列都是“负列”，由题意可知，每