2025北京东直门中学高二3月月考数学试题及答案

高中2025北京东直门中学高二3月月考数学2025.03考试时间：120分钟总分150分第一部分一､选择题：（共10小题，每题4分）1.5位老师和2名学生排成一队，学生既不排在一起也不排在队伍的首尾，则不同的排法有（）.A.种 B.种C.种 D.种2.若在数列中，，，则（）A.2 B. C. D.3.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（）A.8 B.9 C.7 D.64.如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（）A. B. C. D.5.设是函数的导函数，将和的图象两在同一个直角坐标系中，其中不正确的是（）A.B.C. D.6.如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若函数有2个零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.9.是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（）.A.B.C. D.10.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（）A.有且只有一个极大值点 B.在上单调递增C.存在实数，使得 D.有最小值，最小值为第二部分二､填空题：（共6小题，每题5分）11.用数字0､2､5､7四个数可以组成__________个无重复数字的三位数．12.已知数列的前项和满足，则数列的通项公式为_______．13.焦点在轴上，且实轴长是6，虚轴长8的双曲线的标准方程为__________.14.已知方程有三个实数解，则实数的取值范围为________.15.已知函数，．若时，函数有最大值为1，最小值为，试写出一组满足上述条件的__________．16.已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论：①；②若为递增数列，则的取值范围是；③存在实数，使得为等比数列；④，使得当时，总有其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题：（共6小题，共80分）17.求下列函数的导数：（1）（2）18.已知函数在时取得极值.（1）求函数的单调区间和极值点；（2）求函数在点处的切线方程；（3）若有两个零点，求的值.19.如图，在三棱锥中，平面．（1）求证：平面；（2）求平面APC与平面PBC所成夹角的大小．20.已知椭圆的左顶点为，右顶点为，点在椭圆上（与点、不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.（1）求椭圆的短轴长和离心率；（2）若线段的中点为，求点坐标.21.已知函数（1）求在区间上的最值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）若过点作曲线的切线，可以作出几条？22.设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．（1）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明）①等差数列：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…．（2）已知数列具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；（3）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．

参考答案选择题：(共10小题，每题4分)ADDCDDABBD填空题：（共6小题，每题5分）11．1812．a13．y214．0,15．1,−1或写−3,116．①②④（全对5分，2对3分，1对2分，有错选0分）问答题：（共6小题，共80分）17.（共10分，每问5分）(1)(2)y18．（共14分，一问7二问3三问4）解（1）由题得，且定义域为.由函数在时取得极值，得，解得，检验：此时，显然是的变号零点，即是极值点，因此，令f'(x)=0得x=1所以当或时，，当时，，所以函数的递增区间是，递减区间是.极大值点x=−13（2）由（1）知，函数，f(0)=2,f'(0)=−1所以在点（0，f(0)）处得切线是y−2=−1(x−0)即x+y−2=0为所求切线.（3）因为ℎ(x)=x3由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，所以有极小值为，极大值为，f(2)=4f(-2)=-8由ℎ(x)=x3−x2−x+2−故m=1或m=5919．（共13分，一问5二问8）解（1）因为平面平面，所以，同理，所以△PAB又因为，，所以，则△PBC为直角三角形，故，又因为，，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角夹角为锐角，所以二平面夹角的大小为.20．（共13分，一问3二问10）解（1）设椭圆的半焦距为.由椭圆方程可得，所以椭圆的短轴长，离心率.（2）由题意可知：直线的方程为，令，得，即.直线的方程为，令，得，即，因为的中点为，则，若，则，与重合，舍去；若，则，解得，将代入，得，即或.综上所述：点坐标为或.21．（共15分，每问5分）解（1）f'x=3x2−3=3x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,3)3+0-0+-2单调递增2单调递减-2单调递增18f(x)在[-2,3]上最大值是18，最小值-（2）设切点为（x0,y0）,则y0所以切线方程为y−x因为过点P（2，t）代入切线，有t即t令g(x)=−2x3+6x2−6g'x=−6x2+12x=−6x(x−2)令g’(x)x−∞,000,222,+∞g’(x)−0+0−g(x)单调递减-6单调递增2单调递减所以当−6<t<2时，符合题目。（3）由（2）知切线方程为y因为过点Q（a，b）代入切线，有b即b=令g(x)=−2g'x=−6x2+6ax=−6x(x−a)令g’(x)当a=0时，g’(x)<0在R上g(x)单增，所以只有一条切线当a>0时x−∞,000,aaa,+∞g’(x)−0+0−g(x)单调递减极小值-3a单调递增极大值a单调递减所以当−3a<b<a当b=−3a或当b<−3a或当a<0时，由奇函数对称可知当a3当b=−3a或当b<a所以，综上所述：当a=0，bϵR时，有一条切线当a>0时且当−3a<b<a当b=−3a或当b<−3a或当a<0时且当a3当b=−3a或当b<a22（共15分,一问4二问6三问5）解（1）由题意知，数列通项公式为，满足，所以数列具有性质；数列中，代入，，所以不满足，所以数列不具有性质.（2）由数列具有性质，得，所以，即，所以数列：，，，，，是等差数列．

又因为，，所以数列的公差，同理，得数列：，，，⋯，，是等差数列，公差．

①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是，所以数列的最小项为1，这与矛盾；②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾；

③若且，则为递减数列，为递增数列．由，得3为数列中的项，所以只能是，且；同理，可得0为数列中的项，所以只能，．此时，的通项公式为．

④若，，类似③的讨论可得，．此时，的通项公式为．综上，的通项公式为或（3）由数列1，1，2，2，3，3，⋯，，，，，，，不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且．类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，⋯，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得．所以的最小值大于或等于5．

以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”．因为具有性质，即，所以对于，是等差数列；同理，由具有性质，得对于，是等差数列．

由，，，，，，为等差数列（记公差为），且，，，，，，为等差数列（记公差为），得，，所以．令，则，，．同理