2025北京人大附中高二（上）统练四数学试题及答案

高中2025北京人大附中高二（上）统练四数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．2．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（

）A．11 B．12 C．13 D．145．如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（

）A． B． C． D．7．设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．318．已知等差数列的前项和，则“”是“是递减数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．10．设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（

）A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值二、填空题11．直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是．12．如图，在正三棱柱中，是棱上一点，，则三棱锥的体积为.13．已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则，.14．已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则的取值范围为.15．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有①若是“数列”则为假命题②若是“数列”且是等差数列，则单调递增③若是“数列”且单调递减，则是等比数列④若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50三、解答题16．已知数列的前项和为，且．(1)求的值；(2)求的通项公式；(3)若的各项都为正数，记，求．17．已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.18．已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．(1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;(2)若具有性质,证明:;(3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．

参考答案题号12345678910答案ABCACCCBDD1．A【分析】根据法向量的求法求解即可.【详解】由已知，设平面的一个法向量为，，取，得，选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A.2．B【分析】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可.【详解】由题意可得，解得，即实数的取值范围为.故选：B.3．C【分析】利用椭圆的定义，结合焦距和周长，即可得离心率.【详解】设的焦距为，由题意得的周长为，化简得：，所以得的离心率为.故选：C4．A【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求出公差即可.【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，则，整理得，而，解得，所以.故选：A5．C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得.【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，所以.故选：C6．C【分析】过点M作轴，利用直角三角形的性质可求出以，从而可求出，进而可求出焦点F的坐标.【详解】由抛物线的对称性，不妨设点M在x轴上方．设抛物线C的准线l与x轴的交点为H，则．过点M作轴于点N，作准线l于点Q，则四边形是矩形，，所以．在中，因为，，所以，所以．因为焦点F的坐标为，所以焦点F的坐标为．故选C．7．C【分析】由等差数列的性质及前项和求解．【详解】由，得，又，所以，等差数列的公差，即是递减数列，由，得，所以时，，由，得，所以当时，的最小值为30.故选：C.8．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列为常数列时，此时，满足前者，但是此时“不是递减数列”，故充分性不成立；当是递减数列，则对，，，当时，，当时，，，所以对，，则反推成立，故必要性成立，则“”是“是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.9．D【分析】设，由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆的定义求出，利用余弦定理及求解即可.【详解】设，由于与等高，，所以，又，，∴，又，∴，在中，，∵，，在中，，化简可得，解得，故选：D10．D【分析】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值.【详解】由已知，是等比数列，，即，可得，若，则，可计算当时，，结合，可得即为的最小值，同理，当，，当，，可知的最小值为，综上可得，有最小值.由可得，，根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，，因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值.综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.故选：D11．(答案不唯一)【分析】根据双曲线渐近线方程以及直线过坐标原点可知，若双曲线与直线没有公共点则，所以可求出离心率取值范围，即可求解.【详解】由双曲线方程，可得其渐近线方程为，若双曲线与直线没有公共点，则需满足所以离心率，所以离心率可以取内的一个值.故答案为：(答案不唯一)12．【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用锥体体积公式求解即可.【详解】取中点为,连接，因为为正三角形，所以，又因为平面，平面，所以,且平面，所以平面，,即到平面的距离为，又因为,平面,平面,所以平面，又因为是棱上一点，所以到平面的距离为,所以,故答案为:.13．/0.25【分析】根据题意和等差数列的性质可得，解得，结合等差数列的通项公式可得，利用与的关系即可求出数列的通项公式.【详解】由题意知，，由，得，，又等差数列的公差为，所以，即，解得，所以，解得，当时，，得，当时，，与题意中的相符，所以.故答案为：；.14．【分析】由题意可得,,且，从而得，代入求解即可.【详解】由题意可得,,又因为集合中恰有3个元素，即只有3个解，因为单调递减，单调递增，所以，所以，即，解得，即的范围为.故答案为：15．①④【分析】根据数列定义，举例计算判断①；结合等差数列，单调性，周期数列计算判断②③④.【详解】对于①，若是“数列”，当时，，，若当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，故命题若是“数列”则为假命题，①正确；对于②，若是“数列”且是等差数列，设公差为，当时，，即，当时，，则，，即，此时，数列不单调递增，②错误；对于③，若是“数列”且单调递减，当时，，因为数列单调递减，所以.当时，，因为数列单调递减，所以.当时，，因为数列单调递减，所以.可知数列不是等比数列，③错误；对于④，若是“数列”且是周期数列，假设周期为，当时，，当时，，所以或若时，当时，，所以或，若时，当时，，所以或，这样数列值会越来越大（非周期），所以若时，当时，，所以或，若时，当时，，所以或，若时，当时，，所以或，同理按此规律计算可得数列的取值可能是，所以的元素个数最多是，④正确．故答案为：①④16．(1)或(2)答案见解析(3)【分析】（1）利用赋值法求解参数即可.（2）利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可.（3）结合题意确定，再结合指数幂的性质和等差数列求和公式求解即可.【详解】（1）对于，令，可得，解得或.（2）当时，，此时，则，当时，则，可得，得到，即，则，化简得，可得是以为首项，为公比的等比数列，故.（3）因为的各项都为正数，所以，则.17．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的性质，离心率（为椭圆半焦距），三角形面积公式，再结合椭圆中来确定椭圆方程.（2）先求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据垂直平分线的性质、正方形的性质来求解的值.【详解】（1）已知，，，则的面积，解得.因为离心率，，所以.又因为，，，所以.所以椭圆的方程为.（2）将直线与椭圆联立得.根据韦达定理，，.计算，从而得到线段中点坐标为.

然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为，根据点斜式可得垂直平分线方程为，进而得到点.

最后根据四边形为正方形时：则展开得进一步化简为将，代入得，，整理得，解得.18．(1)不具有性质,具有性质,(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;(2)“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.(3)设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.【详解】（1）解:由题知,