2025北京五十五中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京五十五中高二12月月考数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线与直线的夹角为（

）度A．30 B．45 C．60 D．902．直线与圆相交所得的弦长为（

）A．1 B． C． D．23．双曲线的渐近线为，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．4．过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（

）A．直线的方程为 B．C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上5．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（

）A．11 B．12 C．13 D．146．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，在斜棱柱中，与交于点，，，，则（

）A． B．C． D．8．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（

）A． B． C． D．9．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，动点F沿着线段从点B移动到点．则下列结论中正确的是（

）A．直线与直线为异面直线 B．恒为钝角C．三棱锥体积越来越大 D．10．双曲线的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B．5 C． D．二、填空题11．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则．12．已知空间向量，，若，则实数．13．某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，若平面平面，则平面与平面所成角的度数为；正四棱锥的所有棱长之和为米．14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则后7项等比数列的公比；数列所有项的和为．15．已知是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为，给出下列四个结论：①；②设点，则直线的斜率的最大值为4；③，，；④的面积大于．其中所有正确结论的序号是．三、解答题16．如图，在长方体中，，点在上，且．(1)求证：平面(2)求直线与平面所成角的正弦值(3)求二面角的余弦值．17．已知在中，内角所对边分别为，．(1)求的大小；(2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长.①②边上的高线长为；③.18．椭圆的一个顶点为，长轴长为4．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)直线与椭圆交于，两点，弦中点为且，求的值．19．如图，四面体中，，，，为的中点．，，(1)证明：平面(2)求直线与直线所成角的余弦值．(3)设点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．20．已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．(1)求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；(2)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．21．已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.(1)判断下列数列是否具有性质P；①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.

参考答案题号12345678910答案BDCDACBCDA1．B【分析】根据给定条件，求出直线的倾斜角，进而求出夹角.【详解】直线的斜率为1，其倾斜角为，而直线垂直于轴，如图，所以所求夹角为.故选：B2．D【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，通过弦长为直径计算.【详解】圆可化为，则圆心为，半径为，因圆心在直线上，则弦长为.故选：D3．C【分析】由双曲线定义及渐近线定义计算即可得.【详解】由双曲线的渐近线为，则，解得.故选：C.4．D【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合点到直线距离公式逐项判断.【详解】依题意，设直线的方程为，由直线过点，得，解得，直线，由时，得点，由时，得点.对于A，直线的方程为，A正确；对于B，因，则，B正确；对于C，原点到直线的距离为，C正确；对于D，线段的中点不在直线上，D错误.故选：D5．A【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求出公差即可.【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，则，整理得，而，解得，所以.故选：A6．C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】根据给定的几何体，利用给定的空间向量的基底表示.【详解】在斜棱柱中，与交于点，.故选：B8．C【分析】连接点和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点位于图中点处，对火星的观测角最小.【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示：则，因为，所以越大，越小，越小，所以当点位于点处时，对火星的观测角最小，故选：C.9．D【分析】根据直线共面可得A错误，利用的特殊位置可得B错误，利用线面平行可判断C错误，利用线面垂直可判断D正确.【详解】对于A，易知，所以直线与直线为共面直线，A错误；对于B，由正方体的性质可知，当F与重合时，为锐角，B错误；对于C，因为，又平面，平面，所以平面，又在上，所以到平面的距离为定值，又三角形也为定值，所以三棱锥体积为定值，C错误；对于D，因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以，D正确.故选：D10．A【分析】根据给定条件，利用双曲线、抛物线定义求出点的坐标，再代入双曲线方程，结合离心率的定义求解.【详解】由双曲线定义得，设点，由抛物线定义得，解得，，又点在双曲线上，则，即，而，于是，整理得，即，而，解得，所以双曲线的离心率为2.故选：A11．【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，故答案为：.12．1【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：113．【分析】根据给定条件，作出平面与平面所成二面角的棱，构造直二面角的平面角，再利用二面角的定义，结合几何关系求解.【详解】在正四棱锥中，设平面和平面交于过点的直线，由，平面，平面，得平面，而平面，且平面平面，则，取的中点，连接，，即，由平面平面，得，而，则，，由，得平面与平面所成角为，大小为；，所以正四棱锥的所有棱长之和为.故答案为：；14．2384【分析】根据给定条件，结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果【详解】设前3项构成等差数列的公差为，后7项构成等比数列的公比为，则，且，解得，则，解得，所以.故答案为：2；38415．②③【分析】根据给定条件可得，作出点集组成的图形，再结合图象分析各个选项即可.【详解】，如图所示，阴影部分即为点集组成的图形，其中点，对于①，由，得，①错误；对于②，由及图知，当点位于点处时，直线的斜率最大，最大值为，②正确；对于③，由图知，③正确；对于④，由图知，的面积，④错误.故答案为：②③16．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.（3）利用面面角的向量法求解.【详解】（1）在长方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由，得，则，而，因此，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，设平面的法向量为，则，令，得，因此，所以直线与平面所成角的正弦值.（3）由（2）知平面的法向量，而是平面的一个法向量，因为，由图知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.17．(1)；(2)选择条件①时，周长为；选择条件②时，周长为；选择条件③时，三角形存在不唯一【分析】（1）利用正弦定理边化角求解.（2）选择①，利用余弦定理求解判断，并求出周长；选择②，由直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求解判断并求出周长；选择③，利用正弦定理求出并判断即可.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，又，所以.（2）选择条件①，，由（1）知，，由余弦定理，可得，整理得，而，解得，所以存在且唯一，其周长；选择条件②，边上的高线长为，由（1）知，，则，由余弦定理，得，所以存在且唯一，其周长；选择条件③，，由（1）知，，由正弦定理得，因为,则,故存在两解，不符合题意,存在且不唯一，不符合题意.18．(1)；；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出即可.（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出弦中点坐标，再利用垂直关系列式求解.【详解】（1）由椭圆的一个顶点为，长轴长为4，得，所以椭圆的方程为，离心率.（2）由消去得，设，，解得，则，，点，由，得直线的斜率为，因此，解得，所以的值为.19．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据给定条件，利用全等三角形性质证得，再利用线面垂直的判定推理得证.（2）由（1）及已知可得是正三角形，再利用空间向量求出异面直线夹角余弦.（3）确定的面积最小时点的位置，再求得到平面的距离，进而求出三棱锥的体积.【详解】（1）在四面体中，由，是的中点，得，由，得≌，则，，而，平面，所以平面.（2）由（1）知，，又，则是正三角形，，由，，得，，由，得，因此，，所以直线与直线所成角的余弦值为.（3）由（2）得，，则，即，而，由，平面，得平面，由（1）得，则≌，于是，，由，得当且仅当最短时，的面积最小，过作于，在中，，解得，，即有，过作于，则，平面，且，解得，所以.20．(1)，；(2)存在，.【分析】（1）根据给定条件，求出即得的方程，再求出直线方程，进而求得点的坐标.（2）求出点的坐标，假定存在，设出点坐标，利用直角三角形边角关系建立方程求解即可.【详解】（1）由椭圆过点，得，由的离心率为，得，解得，所以椭圆的方程为；由，得直线的方程为：，令，得，所以点.（2）依题意，点，则直线的方程为：，令，得，则点，由在椭圆上，得，假定在轴上存在点，使得，设，,,而，于是，，解得，所以在轴上存在点，使得，点.21．(1)答案见解析(2)或(3)存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解.（2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解.（3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解.【详解】（1）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P.②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P.（2）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.（i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以.（ii）当为偶数时，都是偶数，所以.所以.时，在前项中任两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立.综上，或.（3）存在最小值