福建省泉州惠安一中等名校联考2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含答案）

数学满分:150分考试时间:120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x 2x≥1，集合A.(−∞,2]B.(0,2.已知复数z满足5−z2z=1A.1B.2C.3D.43.已知a+b=6,若在a,b之间插入n个数x1,x2,⋯,xnA.10B.12C.14D.244.已知椭圆C:x225+y216=1的一个焦点为F，点P，QA.63,79B.64,795.x2−x+y6A.60B.20C.-20D.-606.若对任意x1,x2∈(0,2],且x1≠A.−∞,274B.(−∞,2]7.在空间中,我们把点集M=x,y,z∣x2+y2=r2,r>0,z∈R表示的曲面T称为圆柱面,借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现:任意不与z轴平行或垂直的平面截T所得封闭曲线为椭圆.设圆柱面EA.324B.8298.已知函数fx=sinaxtanbxa>0,b>A.-2B.-1C.1D.2二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fx=4A.曲线fx与y轴无公共点B.曲线y=C.fa2+110.已知A,B为随机事件,且PAA.若A,B互斥,则PA∪B=0.9B.C.若A,B相互独立,则PA∪B=0.7D.11.已知数列an的前n项和为Sn,满足a1=2,a3=8,an+1+an−1=2ann≥2,数列bnA.Sn=C.若Tn≤2025，则n的最大值为8D.满足2Sn≥b三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=1,−1,b=m.1.13.已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F1,抛物线C2:y2=16x的焦点为F2,若直线y=mm14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球,乙口袋中装有2个黑球和1个白球;现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行nn∈N次这样的操作,记口袋甲中黑球的个数为Xn,恰有1个黑球的概率为pn,则p1的值是_____；X四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知a,b,c分别是△ABC内角A(1)若c=2,a=1(2)若AD=DB,cosB=216.(15分)如图，在三棱锥D−ABC中，平面DAB⊥平面ABC，AB⊥AC，AB⊥AD，(1)求BC与平面BEF所成角的正弦值；(2)线段BF的延长线上是否存在点M，使得平面BEF与平面ACM夹角的余弦值为31010?若存在,求出BM17.(15.分)规定抽球试验规则如下:盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去,直至成功.(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，yt12345y23298604020求y关于t的回归方程y=bt+a(3)证明:12附:回归方程y=bx+a中b和a参考数据:i=15xi18.(17分)已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx有两个零点x1,x2，且b满足ax19.(17分)设抛物线C1:y2=2px(p为常数,且p>0)的焦点为F,准线为l,点A在C1上且位于第一象限,过点A(1)若点A的坐标为1,4.求(2)设过F,A,H三点可作椭圆C2,且C2的两个焦点均在x轴上,记x轴正半轴上的焦点为B,且B(i)证明:△2的离心率大于1(ii)证明:C2的离心率大于1数学参考答案与评分标准题序12345678答案CABDDABB题序9101112131.4答案ABDACDAC2441.【答案】C由2x≥1得1−2x=x−又B={故A∩B={x∣2.【答案】A由5−z2z=1+2i，得5−z=2z1+2i3.【答案】B因为a,x1,x2,⋯,xn,b成等差数列,所以x1+4.【答案】D隔网C:x225+y216=由椭圆的对称性.不妨令F为右焦点.A是左焦点.连接AP,FQ,又P.Q关于原点对称.则四边形APFQ为平行四边形或P.Q由PF+PA=QF+故QF=则PF2而2≤PF≤8故选:D5.【答案】Dx2−x+y令r=3,故x2−x3令6−k=5,则k=1,故x0y26.【答案】A不妨假设x1<x2,则lnx2x1+ax1−x所以h′x≥0在(0.2)上恒成立,即1x设φx=x+13x⋅φ′x=x+122x−1x2.易知函数φ7.【答案】B由圆意可知圆柱面的半径为1，如图，平面ABCD截圆柱面所得的截面为椭圆，记椭圆与过点P的母线的交点为M,该椭圆的半短轴长即为圆柱而的半径1.因为四棱锥P−ABCD为正四棱锥,所以四边形ABCD设正方形ABCD的中心为O,则PO⊥平面ABCD,故PO为平面ABCD因为z轴与面ABCD的夹角为π4⋅PM//z轴.∠MPO=π4⋅因为PO⊥平面ABCD⋅OM⊂平面ABCD，所以PO⊥OM，所以△POM为等腰直角三角形，又点O到直线PM的距离为1，所以椭圆的长轴长为22,PO=2。如图建立平面直角坐标系，则椭圆方程为x22+y2=1.四边形所以四边形ABCD的面积S=所以四棱锥P−ABCD的体积V=138.【答案】B因为函数fx≥0恒成立,所以sinax与tanbx同号或为0,则sinax与tanbx周期相同,即2πa=所以1b+2b≥2当且仅当1b=2b,即b=22时,等号成立,所以9.【答案】ABD对于A项,由fx=1ea−1+2可知ea对于B项,fx=2ex所以fx为奇函数,B对于C项,由A項结论可知显然错误:对于D项,由指数函数的性质知:当x∈−∞,ez−1∈−则fx∈−∞,−2∪2故选:ABD10.【答案】ACD对于A选项,若A,B互斥,根据互斥事件的概率加法公式PA∪B=PA+PB.已知对于B选项，若A，B相互独立，则A与B也相互独立.因为PB=1−PB=1−0.4对于C选项,若A.B相互独立,则根据概率的加法公式PA∪B=PA+PB−PAB,将对于D选项，已知PB∣A=PABPA=P根据条件概率公式PB∣A=PB故选:ACD.11.【答案】AC对于A,因为an+1+a所以数列an是等差数列,设公差为d因为a1=2,a3=8所以an=对于B,因为b1=2,bn+1=2bn所以bn=b1q所以Tn=对于C,由B知Tn=3⋅2n+1−n−6,所以Tn+1−Tn=3⋅2n所以n的最大值为8,正确;对于D.设fn则fn令gn=2n−当n≥3时,gn+1所以当n≥3时,g即当n≥3时f当n=1时,f2−f当n=2时,f3−f当n=3时,f4−f当n=4时.f5−f当n=5时,f6−f当n=6时,f7−f所以当1≤n≤6时,当n≥6时,f因为f1=−2<0.f7故选:AC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.【答案】2a⊥b.则a⋅b=1,−2⋅m,1=13.【答案】↓由抛物线C1:y2=抛物线C1的准线方程为x设Px则PF故PF1−QF所以m24−m2故答案为:m=14.【答案】4考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的.由全概率公式可得p1=13×23+2推导X0P则E则EXn−3给合EX1=43故答案为:19四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【答案】13(1)因为a2+b2−因为0∘<C<180因为asinA=csin所以sinA=12,又a<c,所以sin105所以S△(2)因为AD=DB，所以D为AB由题设a2+b2−因为cosB=255sin设∠BCD=α，在△BCD在△ACD中，有DA①②相除，得:sin45∘−asin所以cosαsinα=4,即tanα=1416.【答案】11010.(2)存在，(1)因为平面DAB⊥平面ABC.平面DAB∩平面AB⊥AC⋅AC⊂所以AC⊥平面DAB因为AB.AD⊂平面所以AC⊥又AB⊥因为AB=AC=2以A为原点，AB、AC、AD为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则B2,0.0.E0.0.1,所以BC=设平面BEF的法向量n=x则n⋅BE=0n⋅BF=0.即−2x+z=设BC与平面BEF所成角为θ,则sinθ所以BC与平面BEF所成角的正弦值1010(2)假设存在点M，设BMBF=λλ>1所以AM=设平面ACM的法向量m=x则m⋅AM=0m令z1=1,则α1=所以cos⟨m整理得7λ2λ−22−8λ2λ−2+1=0,解得λ所以存在点M使得平面BEF与平面ACM夹角的余弦值为31010,且17.【答案】(1)分布列见解析.数学期望为2912:2回归方程为y=(1)由题知,X的取值可能为1,2,3所以PXP所以X的分布列为1X123P112所以数学期望为EX(2)令x1=1t1,则y=所以δ=所以a=90−270×所以，估计t=6时，y≈111估计t=7时，y≈4预测成功的总人数为450+(3)由题知，在前n轮就成功的概率为P又因为在前n轮没有成功的概率为1===n故1218.【答案】(1)答案见解析:(2)−∞,−1fx的定义域为0,+∞且①当a≤0时，f′x>0，f②当a>0时，令f′x=当0<x<1a时,f′x>0;当x>1a时,f′x(2)由(1)可知，当a≤0时，f若a>0时，由则要使fx有两个零点,只需f1a=−lna故0<a<1e时,fx有两个零点由(1)易知0<a即lnx令x2x1=tt因为lnt>0,t−1t>则g1令ht=bt2①若h1≤0，即b≤−12时，t0≤1，故ht则gt<②若h1>0，即0>b>−12时，t0>从而gt在1,t1上单调递增，在t1,+∞综上所述，b的取值范围是(−∞,−119.【答案】(1)45(1)将点A1.4的坐标代入y2=2px，得47=则C1的方程为y2=16x⋅F4.0⋅l故HF=(2)(i)设Ax0,y0,x0>0,y0>因为C2经过A,根据椭圆的对称性,得C2的短轴必在线段AH的垂直平分线上,且C2的中心O′又C2的焦点均在x轴上，所以O′在x轴上，