福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年下学期开高二学考数学试卷（含答案）

永春一中2026年3月高二数学阶段性限时训练考试时间120分钟,试卷总分150分一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知a=2,3,1,b=1,−A.2bB.−2bC.2.由直线y=x+1上的动点P向圆A.1B.7C.223.若函数fx=x3−12x在区间k−A.−∞,−3∪C.−2,2D.4.已知数列an满足a1=1,an+1=anan+2A.22024−15.先后抛掷质地均匀的硬币4次,得到以下结论:①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是1以上结论中,错误的个数为()个A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图已知矩形ABCD,AB=1,BC=3,沿对角线AC将△ABC折起,当二面角B− AC−D的余弦值为A.1B.2C.3D.107.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点，AF⊥ BF,线段AB的中点为M,过点M作抛物线A.1B.22C.2D.8.已知fx=x+sinx−12+12,数列an满足:an=f1n+1+f2n+1A.5111024B.10232048C.2047二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知a=3,−2,−3,b=−1,x−1A.-2B.1C.5310.设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点M在抛物线C上，点N0,3，若MFA.y2=3xB.y211.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E为AD中点,动点PA.若AP=2,则点P的轨迹长度为B.若点P在线段B1D1上,则C.若点P与点D1重合,则三棱锥E−BCPD.若BP与BB1的夹角为π4,Q为线段BD1三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若两条直线l1:x+2y−6=0与l213.已知数列an的通项公式为an=n2214.如图,椭圆焦点三角形的∠F1AF2=90∘,AB四、本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方,下一局比赛将作为后手.在每一局比赛中若甲方先手,则该局甲获胜的概率为23:若甲方后手,则该局甲获胜的概率为2(1)求双方需要进行第三局比赛的概率;(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率.16.四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD(1)求证:BC⊥平面PAB(2)求二面角A−PD17.已知圆心在x轴上的圆C与直线l:4x+3y−(1)求圆C的标准方程:(2)已知N2,1，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于Px1,y118.已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)设过点B0,mm>0的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段19.已知函数fx=lnx−ax(1)当a=1时，求函数f(2)①若fx≤0恒成立，求②证明:1+12+1永春一中2026年3月高二数学阶段性限时训练参考答案一、单项选择题:12345678CBBCACDD8.D由fx则fx由an得an则2+⋯+fnn+1由bn+2=4则数列bn−12的奇数项是以5偶数项是以92−12则数列bn−12显然数列bn−12是以则bn−12=2n,即所以an则数列an+2a1−故选:D二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.910.BCD11.BCD对于A,AP=2⇔A1P=1,则如图(1)∴轨迹长度为2π×14=π2对于B,如图(2)所示，(2)设B1∴EP又∵A∴AC1⋅EP=对于C,方法一,如图(3)所示,EB=取BC中点F,连接EF,则等腰△BCE的外接圆圆心O1在EF(3)∴△BCE外接圆半径r=O1E根据正弦定理可知,ECsin∠EBC=2r⇒r=58,在Rt△BCP中,外心O2为BP中点,连接EO2并延长交过点O1作平行于DD1的垂线交EG于点即O为三棱锥E−BCP的外接球球心,∴外接球半径R=O1Esin∠GEF方法二,以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则E1设球心Mx∴x−122∴R2=ME2对于D,由BP,BB1=π4知,点P连接B1D1,由对称性可知,当点P位于B1D1上时,PQ最小,过Q作在Rt△QGB中,故PQ+33BQ=PQ+QG,如图在平面BDD1B1则PQ+QG≥PM=D故选:BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.513.314.3解法一:根据∠x知Aacc2−b则D点坐标代入方程:y−y当x=0时，y由AB=2BD可得:将B点代入椭圆方程得:a23c2c2所以e=c因此离心率为32解法二:设点Ax0,y0因为∠F1AF2联立x02+y0由点A在椭圆C上，且∠F1则A=同理AF设角平分线交x轴于Tm,SS∴AF2AF1=F2可得直线AB:y=y0由AB=2BD,可得设AB中点为M,则xM点差法的结论,证明如下:设Ax1,y1,故x12a2+又由x1+x2=最后化简得,y0进而得到,kOM进而得2−所以y02x02=b4a故答案为:32四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，因为前两局比赛中,双方各先手一次,故双方需要进行第三局比赛的概率P=2(2)记第i局甲获胜为事件Aii=1,2,3，甲赢得比赛为事件B，-6分则B包含的所有事件为A1APPA1得PB=16.(1)连接AC，因为PA⊥平面ABCD，BC，AC⊂平面ABCD所以PA⊥BC又PA=所以AC=3所以AB2+BC2又PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.-7(2)如图建立空间直角坐标系，则A2,0所以AP=0设平面APD的法向量为n=则AP⋅令x=2,则n设平面PDC的法向量为m=则DC⋅令c=2,则m设二面角A−PD−C为θ所以cosθ=−所以二面角A−PD−C的余弦值为17.(1)由圆心在x轴上的圆C与直线l:4x+3y−6设Ca直线l:4x+3y−6则kCM=所以653所以a=−1所以C−1,0,CM所以圆C的标准方程为x+1(2)设直线l1:y=kxk可得1+k2xΔ=4+由根与系数的关系得x1+∴===12+令t=3+kt>所以12+4k当且仅当t=10t,即t=10所以PN2+QN2的最大值为18.(1)由题意,得:4a=4又因为a解得a=2所以椭圆C的方程为x22(2)当直线l的斜率不存在时,由题意知l的方程为x此时E方构圆的上下顶点,且EF因为点D0,−m总在以线段EF故点B在椭圆内,所以0<m当直线l的斜率存在时,设l的方程为y由y=kx+m,xΔ=4 km设Ex1,y1F因为点D总在以线段EF为直径的圆内,所以DE⋅DF因为DEDE==k2整理,得m2<k2+1k2+3所以m2<131,由m>综上,m的取值范围是0<m19.(1)当a=1时，函数fx=lnx−x+1，函数定义域为当0<x<1,f所以fx在0,1单调递增,在1,+∞所以函数在x=1处取得极大值也是