四川成都树德中学2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含答案）

树德中学高2023级高三下期开学测试数学试题考试时间:120分钟总分:150分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数2+i1−A.-iB.−35i2.设alog34=2A.116B.19C.13.2x−3xA.[2,+∞)B.−∞,1]∪[4.已知a=x−1,x,b=2,1A.-5B.-1C.1D.55.函数fx=1−cosxsinxA.B.C.D.6.x+ax2x−A.-40B.-20C.20D.407.在平面直角坐标系中,已知点F1,F2分别为椭圆C:x29+y2=1的左,右焦点,P为椭圆C上的点,过F2A.9πB.6πC.3πD.π8.袋中有5张卡片,分别写有数字1,2,3,4,5,有放回地摸出两张卡片.记事件M=“第一次摸得偶数”,N=“第二次摸得2”,Q=“两次摸得数字之和大于8”,A.M与Q相互独立B.N与R相互独立C.N与Q相互独立D.Q与R相互独立二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0分.9.已知在体能测试中,某校学生的成绩ξ服从正态分布N70,16,其中60分为及格线,则()(参考数据:A.该校学生成绩的均值为70B.该校学生成绩的标准差为2C.该校学生成绩的标准差为16D.该校学生成绩及格率超过95%10.在三棱锥A−BCD中,AB=AC=2,△BCD是边长为2的正三角形,若二面角A.BC⊥ADC.三棱锥A−BCD的体积为32D.三棱锥A−11.已知函数fx=xA.x=e是函数fxB.对∀k≥3,方程C.πD.存在k∈R,使得直线y=kx−三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线y2=4x上一点P的纵坐标为4,则点13.牛得亨先生、他的妹妹牛得美、他的儿子牛尚天,还有他的女儿牛尚颖都是乒乓球选手,这四人中有以下情况:①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是_____.(填选手姓名)14.在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况,随机抽取了该市120名市民进行统计,得到如下2×2男女合计了解冰雪运动mp70不了解冰雪运动nq50合计6060120已知从参与调查的男性市民中随机选取1名，抽到了解冰雪运动的概率为23(1)直接写出m,n(2)能否根据小概率值α=0.1附:χ2α0.1000.0500.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(15分)如图,四棱锥S−ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//CD，AD⊥DC，AB=AD=1，SD=DC=2，(1)证明:SE=2EB(2)求二面角A−DE17.(15分)已知an和bn是各项均为整数的数列,若an为等差数列,bn满足bn=an−2,n=(1)求an(2)求数列bn的前n项和T18.(17分)在平面直角坐标系xoy中,已知点F1−7,0,F27,0,若动点M满足(1)求曲线Γ的方程；(2)设点A为直线x=1上一点，过A作曲线Γ的两条切线，切点分别为P、(i)证明:直线PQ过定点;(ii)若直线PQ与以点T8,0为圆心的圆相切,且切点为线段PQ的中点,求四边形19.(17分)已知函数fx=m2sin2x+m−1x+sinx,其中m(1)求g′x(2)设gx的最大值为hm(i)求hm(ii)证明:g′树德中学高2023级高三下期开学测试数学试题参考答案1234567891011121314ABCACDBBADACDAB5牛尚颖4315.【解】(1)由题知,m=60×23=40,所以(2)能.理由如下:零假设为H0:该市居民了解冰雪运动与性别无关，由题意知，6分χ2=120×40×3016.【解】(1)分别以向量DA,DC,DS的方向为则D0∵E∈SB,∴BE设平面SBC的法向量为m=由m⋅SB=x1+y1−设平面EDC的一个法向量为n=由n⋅DC=2y2=0n由m⋅n=0得:λ=13，即BS=3BE(2)由(1)知:DA=1,0,0设平面ADE的一个法向量为k=x3,y3,z3,则k⋅DA=x3=0k⋅DE=2317.【解】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=162a1+3d=8,又T3=b1+b2+b3=结合an各项为整数,则a2=3为满足题意的一个解,又函数fx=2x+2x−14在R联立①②，解得:a1=1,d=2，所以(2)由(1)得an=情形1:当n=2k,k∈N∗,设an前2k项和T2k分为奇数项和与偶数项和,奇数项和(共k项):首项b1=−1,末项b2k−1=4k−5,公差为4的等差数列,其和为k−1+4k−52情形2:当n=2k−1,k∈N∗为,设an前2k−1项和T2k−1=T2k−b2k,其中b2k=24k−1。18.【解】(1)根据双曲线的定义，动点M满足MF1−MF2=4<F1F2=27，因此轨迹为双曲线的右支,由2a=4得a=2;由焦点F1−(2)(i)先证明引理:过双曲线x24−y23=1上一点x0,y0的切线方程为x0x4−因为直线与双曲线相切,故Δ=3x0−4k0y02=0,化简得切线斜率k0=3x0当切线斜率不存在时,切线为x=±2,代入上述方程得2x综上所述,过双曲线x24−y23=1设点A的坐标为1,t,切点Px1,y1、Qx2,y2,由引理,知双曲线x24−y23=1x≥2在切点x0,y0处的切线方程为x0x4−y0y3=1,由于点A1,t在切线AP(2)(ii)分两种情况讨论:情况1:直线PQ⊥x轴时，PQ的方程为x=4(过定点4,0)，将其代入双曲线方程x24−y23=1,得164−y23=1⇒y=±3,即P4,3、Q4,−3,中点N4,0情况2:直线PQ不垂直于x轴时,PQ的方程为y=kx−4k≠0,联立双曲线方程y=kx−4x24−y23=1,消去y并整理,得3−4由TN⊥PQ,向量TN=x0−8,y0,向量PQ的方向向量为1,k,故x0−8⋅1+y0⋅k=0,代入x0,y0并化简PQ=1+6⋅207=2077.当k=6时,由直线PQ的方程3x−4ty−12=0与y=kx−4等价,得t=34k,即A1,346四边形ATPQ的面积为△APQ与△TPQ的面积和:代入数值化简S=12×2077×75综上所述,四边形ATPQ的面积为21或28562819.【解】(1)由题知,gx=(2)(i)当m≥1gx=mcos2x当