四川泸州市泸县第五中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题（含解析）

高2023级高三第二学期开学检测数学注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.考生必须保持答题卡的整洁.第1卷选择题(58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈N∗A.⌀B.{C.{0,2.命题“∀x>1A.∃x>C.∀x>3.在△ABC中，AD=2DC,A.13AB+23AC4.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S9=21A.6B.7C.12D.165.x−3xA.x≤0B.x≥4C.x≥06.已知随机变量X∼N1,σ2且PXA.64B.128C.-64D.-1287.若圆锥的体积与球的体积相等,且圆锥的底面半径与球的直径相等,则圆锥的侧面积与球的表面积之比为()A.2:2B.2:18.已知F1,F2为双曲线E:x2a2−y2b2=1 a>0A.5B.2C.3D.2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位:亿千瓦时)的折线图,则()A.1月至7月全社会用电量逐月增加B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大10.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A4,n为C上一点，且AF=5，直线AFA.p=2C.B1411.数学中有许多形状优美的曲线,曲线C:y22+sinx=A.当x∈−12,12时,曲线C与B.曲线C的图象关于x=−πC.当x∈0,π2时,曲线C上的一点D.当x∈0,π2时,曲线C上的一点第II卷非选择题(92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数z满足:i3⋅z=513.某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午,每班次一人,其中女老师不在下午值班,且每个人至少要值班一次,则不同的安排方法共有_____种(用数字作答).14.已知fx=sinωxcosπ5+cosωxcos3π10ω>0,若四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(1)求B；(2)设点D为边AC的中点，BD=3，△ABC的面积为3，求a，16.已知函数fx=ex(1)求函数fx在0,(2)若gx为fx的导函数，函数hx=fx−x⋅g17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AC=(1)证明:A1C⊥平面(2)求平面AB1C1与平面18.人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利.2026年某班元旦晚会上,同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏,游戏规则如下:1每位同学依次答题三道,每题答错得0分,答对得相应分值;2第一题系统随机出题,分值为4分;从第二题开始,后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对,则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分,则参与者获得一份奖品,同学们纷纷踊跃参加游戏,已知甲同学答对第一题的概率为p0.4(1)若p=①求甲同学答对第二题的概率；②记甲同学最后一题的得分为X，求X的分布列；(2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度,答对概率相对前一题减少0.2,分值仍加倍.若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？19.如图,椭圆C1:x28+y2b2=10<b<22与双曲线C2:x2b2−y2=1在第一象限的公共点为A2,yA(1)求b的值；(2)已知过点D2,0的直线l与曲线Γ交于E,F两点，若AD⋅(3)若直线y=kx+1k≥1与曲线Γ交于M,NS=λtan∠MAN,求实数1.BA=因为B={所以A∩故选:B.2.A命题“∀x>1,x故选:A.3.C因为AD=2DC,BE所以DE=故选:C.4.B由题意得,S9=9a1∴a故选:B.5.B不等式x−3x+2>0的解集为:对于A,因{x∣x≤0}不是{x∣x<−对于B,因{x∣x≥4}是{x∣x<−对于C,因{x∣x≥0}不是{x∣x<−对于D,因52∈{x∣x⟩2或x<−2即{x∣x⟩2或x<−2}不是{x∣故选:B6.B由X∼N1,σ因为PX所以−2+2a−2可得二项式为3x−令x=1,则所以展开式中各项系数之和为128.故选:B.7.C设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,球的半径为R,则由题意得13πr2h∴圆锥侧面积S锥=πrl=∴故圆锥侧面积与球的表面积之比为5:故选:C8.D易知F1−c,0,因此可得F2到渐近线的距离为d又易知tan∠HOF2=b由2OH2=HF又易知cos∠HOF1=−cos∠HOF2,即因此可得3a2+c2=2a2因为△F1HF2的面积为△OH当且仅当a=b=1时，△OHF此时离心率为e=故选:D9.BDA:由图知,3月到4月用电量减少,故错误;B:由图,用电量的极差为79.9−59.2C:数据从小到大有59.2,60.1,61.6,61.9,64.3,66.4,79.9,又7×所以第75百分位数是第六个数据66.4,故错误;D:由1月至3月用电量极差为66.4−59.2=7.2,4月至6月用电量极差为64.3−61.6=2.7,显然7.2故选:BD10.AD依题意,抛物线C:y2=2px因为A4,n为C上一点,且AF=5解得p=2,故可得抛物线C:y2=4x因为A为C上一点,则n2=4×4,所以n=±若A4,4,则线AF的方程为代入C:y2=4x,得169x−12=4x因为B与A分别在x轴的两侧,可得B1同理:若A4,−4,可得综上所述:B14,−1或B14若A4,4,则OA=4同理:若A4,−4,可得故D正确;故选:AD.11.ABD对于A选项,当x∈−12,12时,在曲线C的方程中,令y=0,可得sinx=1,解得x∈−7π2,−3π2,π2,5π2,所以当x∈−12,12时,曲线C与x轴有4个交点,因为y22+sin−π−x=y2所以曲线C的图象关于直线x=−π2对称,对于C,D选项,当x∈0,π2时,在曲线C上的一点P则OP2=x2+令fx=x2−2sinx+因为函数y=2x、y=−2cosx在0,π因为f′所以,存在x0∈π6,π4使得当0<x<x0时,f′x<f所以函数fx在0,x0上单调递减,在x所以fxmaxf=1因为x0∈π6,π4,所以所以94所以,fx0=−sinx0故选:ABD.12.1由题意得,z=5−ii3故答案为:113.252若上午值班均为女教师,则不同的安排方法共有23−可知下午值班均为男教师，则不同的安排方法共有A33则不同的安排方法共有6×6若上午值班有男教师,则不同的安排方法共有C31①当上午值班的男教师不下午值班时，则不同的安排方法共有23−②当上午值班的男教师也下午值班时，则不同的安排方法共有A33则不同的安排方法共有18×6综上所述:不同的安排方法共有36+216故答案为:252.14.9f=sin要使fx在π3首先π−π3<3T其次由x∈π3,π由0<ω<92由于fx在π3若π5<π3ω+π5≤若π<π3ω+π5<17π综上所述，ω的取值范围是95故答案为:915.1(2)a(1)因为bcos所以sinB所以sinB即3sin因为A∈0,π所以3sinB−cosB=又因为B∈0,π所以B−π6=π(2)由题得2BD=所以4BD所以a2又因为B=π3,则由S=12acsin由①②得a=16.1(2)e(1)由题可得f′令f′x≥0,即excosx−sinx即222cosx−又x∈0,π,则x+π4∈π所以函数fx的单调递增区间是0(2)由题，gx=g由hx∴h因为x∈0,π,所以sinx≥0,ex>0,所以h′x≥0,仅在x=0故hx所以函数hx在0,π上的最大值为17.(1)在△CAA1中，AC=12由余弦定理可得A1C所以A1C2+AC2=3又因为平面ABC⊥平面A平面ABC∩平面AA1C1所以A1C⊥平面(2)因为△ABC为等腰直角三角形，且AC=BC，所以因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂以C为坐标原点，CA,CB,CA1所在直线为x则A1,0,0设平面AB1C1m所以平面AB1C1又因为A1C⊥AC,所以AC⊥平面A1BC,所以CA=1,设平面AB1C1与平面A1所以cosθ所以平面AB1C1与平面A118.(1)设甲同学答对第i题为事件Ai①P=0.5②若甲同学最后一题答错，则有4种情况A1A1A2A3∴P若甲同学最后一题答对,则有4种情况A1A∴PP综上可知:X=0X01416P0.50.140.30.06(2)若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为p1则p1若甲第二题进行场外求助,获奖的概率为p2,则p若甲第三题进行场外求助,设获奖的概率为p3则p3令fp该二次函数开口向下,对称轴为p=因为p∈0.4,0.7,函数fp即fp>f0.4=−∴p1>p19.1(2)x(3)λ(1)由于椭圆C1:x28+y2b2=即228+yA2b2=(2)设Ex1,y1,由AD⋅EF=2得,−y2−y1当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为:x=2,此时E当直线l的斜率存在时,由题意知交点E,F必定在直线x即左侧为与椭圆的交点,右侧与双曲线的交点,由椭圆的对称性,当交点在第一象限且在椭圆上曲线段QA时,y1>yA=1,此时y而双曲线的渐近线方程为:y=±与双曲线没有横坐标大于2的交点,即当交点位于椭圆第二象限时,不可能;同理,当直线l与椭圆交于x轴下方时