第2讲　统计与成对数据的统计分析

第2讲统计与成对数据的统计分析高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026考点一统计图表、数字特征考点二回归分析目录索引考点三独立性检验考点一统计图表、数字特征理知识从频率分布直方图中得到有关数据的方法:频率频率比频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,各小长方形高的比也就是频率比众数的估计值频率分布直方图中最高小长方形底边中点的横坐标中位数的估计值频率分布直方图中中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数的估计值频率分布直方图中每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和链高考1.(2024新高考Ⅱ,4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表:亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)生产数61218302410据表中数据,结论中正确的是(

)A.100块稻田亩产量中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间C

2.(多选题)(2021新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(

)A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同CD

例1

(1)(多选题)(2025黑龙江哈尔滨二模)某高中为了解该校学生的体质情况,对全校同学进行了身体素质测试,现随机抽取所有测试同学中的100名,经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间.为进一步分析该校学生体质情况,现将数据整理得到如下所示频率分布直方图,则下列结论正确的是(

)A.a=0.010B.样本中得分不低于80分的同学有15名C.估计样本的40%分位数为66D.估计该组数据的平均数大于众数ABC

(2)(多选题)(2025湖南郴州三模)某市为丰富市民的业余生活,春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛.比赛分青年组、中年组和老年组,每组由6位专业评委对演唱评分(满分10分),老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示,则下列结论正确的是(

)A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的极差大于乙得分的极差C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差ABD

考点二回归分析理知识

链高考1.(2024天津,3)下列图中,相关系数最大的是(

)A解析

观察4个选项可知,选项A中的散点分布比较集中,且基本接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关.故选A.

根据以上信息,如下判断正确的为(

)A.花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B.花瓣长度和花萼长度负相关C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cmD.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定是0.8642C

例2

(2025湖南长沙模拟)某电动车公司的年广告费xi(单位:万元)和年销售量yi(单位:万辆)关系如图所示.令vi=lnxi(i=1,2,…,5),数据经过初步处理得444.81040.31.60819.58.04现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归模型,其中a,b,m,n均为常数.(1)请从样本相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?(精确到小数点后两位)(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归模型及表中数据,求出y关于x的经验回归方程,并预测年广告费为6万元时,产品的年销售量是多少?(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ的影响,设随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且满足P(ξ>800)=0.3.在(2)的条件下,求该公司年净利润的最大值大于1000万元的概率.(年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量)

考点三独立性检验理知识1.基于小概率值α的检验规则是:当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.2.χ2越大两分类变量无关的可能性越小,推断犯错误的概率越小,在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关,并不是指两个变量无关的可能性为0.01.链高考(2025新高考Ⅰ,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:组别检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000

P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

例3

(2023全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;(2)试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.826.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.635.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:分组<m≥m对照组

试验组

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635

X012P

分组<m≥m对照组614试验组146

【对点训练】(2025江苏南通模拟)某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的观念是否与性别有关”,从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查,得到如下数据(10≤m≤20,m∈N*),依据小概率值α=0.05的独立性检验可以推断“支持增加中学生体育锻炼时间的观念与性别有关”,则在这被调查的80名女生中