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文档简介
专题6.5数列求和(举一反三复习讲义)
【全国通用】
1、数列求和
数列求和是高考的重点、热点内容,命题形式多种多样,大小均有,属
于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看,数列求和在选择、填空
命题规律题中考查较为简单,主要考查等差、等比数列的前n项和及前n项和性质,
难度不大;在解答题中,往往在解决数列基本问题后考查数列求和,数列求
分析和问题有时会与不等式、函数、导数等知识结合,难度中等,数列求和方法
多种多样,需要灵活求解。
近几年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题,综合性强,难度
大,需要灵活求解。
考点2023年2024年2025年
新课标Ⅱ卷:第8题,
5分
高考真题新课标Ⅱ卷:第18题,新课标Ⅱ卷:第12题,全国一卷:第16题,
12分5分15分
全国甲卷(文数):全国甲卷(文数):全国二卷:第7题,5
统计数列求和
第5题,5分第17题,12分分
全国甲卷(理数):全国甲卷(理数):全国二卷:第9题,6
第17题,12分第18题,12分分
全国乙卷(文数):
第18题,12分
预测在2026年全国卷高考数学中,数列求和的考情将继续维持稳定态
势。选择题、填空题仍然以单独考查等差、等比数列的前项和为主,分值
年n
2026稳定在5分左右,难度较易;解答题中主要考查几类常见数列求和公式的灵
活运用,也可能会与不等式、函数、导数等模块结合命题,难度中等。核心
命题预测考查数列求和公式的灵活运用,注重公式的运用和数学运算能力,复习时要
加强这方面的训练,学会灵活运用数列求和公式。
知识点1数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式:
.
②等比数列的前n项和公式:
=.
2.分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后
相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类型,可采用两项合并
求解.
3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即
可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
常见的裂项技巧:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5.倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的
前n项和即可用倒序相加法求解.
知识点2特殊数列求和
1.奇偶项讨论求和
通项公式分奇、偶项有不同表达式;例如:.
角度1:求的前2n项和T2n;
角度2:求的前n项和Tn.
2.通项含有(-1)n的数列求和
通项含有(-1)n的类型;例如:.
【方法技巧与总结】
常用求和公式:
(1).
(2).
(3).
(4).
【题型1公式法求和】
【例1】(2026·山东枣庄·模拟预测)记等差数列的前n项和为,公差为d,若,
则()�����4=�8+7,�8+1=2�4
�A5.=15B.25C.35D.45
【变式1-1】(2026·云南·模拟预测)记为等比数列的前项和,已知,若的公比小于
零,则()������1=1,�3=7��
A.�155=B.C.31D.61
【变式1-2】(2026·重庆九龙−坡20·一模)已知为等差数列,其前n项和为,,则
(){��}��2�4+�7=�2+�10+3
�5=A.10B.15C.20D.30
【变式1-3】(2025·广东肇庆·一模)设为正项等比数列的前n项和,若,,
则()�����5+3�6=8�8+3�9=64
3
�A.=B.C.D.2
111
1442
【题型2错位相减法求和】
【例2】(2026·江苏镇江·模拟预测)已知等比数列的前项和为,,.
(1)求的通项公式;������1=1�4=�3+4�2−1
(2)设数��列的前项和为,求.
�������10
【变式2-1】(2026·河北沧州·一模)已知数列满足.
(1)证明:存在非零实数,使得数列��是等比�1数=列2;, �2=12, ��+2=4��+1−��
(2)求数列的前项和�.��+1+���
�����
【变式2-2】(2026·新疆·模拟预测)已知数列的前项和.
2
(1)证明:;�����=�
(2)若�2�=2��+1,求数列的前项和.
�−2
��=��+1×2�����
【变式2-3】(2026·辽宁沈阳·一模)已知数列是公差为2的等差数列,其前8项和为64,数列是公
比大于0的等比数列.����
(1)求数列的�通1项=公3,式�3;−�2=18
��
(2)记�,�,求数列的前项和.
��
��=���∈�,�≥1�����
【题型3裂项相消法求和】
【例3】(2025·甘肃金昌·模拟预测)已知数列的前n项和,则()
111
����=��+1�+2�1+�2+⋯+��=
A.B.C.D.
1�33�
6�3�+1��+1
【变式3-1】(2026·广东湛江·一模)在数列中,,令,则数列的
21
���1=1,��+1=��+1��=��+1+����
前15项的和为()
A.2B.3C.D.4
【变式3-2】(2026·吉林白山·一模)已知等差数列15的前n项和为,,.
(1)求的通项公式;����2�2+�5=21�6=51
�
(2)若�,求数列的前n项和.
1
��=����+1����
【变式3-3】(2026·重庆九龙坡·一模)设等比数列的前项和为,已知,.
(1)求和;������2=99�1+�3=54
��
(2)设��,证明:.
111
��=log9���1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4
【题型4分组(并项)法求和】
【例4】(2025·浙江台州·一模)已知等比数列满足:.设,
记数列的前项和为,则()���1+�3=10,�2+�4=20��=��+log2��+1
A.�1�49�B�.�153�6=C.155D.157
【变式4-1】(2025·江苏·三模)设,数列为等比数列,数列是公差不为零的等差数列,
��=��+������
且,,,则数列的前项和为()
�1A=.�1=1�2=�B2.�4=�3��C.10D.
【变式4-120】7(82026·广西柳州10·7二7模)设等差数列56的7前项和为,且550,.
(1)求的通项公式;������2=2�5=15
(2)设��,求数列的前项和.
��
��=2+�������
【变式4-3】(2026·云南昭通·模拟预测)已知各项递增的等比数列,等差数列其前n项和分别为,
,满足,,.������
(�1�)求,�2=�的2=通6项公�式4=;30�4=20
(2)将数��列��与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列,求数列的前50项和.
���������50
【题型5倒序相加法求和】
【例5】(25-26高一上·重庆·月考)已知函数,
�111
()��=2+2��2025+�2024+⋯+�2+�(2)+⋯+
�(20A2.4)+�(2025)=B.C.D.
4048404940504051
4444
【变式5-1】(25-26高二·全国·假期作业)已知数列是各项均为正数的等比数列,若是方程
2
的两个根,则��的值为()�2,�2025�−
21222322026
3�+A2.=0B.lo1g01�3+log�+logC.�2+02⋯3+log�D.1022
2026
3
【变式】(高二全国专题练习)设,,求的值.
5-22025··�
4122020
�
�(�)=4+2�=�2021+�2021+⋯+�2021�
【变式5-3】(2025·上海·模拟预测)已知,数列的前项和为,点均
121*
��=2�+2�������,���∈N
在函数的图象上.
(1)求数�列=��的通项公式;
�
若�,令,求数列的前项和
(2)�2024.
4��
�*
��=4+2��=�2025�∈N���2024
【题型6奇偶项问题讨论求和】
【例6】(2025·四川泸州·一模)记为数列的前项和,已知.
(1)求数列的通项公式;�����2��=3��−3
�
�为奇数
(2)设,求数列的前项和.
为偶数
��,�
��=��2��2�
log3��,�
【变式6-1】(2025·天津·一模)已知等比数列的前n项和为,满足,,数
列满足,��,且.���4−�2=12�4+2�2=3�3
(1)求��数列���,+1−的�+通1项�公�式=;��+1�∈�∗�1=1
����为奇数
设log2��,为的前项和,求
(2)2n.
��+2,�为偶数
��=2�������2�
��,�
【变式6-2】(2025·河南·三模)已知等差数列的前n项和为,且,.
(1)求;�����3+�7=6�12=45
�
�为奇数
(2)若数列满足,求数列的前20项和.
为偶数
��+��+2,�
����=��+��+2���20
2,�
【变式6-3】(2026·江西上饶·一模)已知递增的等差数列满足,,数列
的各项均为正数,,且���.1+�2+�3=9�1⋅�2⋅�3=15
2
�1��+1���+1
(1�)求数列,的通�项=公2式;2�−�⋅�+2�−�=0
��,��为奇数
(2)设,求数列的前项和.
,为偶数
���
��=1��2��2�
��−1⋅��+1�
【题型7先放缩再裂项求和】
【例7】(24-25高三上·辽宁·期中)已知是各项均为正数的数列,为前n项和,且,,
成等差数列.������������−2
(1)求的通项公式;
�
(2)求证�:;
11113
�1+�2+�3+⋅⋅⋅+��<4
(3)已知,求数列的前项和.
�
��=−1�������
【变式7-1】(2025·四川成都·一模)已知正项数列的前项和为,且.
2
�����2����=��+1
(1)求的通项公式;
�
(2)若数�列满足,证明:.
21111113
����=���1�3+�2�4+�3�5+�4�6+⋯+��−1��+1+����+2<4
【变式7-2】(2025·黑龙江吉林·模拟预测)已知数列的首项为1,其前项和为,且满足
.�����3���+1−6��=
(�1)�求+数1列�+2的通项公式.
�
(2)证明:�.
1111
�1+�2+�3+⋯+��<2
【变式7-3】(2025·广东汕尾·一模)记为递增数列的前项和,.
2
(1)求的通项公式;�������+4�=4��
(2)求数��列的前项和;
�
�2
(3)记�⋅�的�前项和为,证明:.
41
��=�2�⋅�2�+1,�������<2
【题型8新定义、新情景下的数列求和】
【例8】(2025·广西·模拟预测)行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具,最简单的二阶行列式的运算
定义如下:,已知是等比数列的前项和,若,则()
��2�31
=��−�������=0,�1=1�7=
A.31��B.63C.127D�.42551
【变式8-1】(24-25高二下·安徽亳州·期中)定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方
与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方
公差.设数列是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,,则数列的前项和()
1
���13=5��+��+1���=
A.B.C.D.
2�+1−12�−1−1
【变式8-2】2(2025·湖北·模拟预2测)已知是无穷2正�+整1数−数1列,定义操作2�−1−为1删除数列中除以
余数为的项,剩下的项按原先后顺序不变�得�到新数列.若,��,�,进行操作��后剩余�项
�−1∗
组成新数�列,设数列的前项和为.����=3�∈��3,1
(1)求;��log3��+�����
�
(2)设数�列满足,求数列的前项和.
1
����=log3�2�−1����+1�
【变式8-3】(24-25高二下·江西南昌·期中)对于数列且,则称数列
∗11
��,∀�∈�,��∈���−��∈−4,4��
为的“四分差数列”.已知数列为数列的“四分差数列”.
�����
(1)�若,求的值.
�6
��=2+5�1,�2,�3
(2)设.
①求��=的�通+项1公式;
�
②若数�列满足,且的前n项和为,证明:.
2
������=1������+2<��
考点一数列求和
一、单选题
1.(2025·全国二卷·高考真题)记为等差数列的前n项和.若则()
�����3=6,�5=−5,�6=
A.B.C.D.
2.(20−2230·新课标Ⅱ卷·高考−真1题5)记为等比数列−10的前n项和,若−5,,则()
A.120B.85��C.��D.�4=−5�6=21�2�8=
3.(2023·全国甲卷·高考真题)记为等差数列−85的前项和.若−120,则()
A.25B.22��C.2�0���D2.+1�56=10,�4�8=45�5=
二、多选题
4.(2025·全国二卷·高考真题)记为等比数列的前n项和,为的公比,若,
则()��������>0.�3=7,�3=1
A.B.
11
�=2�5=9
C.D.
三、填空�5题=8��+S�=8
5.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)记为等差数列的前n项和,若,,则
.��{��}�3+�4=73�2+�5=5
�四10、=解答题
6.(2025·全国一卷·高考真题)已知数列中,,.
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