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文档简介

专题6.4等比数列及其前n项和(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1等比数列的基本量计算】...........................................................................................................................1

【题型2等比数列的性质及应用】...........................................................................................................................3

【题型3等比数列的判定与证明】...........................................................................................................................4

【题型4等比数列的通项公式】...............................................................................................................................6

【题型5等比数列的前n项和】...............................................................................................................................8

【题型6等比数列的简单应用】...............................................................................................................................9

【题型7等比数列中的不等式问题】.....................................................................................................................11

【题型8等差数列与等比数列的综合应用】.........................................................................................................14

【题型9与等差、等比数列有关的新定义问题】.................................................................................................16

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1等比数列的基本量计算】

1.(2025·河南·一模)等比数列,,,则公比()

A.1B.2���2=3C.�34�4=72�D=.8

【答案】B

【解题思路】根据等比数列的通项公式及已知,列方程求得公比.

【解答过程】由题设,又,解得.

23

故选:B.�3�4=�2�=72�2=3�=2

2.(2026·吉林长春·一模)记为公比的等比数列的前项和,若首项,,则()

13

���≠1����1=4�3=4�3=

A.2B.1C.D.

1

−2−1

【答案】B

【解题思路】由等比数列的前项和公式可以解出进而求出

32,,.

�11−�3�11−�1+�+�3

��3=1−�=4⇒1−�=4�=−2�3

【解答过程】由等比数列的前项和公式

32,

�11−�3�11−�1+�+�3

��3=1−�=4⇒1−�=4

所以解得或.

1232

41+�+�=4⇒�+�−2=0�=−2�=1

因为,所以,所以.

12

�≠1�=−2�3=4−2=1

故选:B.

3.(2025·江西景德镇·模拟预测)一个各项均为正数的等比数列,第三项等于第四项和第五项之和,则公

比等于()

A.B.2C.D.

35−15+1

【答案】C222

【解题思路】根据题意,得到,利用等比数列的通项公式,化简得,即可求解.

2

【解答过程】设等比数列的�3公=比�为4+,�5其中且,�+�−1=0

因为第三项等于第四项和�第�五项之和,�可得��>0�,>所0以,

2

345333

所以,解得,�=�+��=��+��

2−1±5

�+�−1=0�=2

又因为,所以.

−1+5

故选:C�.>0�=2

4.(2026·河南郑州·模拟预测)已知单调递减的等比数列满足,,则()

�465

A.6B.C.��D=.12�=3�=

11

±64±4

【答案】A

【解题思路】根据条件求出公比,进而求得答案.

【解答过程】设数列的公比为,由,,得,所以,

6

2�311

����4=12�6=3�=�4=12=4�=±2

又数列是单调递减的等比数列,若,数列的项正负交替,不合题意,故,

11

���=−2���=2

.

1

∴�5=�4⋅�=12×2=6

故选:A.

【题型2等比数列的性质及应用】

5.(2025·福建泉州·模拟预测)已知为等比数列,,,则()

A.B.3��C.�2�7=−3�D2.�59=�1�3�6�6=

【答案】A−3−9

【解题思路】根据已指两个等式,利用等比数列下标和的性质得到,进而得解.

【解答过程】由题设,又,�1�6=−3�1

则�3�6=�2�7=−,3而�2�,5=�1�3�6

故�1�6=�.2�5=�1�3�6=−3�1�1≠0

故选�6:=A−.3

6.(2025·云南丽江·模拟预测)已知等比数列的各项均为正数,且,则

675

()���1⋅�6=3log3�1+log3�2+⋯+

log3�A6.=2014B.2024C.2025D.2026

【答案】C

【解题思路】根据给定条件,利用等比数列性质及对数运算计算得解.

【解答过程】等比数列的各项均为正数,且,

675

���1⋅�6=3.

3675

l故og选3�:1+C.log3�2+⋯+log3�6=log3(�1�2⋯�6)=log3(�1�6)=3log33=2025

7.(2025·安徽合肥·三模)已知数列是等比数列,若,,则()

A.4B.��C.�2=1�6D=.8�4=

【答案】C±422±22

【解题思路】应用等比数列项的性质计算求解.

【解答过程】因为数列是等比数列,设公比为,

且,,则��,�

2

2626

又因�为=1�=8�4=,�所�以=1×8=.8

22

故选:C�4.=�2�=�>0�4=22

8.(2025·江苏南通·三模)在等比数列中,,,则()

A.36B.��C.�5⋅�6⋅�7=8�2+D�.66=20�4=

【答案】D±6−6

【解题思路】根据等比数列的性质即可求解.

【解答过程】等比数列中,,,

3

,�由�于�5�6�7故=�6=8,所∴以�6=2,�2=18

∴故�选4:=±D.�2�6=±6�2>0,�4>0�4=6

【题型3等比数列的判定与证明】

9.(2025·上海黄浦·三模)已知数列各项为正,满足,m、n是正整数,是等

���+����

比数列,则P是Q的()��:��=���:�

A.充分必要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件.

【答案】B

【解题思路】设,令得,充分性成立,举出反例得到必要性不成立,得到结论.

【解答过程】设�1=�>0,�=1��中+1,=令���得,

1�+����+11��

即,所以�=�是>等0比数�列,=充�分�性成立;�=1�=��=��

��+1

��=���

但必要性不成立,理由如下:

不妨设的首项为1,公比为2,取得,

2

但��,不满足,从�而必=要�=性2不成�立4,=�2

2

综上�4,=P8,是�2Q=的2充分非必�要4条=件�2.

故选:B.

10.(2025·陕西西安·一模)已知为数列的前n项和,命题p:是等比数列;命题q:,,.

����2�3�

成等比数列,则p是q的()������

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解题思路】根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义,结合等比数列的定义判断即得.

【解答过程】令,数列是等比数列,,不成等比数列,则不能推出;

��2��2�3�

令�,=则(−1)�,�成=等0比�数列,�,而,�不是等比数列,�不能推出�,

�1=1,�=1

��=�2�=�3�=1��,�2�,�3�����

所以��p=是0,q�的≥既2不充分也不必要条件.

故选:D.

11.(2025·甘肃武威·模拟预测)已知数列满足,且.

����+1=3��+2�1=1

(1)证明:数列为等比数列,并求出的通项公式;

��

(2)设,�求+数2列的前项和.�

��=��+2�����

【答案】(1)证明见解析,

��

�32

(2)�=−

32�+3

��=4−4⋅3

【解题思路】()根据题意求出,代入计算为常数,所以数列为

1�+1

��+1+2

�+1���

��+1+2=3��+2��+2��+2

等比数列,根据等比数列通项公式求出通项公式,减去便可得到的通项公式.

��

��

(2)将的通项公式代入,求�出+数2列的通项公式2,利用�错位相减法求出.

��

��

����=��+2����=3��

【解答过程】(1)因为,

所以��+1=,3��+2

�+1�

�+1�

又�+2=3�+,2所以,

�+1

��+1+2

1�

�1+2=1+2=3≠0��+2=3

所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列,

所以��+2,

��−1�

则��+2=3.⋅3=3

��

(2�)�由=(31)−知2,

��

所以,�+2=3

��=3

所以,

123�

23�

��=3+3+3+⋯+3

则,

1123�

234�+1

3��=3+3+3+⋯+3

两式相减得

21111�

23��+1

3��=3+3+3+⋯+3−3 

11,

31−3��11�12�+3

1�+1��+1�

=1−3−3=2−2⋅3−3=2− 6⋅3

所以.

32�+3

��=4−4⋅3

12.(2025·河北·模拟预测)已知数列满足.

��1

����+1=2−��,�1=2

(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;

1

��−1��

(2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数,求.

������2025

【答案】(1)证明见解析,�,�

1

�−1

��=1+2

(2)

【解1题思路】(1)根据题意,化简得到,得到数列为等比数列,结合等比数列

111

�+1��

的通项公式,即可求解;�−1=2�−1�−1

(2)由(1)得,结合放缩法和裂项求和,求得,再由,

111

�−1�−12024

��=1+2<2�2025<2−2<2�1+�2+�3>1

证得,即可求解.

2025

【解答1过<程�】(1<)2解:由数列满足,

��1

����+1=2−��,�1=2

可得,

12−��1

��+1−1=��−1=2��−1

又由,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,

11

�1−1=1��−1

所以,即,所以数列的通项公式为.

111

�−1�−1�−1

��−1=2��=1+2����=1+2

(2)解:由(1)知:,

11

�−1�−1

��=1+2<2

所以1,故,

1111−2�11

�2�−11�−120252024

�<1+2+2+⋯+2=1−2=2−2�<2−2<2

因为,故,因此.

11131

�1+�2+�3=2+3+5=30>11<�2025<2�2025=1

【题型4等比数列的通项公式】

13.(2025·全国·一模)等比数列中,,,,则()

A.B.���1C=.1�5=−8�2�5D<.�2��=

�−1�−1��

【答案】B(−2)−(−2)(−2)−(−2)

【解题思路】根据题意等比数列的性质可得公比,且由可得,从而可求解.

【解答过程】由题意知数列为等比数列,设公�比=−为2,由�5<�2,得�1=−1,解得,

3

因为,即�,�即,所以�,�5又=因−为8�2�2,�所=以−8�2,�=−2

4

521111111

所以�<���<��16�<−2�,故B�正确<.0�=1�=−1

�−1�−1�−1

故选:��B=.�1�=−1×−2=−−2

14.(2025·河南信阳·模拟预测)已知等比数列的公比,前项和为,若,

成等差数列,则()���≠1����3=143�1,�2,−�3

A.�=B.C.D.

�−1��−1�

【答案】C2×332×−3−3

【解题思路】根据题意求得等比数列的首项和公比,即可求解.

【解答过程】设等比数列的首项为,公比为,

���1�1≠0��≠1

由题意可得3,

�11−�2

11

�3=1−�=14�1+�+�=14�=2

⇒2⇒

2132�=3−��=−3

所以2�=3�.−�

�−1

故选:��C=.2×−3

15.(2025·贵州遵义·模拟预测)已知数列为等比数列,且,.

(1)求的通项公式;���1+�2=6�2+�3=12

(2)设��,求数列的前项和.

【答案�】�=(1)��+�;�����

��=2

(2).

�+1�(�+1)

��=2−2+2

【解题思路】(1)根据给定条件,求出等比数列公比,再求出通项公式.

(2)由(1)的结论,利用分组求和法及等比数列前项和公式求解.

【解答过程】(1)在等比数列中,由�,,得公比,

�2+�3

�1223�1+�2

,解得,��+,�=6�+�=12�==2

�−1�

�所1以+�1�的=通6项公式�是1=2��.=�1�=2

(2)由��(1)知,��=2,

所以�=2+�

�.

23�2(1−2)�(�+1)�+1�(�+1)

�1−222

16.(�2=0225·+湖2北+孝2感·+模⋯拟+预2测)+已1+知2正+项3数+列⋯+�满=足:+=2−2+.

22*

(1)证明是等比数列,并求通项;���1+�2=6,��+1−����+1−2��=0,�∈�

(2)若��,求数列��的前项和的表达式.

*

【答案�】�=(1)�证�l明og见2�解��析∈;�;�����

(2)�.�=2

�+1

【解�题�=思(路�】−(1)1⋅)2根据+递2推关系即可证明等比数列,进而求得通项公式;

(2)根据错位相减法直接求数列的前项和.

【解答过程】(1)由�,得,

22*

因为是正项数列,��所+1以−����+1−2��=,0即,�∈�,(又��+1−2�,�)(��+1+��)=0

所以��是公比为的等��比+1数−列2,��又=0��+1=2���1>0,得,

所以���=2,即�1+.�2=�1+2�1=3�1=6�1=2

�−1�−1��

��=�1�=2⋅2=2��=2

(2)由(1)知,所以.

��

所以��=2,��=��log2��=�⋅2

即��=�1+�2+⋯+��,

123�

��=1⋅2+2⋅2+3⋅2+⋯+�⋅2,

234�+1

所2�以=1⋅2+2⋅2+3⋅2+⋯+�⋅2,

123��+12(1−2)�+1�+1

��1−2

所以�−2�=2+2+.2+⋯+2−�⋅2=−�⋅2=(1−�)⋅2−2

�+1

��=(�−1)⋅2+2

【题型5等比数列的前n项和】

17.(2025·江苏南通·模拟预测)已知等比数列前项和为,若,,则

22

()�����2�2=�1�4�2�=��+2���8=

A.128B.255C.256D.511

【答案】B

【解题思路】根据给定条件,利用等比数列通项及前项和意义求出公比及首项,再利用前项和公式求

解.���1�

【解答过程】设等比数列的公比为且,由,得,解得,

2223

由,得��,�即�1≠0,�≠0,2�而2=�1�4,因2�此1�=�1,⋅�1��=2

222

2���2111211211

经验�证=符�合+题2意�,所以�=�+2��+�=�+2��=2��=1

8.

1−2

8

故选:B.�=1−2=255

18.(2025·湖北·模拟预测)正项等比数列的前n项和为,,则()

A.6B.9��C.8���2=D.4,1�14=40�3=

【答案】B

【解题思路】由等比数列求和公式求得,进而可求解.

【解答过程】设等比数列的公比为�,

则�,�>0

2

即�2=�1+�2=,4解,�得4=:�1+�,2+�1+�2�=40

2

又4+4�=40,�=3

解得�1+�1�,=4

则�1=1,

2

故选�3:=B�.1�=9

19.(2025·河北·模拟预测)等比数列的公比为2,且满足,则的前10项和为()

A.4B.32��C.84�12−D�2.=1288��

【答案】A

【解题思路】根据等比数列通项基本量的关系,结合前项和公式求解即可.

【解答过程】因为数列为等比数列,公比为2.�

由得��,则,

1110

1221111

所以�−�的前=8项�和⋅为2−2�=8�⋅2−�=4

1010.

1

�1−210

�11

故选:�A.1−2=�⋅2−�=4

20.(2025·广东肇庆·一模)设为正项等比数列的前n项和,若,,则

()�����5+3�6=8�8+3�9=64�3=

A.B.C.D.2

111

1442

【答案】C

【解题思路】根据等比数列通项基本量的运算求得,代入等比数列求和公式求解即可.

1

【解答过程】设等比数列的公比为,∵�,�,∴.

�5+3�6�5+3�61

33−3

����8+3�9=�5�+3�6�=�=8�=2

由得,∴

3.

1

451�1−�1

561�1�1114�31−�2

故选�:+C3.�=�+3�=112�=8�===

【题型6等比数列的简单应用】

21.(25-26高二上·江苏苏州·月考)李华从2015年起,每年10月1日到银行存入a元,若年利率为r,按

复利计算,到期自动转存,那么2025年10月1日将前面的存款全部取出,可得本利和为()

A.B.11C.11D.10

10�1+�−1�1+�1+�−1�1+�1+�−1

【答案】D�1+����

【解题思路】把问题转化为等比数列的前项和求解.

【解答过程】依题意,2015年10月1日存�入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为.

10

同理可得:2016年10月1日存入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为;�1+�

9

2017年10月1日存入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为;�1+�

8

……�1+�

2024年10月1日存入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为.

�1+�

所以,2025年10月1日取出前面的存款共有:

289

�1+�+�1+�+……+�1+�+�1+�+�1+

10.

�1+�1−1+�

10

故�选=:D.1−1+�

22.(24-25高二下·青海海南·期末)如图,正方形的边长为4,取正方形各边的中点,,,

,作第2个正方形,然后再取正方形各𝐴边�的�中点,,,,作第�3��个�正方形.�如果�这个�

�作图过程可以一直继�续��下�去,那么这些正方形��的�面�积之和将趋�近于�(�)�����

A.32B.40C.48D.64

【答案】A

【解题思路】根据题意,正方形边长成等比数列,正方形的面积等于边长的平方可得,代入求出

2

的通项公式,然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可��求=解�.���

【解答过程】记第1个正方形的面积为,第2个正方形�的1+面�积2+为�3+,…,+第��n个正方形的面积为,

12�

设第n个正方形的边长为,则第n个正�方形的对角线长为,�…�

��

所以第n+1个正方形的边�长为,,2�

2��+12

��+1=2����=2

即数列{}是首项为,公比为的等比数列,,

22�−1

���1=42��=4⋅(2)

数列{}是首项为,公比为的等比数列,

1

���1=162

1,

16(1−2�)1

123�1�

�+�+�+…+�=1−2=32⋅(1−2)

所以如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32.

故选:A.

23.(2025·广东茂名·一模)有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1890

盏,则底层所开灯的数量为盏.

【答案】30

【解题思路】根据给定条件,构造等比数列,再利用等比数列列n项和公式计算即得.

【解答过程】依题意,从下往上每层灯的数据构成等比数列,公比,,前6项和,

���=2�=6�6=1890

于是,解得,

66

�1(1−�)�1(1−2)

�6=1−�=1−2=1890�1=30

所以底层所开灯的数量为30盏.

故答案为:30.

24.(2025·陕西榆林·一模)某人工智能模型在语言训练时,每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第

一轮训练的模型参数的数量为,若从第二轮开始,每一轮与它前一轮相比较,训练的模型参数增加的数量

可以看成一个以为首项,公比�为3的等比数列,则第五轮训练的模型参数的数量为.(用含

的式子表示)��

【答案】41t

【解题思路】由题意求等比数列的通项公式即可求解.

【解答过程】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量,

则,��,�+1�

所以�1=�是�首�+项1为=3,��公比为3的等比数列,通项公式为:,

�−1

所以,��第一轮参数�为,��=�⋅3

第二轮参数增加的数量�为,

第三轮参数增加的数量为�,

第四轮参数增加的数量为3�,

第五轮参数增加的数量为9�,

所以第五轮训练的模型参数27的�数量为.

故答案为:.�+�+3�+9�+27�=41�

41�

【题型7等比数列中的不等式问题】

25.(2025·甘肃定西·模拟预测)已知等比数列的前项和为,若对于任意,

*

��134

不等式恒成立,则的取值范围�为(�)�,�+�=5,�=15�∈�

2

��+642

��>�+6��

A.B.C.D.

【答案】A−8,2−2,8−10,6−6,10

【解题思路】根据已知及等比数列通项公式、前项和公式求基本量,再应用基本不等式求

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