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文档简介
专题6.4等比数列及其前n项和(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1等比数列的基本量计算】...........................................................................................................................1
【题型2等比数列的性质及应用】...........................................................................................................................3
【题型3等比数列的判定与证明】...........................................................................................................................4
【题型4等比数列的通项公式】...............................................................................................................................6
【题型5等比数列的前n项和】...............................................................................................................................8
【题型6等比数列的简单应用】...............................................................................................................................9
【题型7等比数列中的不等式问题】.....................................................................................................................11
【题型8等差数列与等比数列的综合应用】.........................................................................................................14
【题型9与等差、等比数列有关的新定义问题】.................................................................................................16
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1等比数列的基本量计算】
1.(2025·河南·一模)等比数列,,,则公比()
A.1B.2���2=3C.�34�4=72�D=.8
【答案】B
【解题思路】根据等比数列的通项公式及已知,列方程求得公比.
【解答过程】由题设,又,解得.
23
故选:B.�3�4=�2�=72�2=3�=2
2.(2026·吉林长春·一模)记为公比的等比数列的前项和,若首项,,则()
13
���≠1����1=4�3=4�3=
A.2B.1C.D.
1
−2−1
【答案】B
【解题思路】由等比数列的前项和公式可以解出进而求出
32,,.
�11−�3�11−�1+�+�3
��3=1−�=4⇒1−�=4�=−2�3
【解答过程】由等比数列的前项和公式
32,
�11−�3�11−�1+�+�3
��3=1−�=4⇒1−�=4
所以解得或.
1232
41+�+�=4⇒�+�−2=0�=−2�=1
因为,所以,所以.
12
�≠1�=−2�3=4−2=1
故选:B.
3.(2025·江西景德镇·模拟预测)一个各项均为正数的等比数列,第三项等于第四项和第五项之和,则公
比等于()
�
A.B.2C.D.
35−15+1
【答案】C222
【解题思路】根据题意,得到,利用等比数列的通项公式,化简得,即可求解.
2
【解答过程】设等比数列的�3公=比�为4+,�5其中且,�+�−1=0
因为第三项等于第四项和�第�五项之和,�可得��>0�,>所0以,
2
345333
所以,解得,�=�+��=��+��
2−1±5
�+�−1=0�=2
又因为,所以.
−1+5
故选:C�.>0�=2
4.(2026·河南郑州·模拟预测)已知单调递减的等比数列满足,,则()
�465
A.6B.C.��D=.12�=3�=
11
±64±4
【答案】A
【解题思路】根据条件求出公比,进而求得答案.
【解答过程】设数列的公比为,由,,得,所以,
6
2�311
����4=12�6=3�=�4=12=4�=±2
又数列是单调递减的等比数列,若,数列的项正负交替,不合题意,故,
11
���=−2���=2
.
1
∴�5=�4⋅�=12×2=6
故选:A.
【题型2等比数列的性质及应用】
5.(2025·福建泉州·模拟预测)已知为等比数列,,,则()
A.B.3��C.�2�7=−3�D2.�59=�1�3�6�6=
【答案】A−3−9
【解题思路】根据已指两个等式,利用等比数列下标和的性质得到,进而得解.
【解答过程】由题设,又,�1�6=−3�1
则�3�6=�2�7=−,3而�2�,5=�1�3�6
故�1�6=�.2�5=�1�3�6=−3�1�1≠0
故选�6:=A−.3
6.(2025·云南丽江·模拟预测)已知等比数列的各项均为正数,且,则
675
()���1⋅�6=3log3�1+log3�2+⋯+
log3�A6.=2014B.2024C.2025D.2026
【答案】C
【解题思路】根据给定条件,利用等比数列性质及对数运算计算得解.
【解答过程】等比数列的各项均为正数,且,
675
���1⋅�6=3.
3675
l故og选3�:1+C.log3�2+⋯+log3�6=log3(�1�2⋯�6)=log3(�1�6)=3log33=2025
7.(2025·安徽合肥·三模)已知数列是等比数列,若,,则()
A.4B.��C.�2=1�6D=.8�4=
【答案】C±422±22
【解题思路】应用等比数列项的性质计算求解.
【解答过程】因为数列是等比数列,设公比为,
且,,则��,�
2
2626
又因�为=1�=8�4=,�所�以=1×8=.8
22
故选:C�4.=�2�=�>0�4=22
8.(2025·江苏南通·三模)在等比数列中,,,则()
A.36B.��C.�5⋅�6⋅�7=8�2+D�.66=20�4=
【答案】D±6−6
【解题思路】根据等比数列的性质即可求解.
【解答过程】等比数列中,,,
3
,�由�于�5�6�7故=�6=8,所∴以�6=2,�2=18
∴故�选4:=±D.�2�6=±6�2>0,�4>0�4=6
【题型3等比数列的判定与证明】
9.(2025·上海黄浦·三模)已知数列各项为正,满足,m、n是正整数,是等
���+����
比数列,则P是Q的()��:��=���:�
A.充分必要条件B.充分非必要条件
C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件.
【答案】B
【解题思路】设,令得,充分性成立,举出反例得到必要性不成立,得到结论.
【解答过程】设�1=�>0,�=1��中+1,=令���得,
1�+����+11��
即,所以�=�是>等0比数�列,=充�分�性成立;�=1�=��=��
��+1
��=���
但必要性不成立,理由如下:
不妨设的首项为1,公比为2,取得,
2
但��,不满足,从�而必=要�=性2不成�立4,=�2
2
综上�4,=P8,是�2Q=的2充分非必�要4条=件�2.
故选:B.
10.(2025·陕西西安·一模)已知为数列的前n项和,命题p:是等比数列;命题q:,,.
����2�3�
成等比数列,则p是q的()������
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义,结合等比数列的定义判断即得.
【解答过程】令,数列是等比数列,,不成等比数列,则不能推出;
�
��2��2�3�
令�,=则(−1)�,�成=等0比�数列,�,而,�不是等比数列,�不能推出�,
�1=1,�=1
��=�2�=�3�=1��,�2�,�3�����
所以��p=是0,q�的≥既2不充分也不必要条件.
故选:D.
11.(2025·甘肃武威·模拟预测)已知数列满足,且.
�
����+1=3��+2�1=1
(1)证明:数列为等比数列,并求出的通项公式;
�
��
(2)设,�求+数2列的前项和.�
�
�
��=��+2�����
【答案】(1)证明见解析,
��
�32
(2)�=−
32�+3
�
��=4−4⋅3
【解题思路】()根据题意求出,代入计算为常数,所以数列为
1�+1
��+1+2
�+1���
��+1+2=3��+2��+2��+2
等比数列,根据等比数列通项公式求出通项公式,减去便可得到的通项公式.
��
��
(2)将的通项公式代入,求�出+数2列的通项公式2,利用�错位相减法求出.
��
��
����=��+2����=3��
【解答过程】(1)因为,
�
所以��+1=,3��+2
�+1�
�+1�
又�+2=3�+,2所以,
�+1
��+1+2
1�
�1+2=1+2=3≠0��+2=3
所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列,
�
所以��+2,
��−1�
则��+2=3.⋅3=3
��
(2�)�由=(31)−知2,
��
�
所以,�+2=3
�
�
��=3
所以,
123�
23�
��=3+3+3+⋯+3
则,
1123�
234�+1
3��=3+3+3+⋯+3
两式相减得
21111�
23��+1
3��=3+3+3+⋯+3−3
11,
31−3��11�12�+3
1�+1��+1�
=1−3−3=2−2⋅3−3=2− 6⋅3
所以.
32�+3
�
��=4−4⋅3
12.(2025·河北·模拟预测)已知数列满足.
��1
����+1=2−��,�1=2
(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;
1
��−1��
(2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数,求.
������2025
【答案】(1)证明见解析,�,�
1
�−1
��=1+2
(2)
【解1题思路】(1)根据题意,化简得到,得到数列为等比数列,结合等比数列
111
�+1��
的通项公式,即可求解;�−1=2�−1�−1
(2)由(1)得,结合放缩法和裂项求和,求得,再由,
111
�−1�−12024
��=1+2<2�2025<2−2<2�1+�2+�3>1
证得,即可求解.
2025
【解答1过<程�】(1<)2解:由数列满足,
��1
����+1=2−��,�1=2
可得,
12−��1
��+1−1=��−1=2��−1
又由,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
11
�1−1=1��−1
所以,即,所以数列的通项公式为.
111
�−1�−1�−1
��−1=2��=1+2����=1+2
(2)解:由(1)知:,
11
�−1�−1
��=1+2<2
所以1,故,
1111−2�11
�2�−11�−120252024
�<1+2+2+⋯+2=1−2=2−2�<2−2<2
因为,故,因此.
11131
�1+�2+�3=2+3+5=30>11<�2025<2�2025=1
【题型4等比数列的通项公式】
13.(2025·全国·一模)等比数列中,,,,则()
A.B.���1C=.1�5=−8�2�5D<.�2��=
�−1�−1��
【答案】B(−2)−(−2)(−2)−(−2)
【解题思路】根据题意等比数列的性质可得公比,且由可得,从而可求解.
【解答过程】由题意知数列为等比数列,设公�比=−为2,由�5<�2,得�1=−1,解得,
3
因为,即�,�即,所以�,�5又=因−为8�2�2,�所=以−8�2,�=−2
4
521111111
所以�<���<��16�<−2�,故B�正确<.0�=1�=−1
�−1�−1�−1
故选:��B=.�1�=−1×−2=−−2
14.(2025·河南信阳·模拟预测)已知等比数列的公比,前项和为,若,
成等差数列,则()���≠1����3=143�1,�2,−�3
�
A.�=B.C.D.
�−1��−1�
【答案】C2×332×−3−3
【解题思路】根据题意求得等比数列的首项和公比,即可求解.
【解答过程】设等比数列的首项为,公比为,
���1�1≠0��≠1
由题意可得3,
�11−�2
11
�3=1−�=14�1+�+�=14�=2
⇒2⇒
2132�=3−��=−3
所以2�=3�.−�
�−1
故选:��C=.2×−3
15.(2025·贵州遵义·模拟预测)已知数列为等比数列,且,.
(1)求的通项公式;���1+�2=6�2+�3=12
(2)设��,求数列的前项和.
【答案�】�=(1)��+�;�����
�
��=2
(2).
�+1�(�+1)
��=2−2+2
【解题思路】(1)根据给定条件,求出等比数列公比,再求出通项公式.
(2)由(1)的结论,利用分组求和法及等比数列前项和公式求解.
【解答过程】(1)在等比数列中,由�,,得公比,
�2+�3
�1223�1+�2
,解得,��+,�=6�+�=12�==2
�−1�
�所1以+�1�的=通6项公式�是1=2��.=�1�=2
�
(2)由��(1)知,��=2,
�
�
所以�=2+�
�.
23�2(1−2)�(�+1)�+1�(�+1)
�1−222
16.(�2=0225·+湖2北+孝2感·+模⋯拟+预2测)+已1+知2正+项3数+列⋯+�满=足:+=2−2+.
22*
(1)证明是等比数列,并求通项;���1+�2=6,��+1−����+1−2��=0,�∈�
(2)若��,求数列��的前项和的表达式.
*
【答案�】�=(1)�证�l明og见2�解��析∈;�;�����
�
(2)�.�=2
�+1
【解�题�=思(路�】−(1)1⋅)2根据+递2推关系即可证明等比数列,进而求得通项公式;
(2)根据错位相减法直接求数列的前项和.
【解答过程】(1)由�,得,
22*
因为是正项数列,��所+1以−����+1−2��=,0即,�∈�,(又��+1−2�,�)(��+1+��)=0
所以��是公比为的等��比+1数−列2,��又=0��+1=2���1>0,得,
所以���=2,即�1+.�2=�1+2�1=3�1=6�1=2
�−1�−1��
��=�1�=2⋅2=2��=2
(2)由(1)知,所以.
��
所以��=2,��=��log2��=�⋅2
即��=�1+�2+⋯+��,
123�
��=1⋅2+2⋅2+3⋅2+⋯+�⋅2,
234�+1
�
所2�以=1⋅2+2⋅2+3⋅2+⋯+�⋅2,
�
123��+12(1−2)�+1�+1
��1−2
所以�−2�=2+2+.2+⋯+2−�⋅2=−�⋅2=(1−�)⋅2−2
�+1
��=(�−1)⋅2+2
【题型5等比数列的前n项和】
17.(2025·江苏南通·模拟预测)已知等比数列前项和为,若,,则
22
()�����2�2=�1�4�2�=��+2���8=
A.128B.255C.256D.511
【答案】B
【解题思路】根据给定条件,利用等比数列通项及前项和意义求出公比及首项,再利用前项和公式求
解.���1�
【解答过程】设等比数列的公比为且,由,得,解得,
2223
由,得��,�即�1≠0,�≠0,2�而2=�1�4,因2�此1�=�1,⋅�1��=2
222
2���2111211211
经验�证=符�合+题2意�,所以�=�+2��+�=�+2��=2��=1
8.
1−2
8
故选:B.�=1−2=255
18.(2025·湖北·模拟预测)正项等比数列的前n项和为,,则()
A.6B.9��C.8���2=D.4,1�14=40�3=
【答案】B
【解题思路】由等比数列求和公式求得,进而可求解.
【解答过程】设等比数列的公比为�,
则�,�>0
2
即�2=�1+�2=,4解,�得4=:�1+�,2+�1+�2�=40
2
又4+4�=40,�=3
解得�1+�1�,=4
则�1=1,
2
故选�3:=B�.1�=9
19.(2025·河北·模拟预测)等比数列的公比为2,且满足,则的前10项和为()
A.4B.32��C.84�12−D�2.=1288��
【答案】A
【解题思路】根据等比数列通项基本量的关系,结合前项和公式求解即可.
【解答过程】因为数列为等比数列,公比为2.�
由得��,则,
1110
1221111
所以�−�的前=8项�和⋅为2−2�=8�⋅2−�=4
1010.
1
�1−210
�11
故选:�A.1−2=�⋅2−�=4
20.(2025·广东肇庆·一模)设为正项等比数列的前n项和,若,,则
()�����5+3�6=8�8+3�9=64�3=
A.B.C.D.2
111
1442
【答案】C
【解题思路】根据等比数列通项基本量的运算求得,代入等比数列求和公式求解即可.
1
【解答过程】设等比数列的公比为,∵�,�,∴.
�5+3�6�5+3�61
33−3
����8+3�9=�5�+3�6�=�=8�=2
由得,∴
3.
1
451�1−�1
561�1�1114�31−�2
故选�:+C3.�=�+3�=112�=8�===
【题型6等比数列的简单应用】
21.(25-26高二上·江苏苏州·月考)李华从2015年起,每年10月1日到银行存入a元,若年利率为r,按
复利计算,到期自动转存,那么2025年10月1日将前面的存款全部取出,可得本利和为()
A.B.11C.11D.10
10�1+�−1�1+�1+�−1�1+�1+�−1
【答案】D�1+����
【解题思路】把问题转化为等比数列的前项和求解.
【解答过程】依题意,2015年10月1日存�入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为.
10
同理可得:2016年10月1日存入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为;�1+�
9
2017年10月1日存入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为;�1+�
8
……�1+�
2024年10月1日存入的a元,到2025年10月1日取出时的本利和为.
�1+�
所以,2025年10月1日取出前面的存款共有:
289
�1+�+�1+�+……+�1+�+�1+�+�1+
10.
�1+�1−1+�
10
故�选=:D.1−1+�
22.(24-25高二下·青海海南·期末)如图,正方形的边长为4,取正方形各边的中点,,,
,作第2个正方形,然后再取正方形各𝐴边�的�中点,,,,作第�3��个�正方形.�如果�这个�
�作图过程可以一直继�续��下�去,那么这些正方形��的�面�积之和将趋�近于�(�)�����
A.32B.40C.48D.64
【答案】A
【解题思路】根据题意,正方形边长成等比数列,正方形的面积等于边长的平方可得,代入求出
2
的通项公式,然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可��求=解�.���
【解答过程】记第1个正方形的面积为,第2个正方形�的1+面�积2+为�3+,…,+第��n个正方形的面积为,
12�
设第n个正方形的边长为,则第n个正�方形的对角线长为,�…�
��
所以第n+1个正方形的边�长为,,2�
2��+12
��+1=2����=2
即数列{}是首项为,公比为的等比数列,,
22�−1
���1=42��=4⋅(2)
数列{}是首项为,公比为的等比数列,
1
���1=162
1,
16(1−2�)1
123�1�
�+�+�+…+�=1−2=32⋅(1−2)
所以如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32.
故选:A.
23.(2025·广东茂名·一模)有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1890
盏,则底层所开灯的数量为盏.
【答案】30
【解题思路】根据给定条件,构造等比数列,再利用等比数列列n项和公式计算即得.
【解答过程】依题意,从下往上每层灯的数据构成等比数列,公比,,前6项和,
���=2�=6�6=1890
于是,解得,
66
�1(1−�)�1(1−2)
�6=1−�=1−2=1890�1=30
所以底层所开灯的数量为30盏.
故答案为:30.
24.(2025·陕西榆林·一模)某人工智能模型在语言训练时,每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第
一轮训练的模型参数的数量为,若从第二轮开始,每一轮与它前一轮相比较,训练的模型参数增加的数量
可以看成一个以为首项,公比�为3的等比数列,则第五轮训练的模型参数的数量为.(用含
的式子表示)��
【答案】41t
【解题思路】由题意求等比数列的通项公式即可求解.
【解答过程】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量,
则,��,�+1�
所以�1=�是�首�+项1为=3,��公比为3的等比数列,通项公式为:,
�−1
所以,��第一轮参数�为,��=�⋅3
第二轮参数增加的数量�为,
第三轮参数增加的数量为�,
第四轮参数增加的数量为3�,
第五轮参数增加的数量为9�,
所以第五轮训练的模型参数27的�数量为.
故答案为:.�+�+3�+9�+27�=41�
41�
【题型7等比数列中的不等式问题】
25.(2025·甘肃定西·模拟预测)已知等比数列的前项和为,若对于任意,
*
��134
不等式恒成立,则的取值范围�为(�)�,�+�=5,�=15�∈�
2
��+642
��>�+6��
A.B.C.D.
【答案】A−8,2−2,8−10,6−6,10
【解题思路】根据已知及等比数列通项公式、前项和公式求基本量,再应用基本不等式求
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