2026年高考数学复习系列（全国）专题6.3 等比数列及其前n项和（讲义）（试题版）

专题6.3等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、等比数列及其前n项和

数列是高考的重点、热点内容，其中等比数列属于高考的常考内容之一。

从近三年的高考情况来看，等比数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查

命题规律频率都较为稳定。选择题、填空题中多单独命题，主要考查等比数列的基本

量计算和基本性质、等比数列的前n项和，难度较易；在解答题中主要考查

分析等比数列的证明、通项公式、求和及综合应用，常将等差数列与等比数列结

合考查，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等

知识，难度中等；有时会在压轴题中出现与等差、等比数列有关的新定义问

题，难度较大，需要灵活求解。

考点年年年

高考真题202320242025

新课标Ⅱ卷：第8题，新课标Ⅱ卷：第19题，全国一卷：第13题，

统计等比数列5分17分5分

全国甲卷（文数）：全国甲卷（文数）：全国二卷：第9题，6

第13题，5分第17题，12分分

全国甲卷（理数）：全国甲卷（理数）：

第5题，5分第18题，12分

全国乙卷（理数）：

第15题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，等比数列的考情将继续维持稳定态

势。选择题、填空题仍然以单独考查等比数列的基本量计算、性质及前项

年n

2026和为主，分值稳定在5分左右，难度较易；解答题中主要考查等比数列的判

定、通项公式以及数列求和，或者与等差数列、不等式、函数等结合命题，

命题预测

难度中等。核心考查等比数列的性质、通项及前n项和的灵活运用，注重公

式的运用和数学运算能力，复习时要加强这方面的训练，做到不丢分。

知识点1等比数列的基本量的计算

1．等比数列的基本量的计算的求解思路：

等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知

三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

知识点2等比数列的判定方法

1．证明数列是等比数列的主要方法：

(1)定义法：（常数）为等比数列；

(2)中项法：为等比数列；

(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某

数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.

知识点3等比数列及其前n项和的性质及应用

1．等比数列的性质：

等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根

据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

2．等比数列的单调性与最值问题

涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.

知识点4等比数列前n项和的函数特征

1．Sn与q的关系

(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设

，则上式可以写成的形式，

由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点；

(2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤

立的点.

2．Sn与an的关系

当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设

，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.

【方法技巧与总结】

1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.

2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).

3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.

(1).

(2)若，则成等比数列.

(3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则.

【题型1等比数列的基本量计算】

【例1】（2026·重庆·模拟预测）设等比数列的公比，则的公比为（）

A．B．�C�．�≠1,�3=4,�D5．=16��

【变式1−-12】（2026·山东枣庄2·一模）记正项等比数±列4的前项和为，±且2，，则（）

A．243B．81C．27���D�．�9�1=1�3=13�6=

【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）在等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（）

A．1或2B．1或3C．�2�或33�2,2�3,�4D．3��

【变式1-3】（2026·四川遂宁·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（）

A．4B．��C．8���D�．8=17�4�4−�2=3�3=

±2±8

【题型2等比数列的性质及应用】

【例2】（2026·广西·模拟预测）等比数列中，，，则（）

A．2B．4��C．8�4=4�6�7=8D．�19=

【变式2-1】（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（）

A．14B．32C．16��,�2=2,�4=D8．54�6=

【变式2-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（）

A．36B．C．���D3．�46�5=8,�4+�8=20�6=

【变式2-3】（2025·全国·模±拟6预测）已知等比数列−6，若，则（）

�62013

A．B．C．��⋅�=D3．�=

3

±33−32

【题型3等比数列的判定与证明】

【例3】（2025·广东·模拟预测）已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列

�2�3

����1=��2=���

为等比数列，则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【变式3-1】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件����+�=������

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【变式3-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足

，．��,���1=3,�1=1,��=��−1−��−1+2�,��=

(�1�)−证1−明�：�−数1列+2�(�≥是2等)比数列；

(2)求的通项�公�−式�，�并求的前项和．

�������

【变式3-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）.

∗

(1)证明：数列为等比数列；���1=2��+1=3��+2�−1�∈�

�

(2)若�+�（），求数列的前项和.

2∗

��=���+�−1�∈������

【题型4等比数列的通项公式】

【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（）

A．B．C．���D�．���+1=2��+2��=

�−1�−1��

【变式4-21】×（32026·河北沧州3·×一2模）在等比数列3中，若2，且，

则的通项公式为（）���1+�2+�3=−21, �1�2�3=−216�1>�3

��

A．B．C．D．

�−1�−1�−1

�−1111

��=−3⋅2��=−12⋅2��=−18⋅3��=−24⋅4

【变式4-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．

1

�

������=�−2

(1)求m的值及的通项公式；

��

(2)若，求数列的前n项和．

��=2�−1������

【变式4-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.

3

(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；���1=100��+1=100����=lg��+1

(2)设��，将数列和数列��的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列

的��前=530�项+和1.������

���50

【题型5等比数列的前n项和】

【例5】（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列

�13599

前100项的和是（）��+�+�+⋯+�=50�=3

A．150B．200C．250D．300

【变式5-1】（2025·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若

，，则（）������5−�1=

425

15A�．−15�=6�B=．16C．31D．

31

16

【变式5-2】（2026·广东茂名·一模）已知数列的前项和记为，若，则（）

A．15B．31C�．�63���D．�1�2=72��−1�6=

【变式5-3】（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记

为的前项和，则（）���2�4=16,�2+2�3=6��

�A�．43��7B．=85C．110D．127

【题型6等比数列的简单应用】

【例6】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、

历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半

音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每

一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已

知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）

A．494Hz�1B0．=344490HHzzC．311Hz�4D．277Hz

【变式6-1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一

分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里25上 m升的总高度为（）

A．B．C．D．

【变式6-520】 m（25-26高三上4·黑5 m龙江牡丹江·月考）云49冈 m石窟，古称为武州山56石 m窟寺，是世界文化遗产.若某一

石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕

像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（）

A．8B．12C．14D．16��log2�3�5

【变式6-3】（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时

分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为

113

2×1000+2×1000×2=2×

，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，

1313910

所10需00时间至少为（）（参考2数×据2：×1000+2×，2×1000×2=）4×100010

A．36小时B．38小时lg3≈0C.4．7470小lg时2≈0.301D．42小时

【题型7等比数列中的不等式问题】

【例7】（2025·河南·模拟预测）在等比数列中，，若不等式

���1+成�2立=，2则+4的2最,�小2值+为�3（=16）+42log2�1−

�+1

log2�A2．+2l4og2�3−log2�B4．+2⋯5+(−1)log2�C�．>2169�D．27

【变式7-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的

51∗

�1�+1��

恒成立，则实数的取值范围是（�）�=2, �=2�−2�∈N, �2�−1<

�

2�−A．2B�．C．D．

33

−∞, 4−∞, 14, +∞1, +∞

【变式7-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足．

∗

(1)求证：数列为等比数列；���1=3��+1=2��−1�∈N

�

(2)记�−1，数列的前n项和，证明：．

1

��=log2��−1����+1����<1

【变式7-3】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．

(1)判断是否为等比数列，并求出��的通�项�公式；��1=2��+1=��+�

��

(2)设递增�的+等1差数列满足，且�、、成等比数列．设，

1111

222

���1=2�1+�1�2+�2�3+2�3��=�1+�2+⋅⋅⋅+��

证明：．

3

��<4

【题型8等差数列与等比数列的综合应用】

【例8】（2025·河南信阳·一模）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与

��345

的等差中项为4，则等于（）����=12��

3

A．�B．C．D．

371115

4444

【变式8-1】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，

则（）�,�,�,��������=2�

�

�=

A．4.5B．3C．3.5D．4

【变式8-2】（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；���1+�5=14�2+�6=20

(2)已知数列��是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和．

��−������

【变式8-3】（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，

∗

．�����1=�1=1��∈��2+�8=18

�2�4=81

(1)求数列和的通项公式；

��

求数列�的�前项和；

(2)2n

�

����+1��

(3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．

���

�

��=3������1−��<2�

【题型9与等差、等比数列有关的新定义问题】

【例9】（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算

定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（）

��2�31

=��−�������=0,�1=1�7=

A．31��B．63C．127D�．42551

【变式9-1】（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增

数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的��，都有的前n项的和��，则称具有�性�质P．关

∗

���

于如下结论：①存在等差数列具有性质�P∈；�②存在等�比数列具有性质�P．∈其−中�正,�确的说法�是（）

A．①和②均正确B．①和②均错误

C．①正确，②错误D．①错误，②正确

【变式9-2】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除

∗

所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若��存在最小��的∈正�整数�，�使�得由�构成的集合为

��，则称为��数列的��“覆盖周�期”.已知数列的前项和�为，且�1,�2,⋯,��.

({10),1求,2证,⋯：,�−是1}等差数�列；����������+1=2��+��2−2��1

(2)若�，�数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和；

(3)若�1=2�，�数列的3“,模��6数列”为，求�出�使数列��的“覆盖周期”的数列的公差

∗

�1=1,�的�∈所�有值.�������=6��

�(0<�<6)

【变式9-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数.

�2

��=�e−1−��

(1)若，求的单调区间；

1

�=2��

(2)定义函数，对于数列、，若，则称为函数的“生成数列”，

为函数�=��的一个“源数列��”.����=��,���=����=��

�

①�已知�=��为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；

�2

②已知��=e,��为函�数=��的“生成数列”，为函数�的“�源�数≤列�”−，1与的公

�

共项按从��小到=大2的+顺�,序�构�成数列�=，�试�问在数列中是�否�存在连续�=三�项�构成等比数列？请�说�明理��由.

����

考点一等比数列

一、单选题

1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则

（）���1=−2�3,�4,�6�10=

A．B．C．16D．18

2．（20−2230·新课标Ⅱ卷·高考−真1题8）记为等比数列的前n项和，若，，则（）

A．120B．85��C．��D．�4=−5�6=21�2�8=

3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的−各85项均为正数，前n项−和120，若，，

则（）�����1=1�5=5�3−4

4

�A．=B．C．15D．40

15