2026年高考数学复习系列（全国）专题5.3 三角函数的图象与性质（讲义）（解析版）

专题5.3三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的图象

变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系是高考考

察的重心。从近几年的高考情况来看，三角函数的图象与性质为核心高频考

命题规律点，考查形式稳定且层次分明。

选择题、填空题聚焦三角函数的图象与性质、图象变换（平移、伸缩）、

分析解析式确定，题型基础，难度偏低；解答题中多与三角函数的性质应用结合，

涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变换、解三角形模

块进行考察，凸显知识关联性，难度中等或偏下，二轮复习时需要充分掌握

三角函数的图象与性质，学会灵活求解。

高考真题考点2023年2024年2025年

新课标卷：第题，

统计I15

5分

新课标Ⅱ卷：第16题，新课标I卷：第7题，

5分5分

全国甲卷（文数）：新课标Ⅱ卷：第6题，全国一卷：第4题，5

三角函数的第12题，5分5分分

图象与性质全国甲卷（理数）：新课标Ⅱ卷：第9题，全国二卷：第15题，

第10题，5分6分13分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（文数）：

第10题，5分第13题，4分

全国乙卷（理数）：

第6题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，三角函数的图象与性质的考情将继

续维持稳定态势。大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定

2026年在5分左右；也有可能在解答题中考查。选择、填空题核心考点聚焦三角函

数的图象交点问题、三角函数的性质问题以及图象变换问题，难度不大；在

命题预测解答题中主要考查三角函数的性质应用或与其他知识（如：解三角形、导数

等）结合考查，此时难度中等，侧重三角函数性质的熟练运用，考查数形转

化与知识综合运用能力。

知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略

1．三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.

2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).

知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略

1．三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=

kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)

（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.

(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），

求x即可.

3．三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).

知识点3三角函数的单调性问题的解题策略

1．三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需

把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.

2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调

区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，

利用特值验证排除法求解更为简捷.

知识点4三角函数的图象变换问题

1．三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名：函数的名称要变得一样；

(3)选方法：即选择变换方法.

知识点5由部分图象确定函数解析式的解题方法

1．由部分图象确定函数解析式的方法

由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，

常用如下两种方法：

(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离

原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.

(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，

ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.

知识点6三角函数图象、性质的综合应用的解题策略

1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧

研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略

函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.

3．三角函数模型

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问

题，利用三角函数的有关知识解决问题.

【方法技巧与总结】

1．对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.

2．与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).

(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).

(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).

3．三角函数的图象变换规律

(1)函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

(2)由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.

【题型1求三角函数的定义域、值域（最值）】

【例1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则的最大值为（）

π

��=sin�+�cos��=6��

A．B．C．D．2

23

【答案】D323

【解题思路】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到

2ππ

�(�)=�+1sin(�+�)�=6sin6+

，计算即可求解.

π2

6

【�解co答s过=程±】�由+题1意，函数，

2

�(�)=sin�+�cos�=�+1sin(�+�)

又由函数的图象关于对称，所以，

πππ2

66

即�，=解6得，sin+�cos=±�+1

2

即�−23�+3=0，所以�=的3最大值为.

π

�(�)=2sin(�+3)��2

故选：D.

【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（）

ππ

��=4cos�sin�−60,2

A．B．C．D．

【答案】A−2,1−3,1−2,0−1,1

【解题思路】先运用差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数表达式，再换元求解函数值域即可.

【解答过程】根据题意，，

π312

��=4cos�sin�−6=4cos�2sin�−2cos�=23sin�cos�−2cos�

根据倍角公式可得，

π

��=3sin2�−1+cos2�=3sin2�−cos2�−1=2sin2�−6−1

令，因为，则，可得，

ππππ5ππ

�=2�−6�∈0,2�=2�−6∈−6,6��=2sin2�−6−1∈−2,1

故选：A.

【变式1-2】（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域

2

是（）0,2π��=1−2cos�+lnsin�−2

A．B．

ππ3π5π

4,34,3

C．D．

π3πππ

3,44,3

【答案】C

【解题思路】由题直接求函数定义域即可.

【解答过程】由题意得，解得π5π，所以，

1−2cos�≥0

23≤�≤3π3π

sin�−2>0π3π3≤�<4

4<�<4

即在内，函数的0定≤义�≤域2为π．

π3π

0,2π��3,4

故选：C.

【变式1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则

π2π

��=3cos��+6�>03��

在上的最大值为（）

ππ

−6,6

A．1B．C．2D．3

3

2

【答案】D

【解题思路】由周期公式求得，然后由换元法即可求解.

【解答过程】由题意�，解得，，

2π2πππππ2π

�=�=3�=3�∈−6,6⇒�=3�+6∈−3,3

所以的最大值为3.

π2π

��=3cos�,�∈−3,3

故选：D.

【题型2三角函数的图象识别与交点问题】

【例2】（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（）

�(�)=cos�+2cos2�+3cos3�

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解.

【解答过程】的定义域为�R(，�)�(0)=6

则�(�)，

所以�(−�)为=偶co函s(数−，�图)+象2关co于s(y−轴2�对)+称3，co故s(排−除3�C)，=Dco选s�项+；2cos2�+3cos3�=�(�)

又因为�(�)，故排除B选项.

故选：A�(．0)=6

【变式2-1】（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（）

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解题思路】当时，画出曲线与的图象即可得解.

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

【解答过程】当时，曲线与的图象如图所示，

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

由图可知，当时，曲线与的交点个数为4.

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

故选：B.

【变式2-2】（24-25高一下·四川成都·月考）函数部分图象是（）

1

�=sin�−�

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】根据附近的函数值即可排除BC；根据的符号即可排除D.

π

0�2

【解答过程】函数的定义域为，关于原点对称，

1

�=��=sin�−�−∞,0∪0,+∞

因为，所以函数为奇函数，

1

�−�=−sin�−�=−����

当且时，，故排除BC；

�>0�→0��→−∞

又，故排除D.

π2

�2=1−π>0

故选：A.

【变式2-3】（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（）

�

��=2sin2�+6��=log2�

A．B．C．D．

【答案】A3567

【解题思路】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.

【解答过程】

通过五点法作出周期函数的图象，

π5π2π11π7π

再通过两点法6,2,12,0作,出3单,−调2函,数12,0,6,2的图象，��

2

因为1,0，,所4,以2通过图象可判断�它�们=有log个�交点，

7π17π

4∈6,123

故选：A.

【题型3三角函数图象变换问题】

【例3】（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，

π

6

需要将函数的图象（）��=sin2�+�cos2��=2cos2�

A．向左�平=移��个单位长度B．向左平移个单位长度

5π5π

126

C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度

ππ

126

【答案】A

【解题思路】根据零点，代入可得，再利用辅助角公式化简得，再根据平移变

π

换求解即可．�=−3��=2sin2�−3

【解答过程】依题意，得，得，

πππ13

�6=sin3+�cos3=2�+2=0�=−3

所以，

π

��=sin2�−3cos2�=2sin2�−3

，

π5ππ

�=2cos2�=2sin2�+2=2sin2�+12−3

了得到的图象，需要将函数的图象,

�=2cos2��=��

需要将函数的图象向左平移个单位长度．

5π

�=��12

故选：A．

【变式3-1】（2025·新疆·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后

得到函数的图象.若与的图象关�于�点=3si对n2称�，+则cos2的�最小值为（）��>0

π

������8,0�

A．B．C．D．

π5ππ7π

1212612

【答案】D

【解题思路】根据辅助角公式化简，进而得到，由与

ππ

��=2sin2�+6��=2sin2�+2�+6����

的图象关于点对称可得，进而得到，进而求解

ππ2ππ

8,0�4−�=−��2sin3−2�=−2sin2�+2�+6

即可.

【解答过程】由，

π

��=3sin2�+cos2�=2sin2�+6

则，

ππ

��=��+�=2sin2�+�+6=2sin2�+2�+6

因为与的图象关于点对称，所以，

ππ

����8,0�4−�=−��

而，

πππ2π

�4−�=2sin24−�+6=2sin3−2�

则，

2ππ

2sin3−2�=−2sin2�+2�+6

即对于任意恒成立，

2ππ

sin2�−3=sin2�+2�+6�∈R

所以，或（舍去），

π2π2ππ

2�+2�+6=2�−3+2�π,�∈Z2�−3+2�+2�+6=π+2�π,�∈Z

则，又，则的最小值为.

5π7π

�=−12+�π,�∈Z�>0�12

故选：D.

【变式3-2】（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

π

�=sin2�+3

标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（）

π

3

A．B．

π

�=−sin4��=sin�−6

C．D．

2π

�=sin�+3�=sin�

【答案】D

【解题思路】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终

得出函数解析式．

【解答过程】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

π

�=sin2�+3

则需将替换为，即，

��ππ

�2�=sin2⋅2+3=sin�+3

再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为，

πππ

�=sin�+33��−3

即，

ππ

�=sin�−3+3=sin�

最终得到的函数解析式为，故D正确．

∴故选：D．�=sin�

【变式3-3】（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右

平移个单位长度后，得到函数的图象，�则(�)=的sin图2象�+的�对co称s2轴�为（）(0,3)�(�)

π

12�(�)�(�)

A．，B．，

π�ππ�π

�=3+2�∈Z�=6+2�∈Z

C．，D．，

5π13π

�=6+�π�∈Z�=12+�π�∈Z

【答案】B

【解题思路】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解.

【解答过程】因为函数�的图象过点，所以，��

所以�(�)=sin2�+�cos2�(0,3)，�=3

13π

�(�)=sin2�+3cos2�=22sin2�+2cos2�=2sin2�+3

将其图象向右平移个单位长度得到的图象，

ππ

12�(�)=2sin2�+6

令，，解得，.

πππ�π

2�+6=2+�π�∈Z�=6+2�∈Z

故选：B.

【题型4由部分图象求函数的解析式】

【例4】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，

则（）��=�sin��+��>0,�>0,�∈0,2π

��=

A．B．

1π1π

3sin4�+43sin4�−4

C．D．

ππππ

3sin4�+43sin4�−4

【答案】C

【解题思路】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式.

【解答过程】观察图象可得函数�的最大值为，最小�值为，又，�

所以，��3−3�>0

又∵�=3，∴，∴，

�2ππ

3−−1=2�=8�=�=4

因为时函数取最大值，

3+−1

�=2=1��3

所以，，又，

ππ

4×1+�=2�π+2�∈Z�∈[0,2π)

∴，

π

�=4

∴.

ππ

��=3sin4�+4

故选：C.

【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移

得到的图象，其中点A是图象上的最�高�点=，4sin�分�别+�是�>，0,|�|的<图π象与x轴的相邻

交点（�如�图=所4s示in）��，若，��的面积为10，则�,�（）����

|��|=|��|△�����=

A．B．

π5ππ5π

4sin6�−64sin6�+6

C．D．

ππππ

4sin3�−34sin6�−3

【答案】A

【解题思路】设图象向左平移最小个单位，得到，再结合三角形的面积及

，列出等式求解即可.��>0��+�=0△���|��|=

【|�解�答|过程】函数�,�的图象向左平移最小个单位得到

，��=4sin��+��>0,|�|<π��>0��=

4则sin��，

又4sin��+�，+�=4sin��+��+�=4sin��

所以�>0,|�|<π，即，

−�

��+�=0�=�

所以，

−�

|��|=�

三角形的面积，

1−�

△���2×�×4=10

即，

�

�=−5

又函数的周期为，

2�

�

所以，联立，

π2−��

|��|=16+2�=��=−5

解得：，

π5π

�=6,�=−6

所以，

π5π

��=4sin6�−6

故选：A.

【变式4-2】（2025·江西吉安·模拟预测）如图函数的图象过点

π

��=�sin��+��,�>0,�<20,−

三点，则的值为（）

ππ

1,6,1,2,1�

A．B．1C．2D．3

1

2

【答案】C

【解题思路】根据正弦型函数的对称性结合图象得一组相邻的对称中心与对称轴，从而确定函数的最小

��

正周期，即可得的值.

【解答过程】由图�可知点的中点为函数的对称中心，

ππ

0,−1,6,112,0��

由于过，则直线为函数的对称轴，

πππ

��6,1,2,1�=3��

则由图可得，则最小正周期，解得.

1πππ2π

4�=3−12=4�=�=π�=2

故选：C.

【变式4-3】（2025·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象

π

如图所示，关于该函数有下列四个说法：��=�sin��+��>0,�>0,0<�<2

①在区间上单调递减

π7π

��12,12

②的图象可由的图象向左平移个单位得到

π

���=2sin2�6

③的对称轴为

5π

���=12+�π�∈Z

④在区间上的最小值为

π

以上��四个说法中0,，2正确的个数为−（3）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解题思路】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断

即可．

【解答过程】由图可知，，即，则，

�πππ2π

�=2,4=3−12=4�=π�=�=2

此时，又，

ππ

�(�)=2sin(2�+�)�12=2sin6+�=2

则，，即，，

πππ

6+�=2+2�π�∈Z�=3+2�π�∈Z

又，所以，则.

πππ

0<�<2�=3�(�)=2sin2�+3

对于①，当时，，

π7πππ3π

�∈12,122�+3∈2,2

因为函数在上单调递减，

π3π

�=sin�2,2

所以在区间上单调递减，故①正确；

π7π

��12,12

对于②，的图象向左平移得到，故②正确；

πππ

�=2sin2�6�=2sin2�+6=2sin2�+3

对于③，令，解得，

ππ�ππ

2�+3=�π+2�∈Z�=2+12�∈�

所以的对称轴为，故③错误；

�ππ

���=2+12�∈�

对于④，当时，，则，

πππ4ππ3

�∈0,22�+3∈3,3sin2�+3∈−2,1

则，则在区间上的最小值为，故④正确.

ππ

2sin2�+3∈−3,2��0,2−3

故选：C.

【题型5三角函数的单调性问题】

【例5】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为

ππ

（）��=sin��−4�>0,��0,4�

A．B．3C．2D．

57

22

【答案】B

【解题思路】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法

πππ

−2+2�π≤��−4≤2+2�π

二：由得到，再结合集合包含关系即可求解.

πππππ

�∈0,4��−4∈−4,4�−4

【解答过程】方法一：由正弦函数的单调性，令，

πππ

−2+2�π≤��−4≤2+2�π

解得，

π2�π3π2�π

−4�+�≤�≤4�+��∈Z

又在单调，

π

��0,4

所以当时，，即，

ππ3ππ3π

�=00,4⊆−4�,4�4≤4�

解得，所以的最大值为3.

方法二�：≤3�在单调，

ππππππ

�∈0,4,��−4∈−4,4�−4,��0,4

故，

ππππππππ

−4,4�−4⊆−2,2∴4�−4≤2,�≤3

所以的最大值为3.

故选：�B.

【变式5-1】（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（）

π

��=cos2�−6

A．B．C．D．

π3ππ7ππ5π

2,20,π12,123,6

【答案】C

【解题思路】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.

【解答过程】由，得，

ππ7π

2�π<2�−6<2�π+π,�∈Z�π+12<�<�π+12,�∈Z

故的单调减区间为，

π7π

���π+12,�π+12,�∈Z

对比各选项，只有C符合.

故选：C.

【变式5-2】（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围

ππ3π

为（）�(�)=cos��+6(�>0)2,2�

A．B．C．D．

5555

9,19,10,90,9

【答案】D

【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求

3�ππ

0<�≤12+6≤π

解即可.

【解答过程】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，

2ππ3π

�(�)�=��(�)2,2

所以，则，解得，

13πππ

2�≥2−2=π�≥π0<�≤1

当时，，

π3ππ�ππ3�ππ

�∈2,2��+6∈2+6,2+6

且，，

�πππ2π3�πππ5π

2+6∈6,32+6∈6,3

所以，解得，结合，得的取值范围为．

3�ππ55

2+6≤π�≤90<�≤1�0,9