2026年高考数学复习系列（全国）专题4.4 平面向量基本定理及坐标表示（试题版）

专题4.4平面向量基本定理及坐标表示（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1用基底表示向量】.......................................................................................................................................1

【题型2利用平面向量基本定理求参数】...............................................................................................................2

【题型3向量共线（平行）的坐标表示】...............................................................................................................2

【题型4平面向量数量积的坐标表示】...................................................................................................................3

【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】...........................................................................................................3

【题型6向量垂直的坐标表示】...............................................................................................................................3

【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】...............................................................................................4

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1用基底表示向量】

1．（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（）

A．B．𝐴𝐵C．�𝐵D．𝐴=�,𝐵=���=

1111

�+2��−2�−2�+�−2�−�

2．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（）

A．𝐴�B�．𝐴=2��,��=��𝐴=�,𝐵=�𝐵=

2121

3�−2�3�+2�

C．D．

1112

3�+2�2�+3�

3．（2025·辽宁·模拟预测）在中，，，则（）

A．△𝐴���=B．3𝐵��=2��𝐵=

4517

9��−9��3��−9��

C．D．

4741

9��−9��9��−3��

4．（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD中，，，则（）

��=2����=2����=

A．B．

111

2��+2��2��+2��

C．D．

1

2��+2��2��+2��

【题型2利用平面向量基本定理求参数】

5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，

�

3

则实数的值为（）△𝐴���=2��,�𝐵��=(1−�)𝐴+��

�

A．B．C．D．

3256

4567

6．（2025·陕西铜川·模拟预测）在中，点为线段的中点，点满足，若，

则的值为（）△𝐴�������=2����=���+𝐴�

�+A．�B．C．D．

1111

24−2−4

7．（2025·湖南邵阳·三模）在平行四边形中，与交于点，点满足，，

则（）𝐴𝐵��������=4����=���+𝐴�

�−A．�=B．C．D．

1111

−4−242

8．（2025·北京朝阳·二模）在矩形中，，点E为线段的中点，与

交于点F．设𝐴𝐵，其𝐴中⊥𝐵,分𝐵别=是2与,𝐴=方2向相同的单位�向�量，则（��）��

��=�1�1+�2�2�1,�2∈��1,�2��,��

A．B．

2222

�1=3,�2=3�1=3,�2=3

C．D．

1212

�1=3,�2=3�1=3,�2=3

【题型3向量共线（平行）的坐标表示】

9．（2025·河南·模拟预测）已知向量，，若，则（）

A．B．�=−2,C3．4�=6,��∥D�．9�=

10．（20−295·吉林长春·模拟−预4测）已知向量，则“”是“”的（）

2

A．充分不必要条件�=B．1必,2要,�不=充�分,�条件�=2�//�

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

11．（2025·四川攀枝花·模拟预测）设向量，，且与的方向相反，则实数的值

�=�,2�=1,�+1���

为（）

A．B．1C．或1D．不存在

12．（20−225·湖北·模拟预测）已知向量−2，若，则（）

A．8B．4�=1,4C．,�2=2,��//2�D．+��=

−8

【题型4平面向量数量积的坐标表示】

13．（2025·广西南宁·模拟预测）若向量，，则（）

A．5B．3�=C2．,−3�=−1,2D．�⋅�+2�=

14．（2025·全国·模拟预测）已知向量满足−5，若−3，则（）

A．B．�,�C�．=12,1,�=−2,�D．2�⋅�=−5�=

15．（24−-25高一下·江苏南−京1·期中）已知向量，，则（）

A．B．C�．=3,4�−�=1D,2．�⋅�=

16．（20525·甘肃酒泉·模拟1预4测）已知是边−长6为的等边三角形，2点2，分别是边，的中点，

连接并延长到点，使得，△则𝐴�的值为1（）��𝐴��

1

�����=3𝐵��⋅��

A．B．C．D．

31511

48−88

【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】

17．（2025·安徽合肥·二模）已知向量，设，则与的夹

→→→→→→→→

121212

角为（）�=1,0,�=1,3�=4�+�,�=3�−���

A．B．C．D．

πππ2π

6433

18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量，若，则（）

→→→→→→

�2,1,�1,−1�+��−���=

A．2B．=C．2或=D．3=

19．（2025·全国·模拟预测−）1已知向量，−1，则（）

�=2,0�−�=3,−3cos�−2�,�=

A．B．C．D．

37277

−5577

20．（2025·浙江·模拟预测）已知向量，若，则（）

→→

A．5B．3�=1,C�．+4,�=4,2�D+．�=�−��=

【题型6向量垂直的坐标表示】53

21．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知向量，且，则（）

�=(2,�),�=(1,−3)(�+�)⊥��=

A．B．C．1D．4

22．（20−225·河南·模拟预测−）1已知向量，，若，则实数（）

A．B．1�=1,2C．�=1,−2�⊥D．�2+���=

35

53

23．（2025·湖南郴州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，

若，则的值为（）�(2,−1)�(1,1)��=���+(2−�)��

��A．⊥�4��B．2C．D．

24．（2025·河南·一模）设向量，−2，若−3，则（）

A．B．�=−4,2�C=．51,−1�+��D．⊥10�−���>0�=

【题型75由向量的坐标运10算解决最值和范围问题】

25．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中

∘

点，是线段上的动点，则的�最��小�值为（𝐴/）/���=90𝐴=𝐵=2𝐵=2𝐵

A�．��B．��⋅��C．D．

4547

−3−4−5−9

26．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量，若，则的取值范围是（）

�⋅�

�=−1,3,�=�,��>0,�<0�

A．B．C．D．

27．（2025−·甘2,肃−甘1南·模拟预测−2）,如−图，3已知是边−长3为,−41的等边三角形，−点D3,满−足2，

E为的中点，则的取值范围为（△�）����=𝐴�(0<�<1)

����⋅��

A．B．C．D．

99

−4,4[−4,4)−4,4[−2,4]

28．（2025·安徽芜湖·模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用

广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三

角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（）

𝐴��⋅(��+��)

A．1B．C．D．

13

2−322

A组基础跟踪练

一、单选题

1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（）

A．B．�0,0C�．�=2,3��=8,D−．3��=2��

6,−16,14,−14,1

2．（2026·广西南宁·一模）已知向量，．若，则＝（）

→→→→

A．B．�=�,1C．�=7,�−8�D⊥．��

3．（20285·河北沧州·一模）−已1知向量7.若1，则（）

A．B．5��=�C,2．,��=2,−1��D/．/�4�5��=

4．（20265·重庆九龙坡·一模）已知平面向量35，若，则=（）

�=(1,2),�=(−1,3)(��+�)⊥(��−�)�

A．B．C．D．

12

22

5．（202±6·2河北沧州·一模）在±中，点在边±上，，记±2，则分别是（）

A．B．△，�4���C．�4�，3��=3��D�．�3，=4���+����,�

4,−3−3

6．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（）

3

�=4�,1,�=9,��∥��=2

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．（2025·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，

∘∘

则向量表示位移（）�,�602km303km

A．3向�正−北2�方向B．向正南方向

C．向西北方向6kmD．向东南方向6km

8．（2026·河北邯郸6·模2拟km预测）已知向量62k，m则下列结论正确的是（）

�=�+1,�,�=�,2

A．“”的必要条件是“”

�⊥��=−3

B．“”的必要条件是“”

→→

C．“�//�”的充分条件是“�=1”−3

�⊥��=3

D．“”的充分条件是“”

→→

二、填空�题//��=1+3

9．（2026·重庆·模拟预测）若向量，，则.

→→→→→

10．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知�=(2，,向−量1),�=(1,�)，�⊥(�−�)，若|�|=，则a的值为．

11．（2026·河北沧州·一模）已知向�量∈��=6，,��=�−，1,若5�，⊥且�，则

．�=2�+1,3� �=2,2��//��<�

1�2．+（�2⋅02�5·−广�东=江门·二模）设向量，则的最小值为.

��B=(组1,�),𝐴培=优(2,提�)升练cos〈��,𝐴〉

一、单选题

1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（）

A．�=B1．,2, �=2,3

C．�−�⋅�=3D．�在+方�向⊥上2的1�投−影1向3�量为

816

2�−�=26��5,5

2．（2025·重庆·模拟预测）已知，都是平面向量，，若，，，则

→→→→

��,��=1�⋅�=1�⋅�=2�+�=13�⋅�

取得最大值时，（）

→→

�−�=

A．1B．3C．5D．6

3．（2025·山西太原·模拟预测）设向量，，则下列说法错误的是（）

A．若，则与的夹角为钝角�=�,2�=1,−1

B．若�<−，2则��

C．若�⊥�，�=则2或

�=2��=2�=−2

D．与共线的单位向量有且只有

22

4．（2025·�黑龙江牡丹江·模拟预测）已2知,−2中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直

线于不同的两点，设△𝐴��，其��中�，则的最小�值是（）

11

𝐴,���,���=���,��=����>0,�>0�+�

A．4B．C．D．