2026年高考数学复习系列(全国)专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示(讲义)(解析版)_第1页
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文档简介

专题4.3平面向量基本定理及坐标表示(举一反三复习讲义)

【全国通用】

1、平面向量基本定理及坐标表示

平面向量是高考的热点内容,属于高考的必考内容。从近几年的高考情

命题规律况来看,平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容,主要

以选择题、填空题的形式考查,难度较易;有时也会与三角函数、解析几何

分析结合出现在综合性大题中,难度中等。在高考复习过程中应注意加强对平面

向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解,熟记平面向量的相关公式,

灵活进行求解。

考点2023年2024年2025年

高考真题新课标I卷:第3题,

5分新课标I卷:第3题,全国一卷:第6题,5

平面向量基

全国乙卷(文数):5分分

统计本定理及坐

第6题,5分全国甲卷(理数):全国二卷:第12题,

标表示

全国甲卷(文数):第9题,5分5分

第3题,5分

预测在2026年全国卷高考数学中,平面向量基本定理及坐标表示的考

2026年情将继续维持稳定态势,大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察,分

值稳定在5分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与夹

命题预测角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算,难度不大;也可能结合实

际情境(如速度、位移等)考查,要灵活求解。

知识点1平面向量基本定理及其解题策略

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,

使.若不共线,我们把{}叫做表示这一平面内所有�向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知,可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可

以用平面内任意不共线的两个向量线性表�示,这就是平面向量基本定理的实质.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路:

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都

是唯一的.

知识点2平面向量坐标运算及其解题策略

1.平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和(差)的坐标表示

由于向量,等价于,,所以

,即.同理可得.

这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示

由=(x,y),可得,则,即.

这就�是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

2.平面向量数量积的坐标表示

(1)平面向量数量积的坐标表示

由于向量,等价于,,所以

.又,,,所以

.

这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

(2)平面向量长度(模)的坐标表示

若,则或.

其含义是:向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量的�有向线段的起点和终�点的坐标分别为,,那么,

�.

3.平面向量位置关系的坐标表示

(1)共线的坐标表示

①两向量共线的坐标表示

设,,其中.我们知道,共线的充要条件是存在实数,使.如果用坐标

表示,可写为,即,消去,得.这就是说,向量共

线的充要条件是.

②三点共线的坐标表示

若,,三点共线,则有,从而,

即,

或由得到,

或由得到.

由此可知,当这些条件中有一个成立时,A,B,C三点共线.

(2)夹角的坐标表示

设都是非零向量,,,是与的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得

���

.

(3)垂直的坐标表示

设,,则.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.

4.平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.

【方法技巧与总结】

1.若与不共线,且,则.

2.已知�P�为线段AB的中点,若A(),B(),则P点坐标为.

3.已知△ABC的重心为G,若A(),B(),C(),则G.

【题型1用基底表示向量】

【例1】(2025·甘肃甘南·三模)中,若,,,则向量可用,表示为()

A.△𝐴��B�.=���=���=3��𝐵��

133

4�+4��+4�

C.D.

1131

4�+4�4�+4�

【答案】A

【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可.

【解答过程】在中,,

则△𝐴���=3��

33

��=��+��=��+4��=��+4��−��

.

3313

=��+4��−4��=4��+4��

又因为,所以.

13

��=�,��=���=4�+4�

故选:A.

【变式1-1】(2025·山东济南·二模)在中,为边的中点,,则()

2

△𝐴��𝐴��=3����=

A.B.

1251

−6��+3��6��+3��

C.D.

1212

6��+3��6��−3��

【答案】D

【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.

【解答过程】因为为边的中点,,

2

�𝐴��=3��

所以.

212112

��=��+��=3��−2��=3��−��−2��=6��−3��

故选:D.

【变式1-2】(2026·河北·模拟预测)在平行四边形ABCD中,和DF交于点,若

11

32

,则()��=−𝐴,��=��,���

𝐴=A.�,𝐵=���B=.C.D.

53643735

8�+8�7�+7�8�+8�7�+7�

【答案】B

【解题思路】利用平行四边形的性质,结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可.

【解答过程】设的中点为,连接,

因为,��所以是�的中点,𝐵所以,且,

11

��=2�����𝐵//��𝐵=2��

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以,且,

所以��//𝐵𝐴=𝐵

又因为𝐵//𝐵,

1

��=−3��

所以,因为,

1

��=3𝐴𝐴=𝐵

所以,所以,

111

因为��=3�,�𝐵=2��=6𝐵

所以𝐵//𝐵,

𝐵𝐵1

𝐵=𝐵=6

所以

6666

��=��+��=��+7��=��+7��+��=��+7��+7��

.

661634646

=��+7��+7×2��=��+7��−7��=7��+7��=7�+7�

故选:B.

【变式1-3】(2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测)在中,点D为边上一点,且,设,

1

3

,则()△𝐴�����=��𝐴=�

��=A.�B.

1221

��=3�−3���=3�+3�

C.D.

1221

��=3�+3���=3�−3�

【答案】B

【解题思路】由平面向量的线性运算进行计算可得结果.

【解答过程】因为,所以,

11

��=3����=3��

1

��=��+��=��+3��

12121

=��+3��−��=3��+3��=3�+3�

故选:B.

【题型2利用平面向量基本定理求参数】

【例2】(2025·河南·二模)在中,D是AC边的中点,且点M满足,若,

则()△𝐴���=3����=���+���

�+A.�=B.C.D.

1235

2346

【答案】D

【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.

【解答过程】因为①,②,

112

��=��+��=��+3����=��+��=2��−3��

由,得,所以,

121

①×2+②3��=2��+2����=3��+6��

即,,所以.

215

�=3�=6�+�=6

故选:D.

【变式2-1】(2025·湖南·三模)在中,点是线段上一点,若,,则实

13

44

数()△𝐴������=𝐴�𝐵=𝐴+��

�=A.B.C.D.

1123

4334

【答案】D

【解题思路】由向量的线性运算得,结合平面向量基本定理即可得解.

【解答过程】因为,所以��=1−���+���,

因为��=,�所��以.��=��+��=��+𝐴�=��+�−��+��=1−���+���

133

��=4��+4���=4

故选:D.

【变式2-2】(2025·四川成都·一模)在平行四边形中,,是线段DE的中点,连接

→→→

交于O,若,则()𝐴𝐵��+3��=0���

𝐵A.1��=��B�.�=C.D.

342

433

【答案】B

【解题思路】设,以为基底,分别用表示,建立方程组求解.

→→→→→

��=𝐴�𝐴,𝐵�,���

【解答过程】

→→→→1→→1→→

𝐵=𝐵+��=𝐵+2��=𝐵+2��+��

→1→1→5→1→

=𝐵+2𝐴−6𝐵=6𝐵+2𝐴

又因为,所以,

→→→5→1→

��=�𝐵��=6�𝐵+2�𝐴

设,则,

→→→→→→→→→→

��=𝐴���=𝐴+𝐴�=𝐴+�𝐵−𝐴=1−�𝐴+�𝐵

所以1,解得3,

1−�=2��=4

55

故选:B�.=6��=8

【变式2-3】(2025·安徽·模拟预测)已知在中,点D满足,设,

则()△𝐴�4��+3��=0��=���+����,�∈�

�+A.2�1=B.C.D.2

710

57

【答案】C

【解题思路】由平面向量基本定理结合,可得,再由

34

4��+3��=0��=7��,��=−7����=���+

,即可求出的值.

【�解��答�过,�程∈】�由�+2�,可得,

34

4��+3��=0��=7��,��=−7��

34

��=��+��=��+7��,��=��+��=��−7��,

1186

2��=��+��−7��=��+��−7��−��=7��+7��

故,

43

��=7��+7��

所以

4310

�+2�=7+2×7=7

故选:C.

【题型3向量共线(平行)的坐标表示】

【例3】(2026·广西·模拟预测)已知平面向量,,若,则()

A.B.C�.=11,��=3,2�+D2.2�//2�+��=

−2−1

【答案】D

【解题思路】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值.

【解答过程】,,则,�

由�得=1,��=,3,2解�得+2.2�+�=(5,4�+2)

故选�/:/(2D�.+�)4�+2=5��=2

【变式3-1】(2026·四川遂宁·一模)已知平面向量与平行,则的值为()

A.1B.C.4�=(−1,2)�=D(�.,−2)�

【答案】A−1−4

【解题思路】利用向量平行的坐标表示可求答案.

【解答过程】因为与平行,所以,解得.

�−2

�=(−1,2)�=(�,−2)−1=2�=1

故选:A.

【变式3-2】(2025·全国·模拟预测)已知向量,若与同向共线,则为()

A.B.�C.=2,�,�=�,3D�.0��

【答案】A6−6±6

【解题思路】根据向量共线定理的坐标表示即可求解.

【解答过程】∵与共线,

∴��,即,解得.

2

当2×3−时�,⋅�=06−�=0,与�=同±向6共线,符合题意.

当�=6时,�=(2,6),�=(6,3)�,�,与反向共线,不符合题意,舍去.

综上�=,−6,�=(2,−6),�=(−63)��

故选:A�.=6

【变式3-3】(2026·山东枣庄·模拟预测)已知向量.若为实数,且,

→→→

则()�=(1,2),�=(1,0),�=(3,4)�(�+��)//�

�=A.1B.2C.D.

11

32

【答案】D

【解题思路】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可.

【解答过程】因为向量,

→→→

�=(1,2),�=(1,0),�=(3,4)

所以.

→→

�+��=1,2+�1,0=�+1,2

因为,所以,解得.

→→�+121

故选:(�D+.��)//�3=4�=2

【题型4平面向量数量积的坐标表示】

【例4】(2025·宁夏内蒙古·模拟预测)已知向量,则()

A.2B.1C.�0=(0,1),�=(1,0)D.�⋅(�−�)=

【答案】B−1

【解题思路】利用向量的坐标运算求解.

【解答过程】,,

∵�=,0,1�=1,0

∴�−�=−1,1.

∴故�选⋅:�B−.�=0×−1+1×1=1

【变式4-1】(2025·浙江杭州·一模)设向量.若,则()

A.2B.3�=C.24,�,�=2+�,2�D.�5⋅2�−�=0�=

【答案】A

【解题思路】由向量的坐标表示出,然后解方程即可.

→→→

【解答过程】,�⋅2�−�=0

∴2�−�=2−�,0,

解得�⋅2�−.�=4−2�+0=0

故选:�=A.2

【变式4-2】(2025·广西来宾·模拟预测)已知向量,则()

A.1B.0C.-�1=(1,2),�=(−D2.,3)-2�⋅(�−�)=

【答案】C

【解题思路】利用向量的数量积运算求解即可.

【解答过程】由题意,得,故.

故选:C.�−�=(−3,1)�⋅(�−�)=1×(−3)+2×1=−1

【变式4-3】(2026·河北沧州·一模)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的,若不计蜂巢壁的厚

度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图,如图所示.已知为图中7个正六边形(边长为1)的三

�, �, �

个固定顶点,则()

��⋅��=

A.12B.C.16D.

【答案】A123163

【解题思路】建立如图所示的平面直角坐标系,得,,再由平面向量的数量积运算

即可求解.�(−2,0),�(2,0)�(1,3)

【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系:

由于正六边形的边长为1,

所以,,

所以�(−2,0),�(2,0)�(1,,3)

所以��=3,3,��=4,0,

故选:��A⋅.��=3×4+3×0=12

【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】

【例5】(2026·辽宁辽阳·一模)已知向量,满足,则向量与

2

的夹角为()�=1,2�=5−2�,��−2�=−5,0��

A.B.C.D.

ππ3π5π

6446

【答案】B

【解题思路】利用向量坐标运算求出,再利用向量数量积公式求向量的夹角.

【解答过程】因为,

22

所以�,−解2�得=(1,2,)−2(5−2�,�)=(4�−9,2−2�)=−5,0

2

4�−9=−5�=1

所以2−2�=,0

所以�=3,1,又,

�⋅�3+22

cos�,�=��=1+49+1=20≤�,�≤π

所以向量与的夹角为,

π

��4

故选:B.

【变式5-1】(2025·河南南阳·模拟预测)已知向量,,若,则()

A.B.C.5�=1,2�=2,D�.20�∥��=

【答案】B525

【解题思路】根据求出,再用模的坐标表示求解即可.

【解答过程】向量�//�,�=4,由,得,则,

所以�=1,2.�=2,��∥��−4=0,�=4�=(2,4)

故选:|�|B=.4+16=25

【变式5-2】(2025·山东泰安·模拟预测)已知向量,若的夹角为锐角,则实数的取

值范围是(  )�=(1,2),�=(�,4)�,��

A.B.且C.D.

【答案】B�>−8�>−8�≠2�<−8�≠2

【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围,注意排除同向共线的情况即可.

【解答过程】由题意�⋅�>0,

若�,⋅�此=时1⋅�同+向2⋅共4线=,�非+锐8角>,0⇒�>−8

�4

1=2=2⇒�=2�,�

所以且.

故选:�B>.−8�≠2

【变式5-3】(2025·辽宁鞍山·模拟预测)已知向量,若,则的值为()

A.10B.C.�=2,−1,�=�D,.2�⊥��−�

【答案】D353210

【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出,再结合向量的坐标运算和模长公式求解.

【解答过程】由,可得,解�得=1,

,�⊥�2�−2=0�=1

∴�=1,2

,则.

22

故∴�选−:�D=.1,−3�−�=1+−3=10

【题型6向量垂直的坐标表示】

【例6】(2025·广东·模拟预测)已知向量,,且与垂直,则()

A.B.�=C2.,−5�=1,2D2.�−��+���=

311223

4772

【答案】C

【解题思路】利用向量垂直的坐标表示式计算即得.

【解答过程】由题意可得,,

由与垂直可2得�−�=3,−12�+��=,2解+得�,2�−5.

22

2�−��+��32+�−122�−5=0�=7

故选:C.

【变式6-1】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知向量,若,则

()�=�−1,1,�=2,��−�⊥�+��=

A.B.C.1D.2

【答案】B−2−1

【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求,最后利用数量积的坐标运算即可求解.

【解答过程】由题意有�−�,�+�,又因为,

所以�−�=�−3,1−�,�+�=�+1,1+��−�⊥,�+�

故选:�B−.�⋅�+�=�−3�+1+1−�1+�=−2�+1=0⇒�=−1

【变式6-2】(2025·广西柳州·一模)设向量,,则()

A.“”是“”的必要条件�=B.�“+2,�”是�“=�,1”的必要条件

C.“�=−1”是“�∥�”的充分条件D.“�=−”3是“�⊥”�的充分条件

【答案】D�=−2�∥��=0�⊥�

【解题思路】由向量平行、垂直的坐标表示求得,再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可.

【解答过程】若,则解得:�或,

2

若,则�∥��+2解=得�:�或=−1�,=2

所以�⊥“�”�是+“2�+”的�不=必0要条件�,=0�=−3

“�=”是−“1�”的∥�不必要条件,

“�=−3”是“�⊥�”的不充分条件,

�=−2�∥�

“”是“”的充分条件,

故�选=:0D.�⊥�

【变式6-3】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知向量,,若,则()

A.B.C.�=1,2�=2,1D.(��+��)⊥(2�−�)

【答案】B2�−�=02�+�=0�−2�=0�+2�=0

【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示,列式求解.

【解答过程】由向量,,得,

由�=,1,得2�=2,1,�所�以+��=(�+2.�,2�+�),2�−�=(0,3)

故选(�:�B+.��)⊥(2�−�)3(2�+�)=02�+�=0

【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】

【例7】(2025·江西新余·模拟预测)已知在正方形中,,为中点,为正方形内部

或边界上一点,则的最大值为()𝐴𝐵𝐴=2����𝐴𝐵

A.��⋅B�.�C.D.2

37

124

【答案】D

【解题思路】建立坐标系,写出点的坐标,设,,得到,

求出最大值.��,�0≤�≤2,0≤�≤2��⋅��=2�−�−2

【解答过程】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立平面直角坐标系,

则�𝐴,𝐵,�,�

设�0,0,�,2,0,�2,2,�0,2,�,2,1

则��,�0≤�≤2,0≤�≤2,

故当��⋅��=2,−时1,⋅�−2,�−2=2�−取4+得2最−大�值=,2最�大−值�−为2.

�=2,�=0��⋅��=2�−�−24−0−2=2

故选:D.

【变式7-1】(2025·湖北·模拟预测)已知,,点,为坐标原点,则

21

33

的最小值是()��=𝐴=3𝐴=32�4,2���+𝐴

A.B.C.D.

525

【答案】C33545

【解题思路】由可推导得到,结合可设,

2

��=18��⊥����=��=3�3cos�,3sin�

,利用向量坐标运算表示出,计算可得,可知当时,

212122

�−3sin�,3cos�3��+3��3��+3��cos�=13��+

取得最小值,进而得到结果.

12

3��

【解答过程】,

2222

∵,�则�=��−,��=��−2��⋅��+��=18−2��⋅��=18

∴��⋅��=0,��⊥��两点在以为圆心,为半径的圆上,

∵设��=��=3,由∴�,�可取�3,

�3cos�,3sin���⊥���−3sin�,3cos�

2121

3333

∴��+𝐴=3cos�−4,3sin�−2,+−3sin�−4,3cos�−2

=2cos�−sin�−4,cos�+2sin�−2,

21222

∴3��+3��=2cos�−sin�−4+cos�+2sin�−2=25−20cos�

则当时,取得最小值,.

21221

3333

故选:coCs�.=1��+𝐴25−20=5∴��+𝐴min=5

【变式7-2】(2025·江苏·模拟预测)在平面四边形中,,点M在边

(含端点)上运动,设,则的𝐴取�值�范围�是�(⊥�)�,𝐵⊥𝐵,𝐵=2𝐴��

A.�B�.=���+����C+.�D.

【答案】C[1,5][2,4][1,3][1,4]

【解题思路】如图建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.

【解答过程】如图,以所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,

𝐴�𝐵�

设则,,

→→→

𝐴=�,𝐵=�,�0,0,��,0,�2�,�,�0,�𝐴=�,0,��=�,�,𝐵=0,�

所以,

→→→

𝐵=�𝐴+�𝐵=��,0+�0,�=��,��

设,则,

→→→→→

��=𝐴�0≤�≤1𝐵=𝐴+��=�,0+��,�=1+��,��

所以,所以,

�=1+�

�+�=1+2�

因为�=�,所以,

0≤�≤11≤1+2�≤3

即的取值范围是,

故选�+:�C.1,3

【变式7-3】(2025·新疆辽宁·一模)等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,,,,P

π

𝐴=2𝐵=1∠�𝐴=4

为腰AD所在线段上任意一点,则的最小值是()

A.B.1��⋅𝐴C.D.

3

322

【答案】C

【解题思路】作垂直于于点,作垂直于于点,建立平面直角坐标系,求出相关点的坐标,利

′′′′

用坐标计算出��的表�达�式,由�二次�函�数的单调𝐴性即可�求得答案.

【解答过程】��⋅��

如图,作垂直于于点,作垂直于于点,

′′′′

又�,�,𝐴�,��𝐴�

π

𝐴=2𝐵=1∠�𝐴=4

则,,,,

′1′1′3′1

以点𝐵为=坐2标�原�点=,2�所�在=直2线�

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