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文档简介
专题4.3平面向量基本定理及坐标表示(举一反三复习讲义)
【全国通用】
1、平面向量基本定理及坐标表示
平面向量是高考的热点内容,属于高考的必考内容。从近几年的高考情
命题规律况来看,平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容,主要
以选择题、填空题的形式考查,难度较易;有时也会与三角函数、解析几何
分析结合出现在综合性大题中,难度中等。在高考复习过程中应注意加强对平面
向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解,熟记平面向量的相关公式,
灵活进行求解。
考点2023年2024年2025年
高考真题新课标I卷:第3题,
5分新课标I卷:第3题,全国一卷:第6题,5
平面向量基
全国乙卷(文数):5分分
统计本定理及坐
第6题,5分全国甲卷(理数):全国二卷:第12题,
标表示
全国甲卷(文数):第9题,5分5分
第3题,5分
预测在2026年全国卷高考数学中,平面向量基本定理及坐标表示的考
2026年情将继续维持稳定态势,大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察,分
值稳定在5分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与夹
命题预测角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算,难度不大;也可能结合实
际情境(如速度、位移等)考查,要灵活求解。
知识点1平面向量基本定理及其解题策略
1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,
使.若不共线,我们把{}叫做表示这一平面内所有 � 向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知,可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可
以用平面内任意不共线的两个向量线性 表� 示,这就是平面向量基本定理的实质.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路:
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都
是唯一的.
知识点2平面向量坐标运算及其解题策略
1.平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和(差)的坐标表示
由于向量,等价于,,所以
,即.同理可得.
这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y),可得,则,即.
这 就� 是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量,等价于,,所以
.又,,,所以
.
这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度(模)的坐标表示
若,则或.
其含义是:向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的 � 有向线段的起点和终 � 点的坐标分别为,,那么,
� .
3.平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设,,其中.我们知道,共线的充要条件是存在实数,使.如果用坐标
�
表示,可写为,即,消去,得.这就是说,向量共
�
线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若,,三点共线,则有,从而,
即,
或由得到,
或由得到.
由此可知,当这些条件中有一个成立时,A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量,,,是与的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得
� � �
.
(3)垂直的坐标表示
设,,则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,
则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1.若与不共线,且,则.
2.已 知� P�为线段AB的中点,若A(),B(),则P点坐标为.
3.已知△ABC的重心为G,若A(),B(),C(),则G.
【题型1用基底表示向量】
【例1】(2025·甘肃甘南·三模)中,若,,,则向量可用,表示为()
A.△𝐴��B�.= � ��=���=3��𝐵 � �
133
4 � +4 � � +4 �
C.D.
1131
4 � +4 � 4 � +4 �
【答案】A
【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【解答过程】在中,,
则△𝐴�� � =3� �
33
� � =� � +� � =� � +4� � =� � +4� � −� �
.
3313
=� � +4� � −4� � =4� � +4� �
又因为,所以.
13
� � = � ,� � = � � � =4 � +4 �
故选:A.
【变式1-1】(2025·山东济南·二模)在中,为边的中点,,则()
2
△𝐴��𝐴� � =3� � � � =
A.B.
1251
−6� � +3� � 6� � +3� �
C.D.
1212
6� � +3� � 6� � −3� �
【答案】D
【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.
【解答过程】因为为边的中点,,
2
�𝐴� � =3� �
所以.
212112
� � =� � +� � =3� � −2� � =3� � −� � −2� � =6� � −3� �
故选:D.
【变式1-2】(2026·河北·模拟预测)在平行四边形ABCD中,和DF交于点,若
11
3 2
,则()��=−𝐴,��=��,���
𝐴=A. � ,𝐵=���B=.C.D.
53643735
8�+8 � 7�+7 � 8�+8 � 7�+7 �
【答案】B
【解题思路】利用平行四边形的性质,结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可.
【解答过程】设的中点为,连接,
因为,��所以是�的中点,𝐵所以,且,
11
� � =2� � ���𝐵//��𝐵=2��
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以,且,
所以��//𝐵𝐴=𝐵
又因为𝐵//𝐵,
1
� � =−3� �
所以,因为,
1
��=3𝐴𝐴=𝐵
所以,所以,
111
因为��=3�,�𝐵=2��=6𝐵
所以𝐵//𝐵,
𝐵𝐵1
𝐵=𝐵=6
所以
6666
� � =� � +� � =� � +7� � =� � +7� � +� � =� � +7� � +7� �
.
661634646
=� � +7� � +7×2� � =� � +7� � −7� � =7� � +7� � =7 � +7 �
故选:B.
【变式1-3】(2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测)在中,点D为边上一点,且,设,
1
3
,则()△𝐴�����=��𝐴= �
��=A.�B.
1221
� � =3 � −3 � � � =3 � +3 �
C.D.
1221
� � =3 � +3 � � � =3 � −3 �
【答案】B
【解题思路】由平面向量的线性运算进行计算可得结果.
【解答过程】因为,所以,
11
��=3��� � =3� �
则
1
� � =� � +� � =� � +3� �
.
12121
=� � +3� � −� � =3� � +3� � =3 � +3 �
故选:B.
【题型2利用平面向量基本定理求参数】
【例2】(2025·河南·二模)在中,D是AC边的中点,且点M满足,若,
则()△𝐴�� � =3� � � � =�� � +�� �
�+A.�=B.C.D.
1235
2346
【答案】D
【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【解答过程】因为①,②,
112
� � =� � +� � =� � +3� � � � =� � +� � =2� � −3� �
由,得,所以,
121
①×2+②3� � =2� � +2� � � � =3� � +6� �
即,,所以.
215
�=3�=6�+�=6
故选:D.
【变式2-1】(2025·湖南·三模)在中,点是线段上一点,若,,则实
13
4 4
数()△𝐴������=𝐴�𝐵=𝐴+��
�=A.B.C.D.
1123
4334
【答案】D
【解题思路】由向量的线性运算得,结合平面向量基本定理即可得解.
【解答过程】因为,所以� � =1−�� � +�� � ,
因为� � =,�所� � 以 .� � =� � +� � =� � +𝐴 � =� � +�−� � +� � =1−�� � +�� �
133
� � =4� � +4� � �=4
故选:D.
【变式2-2】(2025·四川成都·一模)在平行四边形中,,是线段DE的中点,连接
→→→
交于O,若,则()𝐴𝐵��+3��=0���
𝐵A.1��=��B�.�=C.D.
342
433
【答案】B
【解题思路】设,以为基底,分别用表示,建立方程组求解.
→→→→→
��=𝐴�𝐴,𝐵�,���
【解答过程】
→→→→1→→1→→
𝐵=𝐵+��=𝐵+2��=𝐵+2��+��
,
→1→1→5→1→
=𝐵+2𝐴−6𝐵=6𝐵+2𝐴
又因为,所以,
→→→5→1→
��=�𝐵��=6�𝐵+2�𝐴
设,则,
→→→→→→→→→→
��=𝐴���=𝐴+𝐴�=𝐴+�𝐵−𝐴=1−�𝐴+�𝐵
所以1,解得3,
1−�=2��=4
55
故选:B�.=6��=8
【变式2-3】(2025·安徽·模拟预测)已知在中,点D满足,设,
则()△𝐴�4� � +3� � = 0 � � =�� � +�� � �,�∈�
�+A.2�1=B.C.D.2
710
57
【答案】C
【解题思路】由平面向量基本定理结合,可得,再由
34
4� � +3� � = 0 � � =7� � ,� � =−7� � � � =�� � +
,即可求出的值.
【�解� � 答�过,�程∈】�由�+2�,可得,
34
4� � +3� � = 0 � � =7� � ,� � =−7� �
则
34
� � =� � +� � =� � +7� � ,� � =� � +� � =� � −7� � ,
则
1186
2� � =� � +� � −7� � =� � +� � −7� � −� � =7� � +7� �
故,
43
� � =7� � +7� �
所以
4310
�+2�=7+2×7=7
故选:C.
【题型3向量共线(平行)的坐标表示】
【例3】(2026·广西·模拟预测)已知平面向量,,若,则()
A.B.C � .=11,� � =3,2�+D2.2 � //2 � + � �=
−2−1
【答案】D
【解题思路】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值.
【解答过程】,,则,�
由 � 得=1,� � =,3,2解�得+2.2 � + � =(5,4�+2)
故 选� /:/(2D � .+ � )4�+2=5��=2
【变式3-1】(2026·四川遂宁·一模)已知平面向量与平行,则的值为()
A.1B.C.4 � =(−1,2) � =D(�.,−2)�
【答案】A−1−4
【解题思路】利用向量平行的坐标表示可求答案.
【解答过程】因为与平行,所以,解得.
�−2
� =(−1,2) � =(�,−2)−1=2�=1
故选:A.
【变式3-2】(2025·全国·模拟预测)已知向量,若与同向共线,则为()
A.B. �C .=2,�, � =�,3D �. 0 � �
【答案】A6−6±6
【解题思路】根据向量共线定理的坐标表示即可求解.
【解答过程】∵与共线,
∴ � �, 即,解得.
2
当2×3−时�,⋅�=06−�=0,与�=同±向6共线,符合题意.
当�=6时, � =(2,6), � =(6,3) � , � ,与反向共线,不符合题意,舍去.
综上�=,−6, � =(2,−6), � =(−63) � �
故选:A�.=6
【变式3-3】(2026·山东枣庄·模拟预测)已知向量.若为实数,且,
→→→
则() � =(1,2), � =(1,0), � =(3,4)�(�+��)//�
�=A.1B.2C.D.
11
32
【答案】D
【解题思路】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可.
【解答过程】因为向量,
→→→
�=(1,2),�=(1,0),�=(3,4)
所以.
→→
�+��=1,2+�1,0=�+1,2
因为,所以,解得.
→
→→�+121
故选:(�D+.��)//�3=4�=2
【题型4平面向量数量积的坐标表示】
【例4】(2025·宁夏内蒙古·模拟预测)已知向量,则()
A.2B.1C. � 0=(0,1), � =(1,0)D. � ⋅( � − � )=
【答案】B−1
【解题思路】利用向量的坐标运算求解.
【解答过程】,,
∵ � =,0,1 � =1,0
∴ � − � =−1,1.
∴故 �选 ⋅: � B−. � =0×−1+1×1=1
【变式4-1】(2025·浙江杭州·一模)设向量.若,则()
A.2B.3 � =C.24,�, � =2+�,2�D. � 5⋅2 � − � =0�=
【答案】A
【解题思路】由向量的坐标表示出,然后解方程即可.
→→→
【解答过程】,�⋅2�−�=0
∴2 � − � =2−�,0,
解 得� ⋅2 � −. � =4−2�+0=0
故选:�=A.2
【变式4-2】(2025·广西来宾·模拟预测)已知向量,则()
A.1B.0C.- �1 =(1,2), � =(−D2.,3)-2 � ⋅( � − � )=
【答案】C
【解题思路】利用向量的数量积运算求解即可.
【解答过程】由题意,得,故.
故选:C. � − � =(−3,1) � ⋅( � − � )=1×(−3)+2×1=−1
【变式4-3】(2026·河北沧州·一模)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的,若不计蜂巢壁的厚
度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图,如图所示.已知为图中7个正六边形(边长为1)的三
�, �, �
个固定顶点,则()
� � ⋅� � =
A.12B.C.16D.
【答案】A123163
【解题思路】建立如图所示的平面直角坐标系,得,,再由平面向量的数量积运算
即可求解.�(−2,0),�(2,0)�(1,3)
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系:
由于正六边形的边长为1,
所以,,
所以�(−2,0),�(2,0)�(1,,3)
所以� � =3,3,� � =4,0,
故选:� � A⋅.� � =3×4+3×0=12
【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】
【例5】(2026·辽宁辽阳·一模)已知向量,满足,则向量与
2
的夹角为() � =1,2 � =5−2�,� � −2 � =−5,0 � �
A.B.C.D.
ππ3π5π
6446
【答案】B
【解题思路】利用向量坐标运算求出,再利用向量数量积公式求向量的夹角.
�
【解答过程】因为,
22
所以 � ,−解2 �得 =(1,2,)−2(5−2�,�)=(4�−9,2−2�)=−5,0
2
4�−9=−5�=1
所以2−2�=,0
所以 � =3,1,又,
� ⋅ � 3+22
cos � , � = � � =1+49+1=20≤ � , � ≤π
所以向量与的夹角为,
π
� � 4
故选:B.
【变式5-1】(2025·河南南阳·模拟预测)已知向量,,若,则()
A.B.C.5 � =1,2 � =2,D�.20 � ∥ � � =
【答案】B525
【解题思路】根据求出,再用模的坐标表示求解即可.
【解答过程】向量 � // � ,�=4,由,得,则,
所以 � =1,2. � =2,� � ∥ � �−4=0,�=4 � =(2,4)
故选:| � |B=.4+16=25
【变式5-2】(2025·山东泰安·模拟预测)已知向量,若的夹角为锐角,则实数的取
值范围是( ) � =(1,2), � =(�,4) � , � �
A.B.且C.D.
【答案】B�>−8�>−8�≠2�<−8�≠2
【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围,注意排除同向共线的情况即可.
【解答过程】由题意 � ⋅ � >0,
若 � ,⋅ � 此=时1⋅�同+向2⋅共4线=,�非+锐8角>,0⇒�>−8
�4
1=2=2⇒�=2 � , �
所以且.
故选:�B>.−8�≠2
【变式5-3】(2025·辽宁鞍山·模拟预测)已知向量,若,则的值为()
A.10B.C. � =2,−1, � =�D,.2 � ⊥ � � − �
【答案】D353210
【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出,再结合向量的坐标运算和模长公式求解.
【解答过程】由,可得,解�得=1,
, � ⊥ � 2�−2=0�=1
∴ � =1,2
,则.
22
故∴ �选 −: � D=.1,−3 � − � =1+−3=10
【题型6向量垂直的坐标表示】
【例6】(2025·广东·模拟预测)已知向量,,且与垂直,则()
A.B. � =C2.,−5�=1,2D2. � −� � +���=
311223
4772
【答案】C
【解题思路】利用向量垂直的坐标表示式计算即得.
【解答过程】由题意可得,,
由与垂直可2得 � − � =3,−12 � +� � =,2解+得�,2�−5.
22
2 � − � � +� � 32+�−122�−5=0�=7
故选:C.
【变式6-1】(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知向量,若,则
() � =�−1,1, � =2,� � − � ⊥ � + � �=
A.B.C.1D.2
【答案】B−2−1
【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求,最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【解答过程】由题意有 � − � , � + � ,又因为,
所以 � − � =�−3,1−�, � + � =�+1,1+� � − � ⊥, � + �
故选: � B−. � ⋅ � + � =�−3�+1+1−�1+�=−2�+1=0⇒�=−1
【变式6-2】(2025·广西柳州·一模)设向量,,则()
A.“”是“”的必要条件 � =B.�“+2,�”是 � “=�,1”的必要条件
C.“�=−1”是“ � ∥ � ”的充分条件D.“�=−”3是“ � ⊥” � 的充分条件
【答案】D�=−2 � ∥ � �=0 � ⊥ �
【解题思路】由向量平行、垂直的坐标表示求得,再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可.
【解答过程】若,则解得:�或,
2
若,则 � ∥ � �+2解=得�:�或=−1�,=2
所 以� ⊥“ � ”�是+“2�+”的�不=必0要条件�,=0�=−3
“�=”是−“1 � ”的∥ �不 必要条件,
“�=−3”是“ � ⊥ � ”的不充分条件,
�=−2 � ∥ �
“”是“”的充分条件,
故�选=:0D. � ⊥ �
【变式6-3】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知向量,,若,则()
A.B.C. � =1,2 � =2,1D.(� � +� � )⊥(2 � − � )
【答案】B2�−�=02�+�=0�−2�=0�+2�=0
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示,列式求解.
【解答过程】由向量,,得,
由 � =,1,得2 � =2,1,�所 � 以+� � =(�+2.�,2�+�),2 � − � =(0,3)
故选(�: � B+.� � )⊥(2 � − � )3(2�+�)=02�+�=0
【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】
【例7】(2025·江西新余·模拟预测)已知在正方形中,,为中点,为正方形内部
或边界上一点,则的最大值为()𝐴𝐵𝐴=2����𝐴𝐵
A.��⋅B�.�C.D.2
37
124
【答案】D
【解题思路】建立坐标系,写出点的坐标,设,,得到,
求出最大值.��,�0≤�≤2,0≤�≤2� � ⋅� � =2�−�−2
【解答过程】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立平面直角坐标系,
则�𝐴,𝐵,�,�
设�0,0,�,2,0,�2,2,�0,2,�,2,1
则��,�0≤�≤2,0≤�≤2,
故当� � ⋅� � =2,−时1,⋅�−2,�−2=2�−取4+得2最−大�值=,2最�大−值�−为2.
�=2,�=0� � ⋅� � =2�−�−24−0−2=2
故选:D.
【变式7-1】(2025·湖北·模拟预测)已知,,点,为坐标原点,则
21
3 3
的最小值是()��=𝐴=3𝐴=32�4,2���+𝐴
A.B.C.D.
525
【答案】C33545
【解题思路】由可推导得到,结合可设,
2
� � =18� � ⊥� � � � =� � =3�3cos�,3sin�
,利用向量坐标运算表示出,计算可得,可知当时,
212122
�−3sin�,3cos�3� � +3� � 3� � +3� � cos�=13� � +
取得最小值,进而得到结果.
12
3� �
【解答过程】,
2222
∵,� 则 � =� � −,� � =� � −2� � ⋅� � +� � =18−2� � ⋅� � =18
∴� � ⋅� � =0,� � ⊥� � 两 点在以为圆心,为半径的圆上,
∵设� � =� � =3,由∴�,�可取�3,
�3cos�,3sin�� � ⊥� � �−3sin�,3cos�
2121
3 3 33
∴��+𝐴=3cos�−4,3sin�−2,+−3sin�−4,3cos�−2
=2cos�−sin�−4,cos�+2sin�−2,
21222
∴3� � +3� � =2cos�−sin�−4+cos�+2sin�−2=25−20cos�
则当时,取得最小值,.
21221
3 3 3 3
故选:coCs�.=1��+𝐴25−20=5∴��+𝐴min=5
【变式7-2】(2025·江苏·模拟预测)在平面四边形中,,点M在边
(含端点)上运动,设,则的𝐴取�值�范围�是�(⊥�)�,𝐵⊥𝐵,𝐵=2𝐴��
A.� B � . =�� � +�� � �C+.�D.
【答案】C[1,5][2,4][1,3][1,4]
【解题思路】如图建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.
【解答过程】如图,以所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,
𝐴�𝐵�
设则,,
→→→
𝐴=�,𝐵=�,�0,0,��,0,�2�,�,�0,�𝐴=�,0,��=�,�,𝐵=0,�
所以,
→→→
𝐵=�𝐴+�𝐵=��,0+�0,�=��,��
设,则,
→→→→→
��=𝐴�0≤�≤1𝐵=𝐴+��=�,0+��,�=1+��,��
所以,所以,
�=1+�
�+�=1+2�
因为�=�,所以,
0≤�≤11≤1+2�≤3
即的取值范围是,
故选�+:�C.1,3
【变式7-3】(2025·新疆辽宁·一模)等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,,,,P
π
𝐴=2𝐵=1∠�𝐴=4
为腰AD所在线段上任意一点,则的最小值是()
A.B.1��⋅𝐴C.D.
3
322
【答案】C
【解题思路】作垂直于于点,作垂直于于点,建立平面直角坐标系,求出相关点的坐标,利
′′′′
用坐标计算出��的表�达�式,由�二次�函�数的单调𝐴性即可�求得答案.
【解答过程】� � ⋅� �
如图,作垂直于于点,作垂直于于点,
′′′′
又�,�,𝐴�,��𝐴�
π
𝐴=2𝐵=1∠�𝐴=4
则,,,,
′1′1′3′1
以点𝐵为=坐2标�原�点=,2�所�在=直2线�
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