2026年高考数学复习系列（全国）专题4.2 平面向量的线性运算及数量积（试题版）

专题4.2平面向量的线性运算及数量积（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1向量的线性运算】.......................................................................................................................................1

【题型2向量共线定理及其应用】...........................................................................................................................2

【题型3平面向量数量积的运算】...........................................................................................................................2

【题型4平面向量的夹角问题】...............................................................................................................................3

【题型5平面向量的模长问题】...............................................................................................................................3

【题型6向量数量积与其他知识交汇】...................................................................................................................4

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1向量的线性运算】

1．（2025·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（）

A．B．△𝐴��C𝐴．��=D．

2．（2025�·�辽−宁�·�一模）已知��−2�，�点D满足2��+�，�则（）��+2��

A．△𝐴�B�．�=3����=

C．3𝐴−2��D．3��−2𝐴

3113

2��−2��2��−2��

3．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（）

1

△𝐴��𝐴�����=���+3���=

A．B．C．D．

1124

6333

4．（2025·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（）

A．𝐴�B�．𝐴=2��,��=��

1525

��=3��+6����=3��+6��

C．D．

5152

��=6��+3����=6��+3��

【题型2向量共线定理及其应用】

5．（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（）

121212

A．3B．�,�C．2�+��∥D3�．−2��=

44

−33−3

6．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，

若A，B，D三点共线，则a的值�1为�（2）��=�1+��2��=�1−4�2��=5�1+4�2

A．2B．C．0D．1

−2

7．（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（）

→2→→→1→

△𝐴���=3����𝐴=𝐴�+3���=

A．B．C．D．

2456

−3−5−6−7

8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若

三点共线，则的最小值为（）�,���=��+�,��=�+���>0,�>0�,�,�

A．5�+4�B．4C．3D．2

【题型3平面向量数量积的运算】

9．（2025·山西·三模）已知向量，，均为单位向量，且，则（）

A．0B．���C．2�+3�+D2�．=0�⋅2�−�=

−1−3

10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知向量，，且，则（）

→→

A．B．�=C．�6,1�=4,−2D．�1/0/��⋅�=

11．（20−2150·河南·模拟预测−）6在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为

π

𝐴��𝐴=1∠𝐴�=3��

的中点，则的取值范围为（）

��A．𝐴⋅𝐸B．C．D．

1133

2,10,24,10,4

12．（2025·青海·模拟预测）青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于

三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE

为正五边形，，则（）�����

𝐴=25��⋅��=

A．B．C．D．

312.56251250625cos36°

【题型4平面向量的夹角问题】

13．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹

3

角为（）�,�,�=3��−��−2���

A．B．C．D．

5π2πππ

6336

14．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（）

�=2,0�−�=3,−3cos�−2�,�=

A．B．C．D．

37277

−5577

15．（2025·河北唐山·模拟预测）非零向量，满足，与垂直，则与的夹角为

→→→→→→→→→→

（）���=2��−5�2�+3���

A．B．C．D．

��2�5�

6336

16．（2025·安徽·模拟预测）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则

与夹角的余弦值大小为（）�,��=(1,2),|�|=1��2��

�

A．B．C．D．

43525

5555

【题型5平面向量的模长问题】

17．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得

，则（）�,�,��=3,�=4,�=5

5�⋅�=3�⋅�=4�⋅�=��+�+�=

A．3B．C．D．

106

2

18．（2025·河北沧州·一模）3已知向量97.若，则（）

A．B．5��=�C．,2,��=2,−1�D�．//4�5���=

19．（20255·山东临沂·三模）在平行四边形中3，5，，，为边上一点，若

∘

，则线段的长为（）𝐴��𝐴=3��=2∠���=60���

��⊥����

A．B．C．3D．

21

2

20．（2025·云南昭通·模拟预测5）已知向量满足23，记

，则的取值范围是（）�,�,��=3,�=1,�−�=7,�=2�−��=���∈

�A．�−�B．C．D．

【题型62向,+量∞数量积与其2他3−知2识,+交∞汇】−∞,23+223−2,23+2

21．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，

那么（）𝐴�∠���=120°𝐴=��=1��=���=���=�

A�．⋅�+�⋅�+�⋅�B=．C．D．

5577

2−22−2

22．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数

的值域是（）�=2�=1�,�=��+2�+�−2�=����

A．B．

C．4,25D．3,25

23．（20245,4·江2苏镇江·模拟预测）已知A，B，C是函3数,42的图象上的三点，且A在x轴上，

2

轴，，则（）�(�)=log���∥�

15

��=4��⋅��=

A．B．C．D．

251575

444−4

24．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足

π

△𝐴�∠���=3,��=��,�����=���+

，若，则的最小值是（）

1

3���△𝐴�=23��

A．2B．4C．D．

268

33

A组基础跟踪练

一、单选题

1．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（）

�,��=1,2�−�=4�+2�⊥��=

A．B．C．D．

2．（20265·重庆·一模）边长为102的等边三角形5的外心为，则10（）

A．B．�2�����⋅��=

C．−2D．

3．（2026·3四川绵阳·二模）在中，−，若3，，则（）

A．△𝐴���=B．��𝐴=���=���=

11

�+�2�−2�

C．D．

1111

−2�−2�2�+2�

4．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（）

A．1B．�,�C．�−�=2�D+．�2=

5．（2026·福建漳州·模拟预测2）在中，为3中点，是边长为的等边三角形，则向量在

向量方向上的投影向量为（）△𝐴����△𝐴�1��

��

A．B．C．D．

3333

4��4��2��2��

6．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，

25

则（）����=�=1�−2�+�=0cos<�+�,�>=5

�A=．B．或C．5D．5或

33

555555

7．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（）

π

��6�=(0,1),|�|=2|2�−�|=

A．2B．

23

C．D．

8．（20268·辽−宁4辽3阳·一模）已知向量，8+43满足，则向量与的夹角

2

为（）�=1,2�=5−2�,��−2�=−5,0��

A．B．C．D．

ππ3π5π

二、填空6题446

9．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为．

10．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知向�量��.若�−�=���，则的值为.

11．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为�=的(两�,个0)单,�位=向(2量,1，)若(�−4�)⋅�=，0则实�数．

∘

12．（2026·河北沧州·一模）已�知,�向量60，，(2若�−��)，⊥且��，=则

�=2�+1,3� �=2,2��//��<�

．

�+�⋅�−�=B组培优提升练

一、单选题

1．（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂

巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定

顶点，则（）�, �, �

��⋅��=

A．12B．C．16D．

2．（2026·河南洛阳·模拟预12测）3在中，是的中点，过点的直1线6分3别交直线，于点，，

设，△𝐴�，则��的�最小值是（）�𝐴����

11

��=�����=����>0,�>0�+�

A．1B．2C．4D．6

3．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最

大值为（）△𝐴���=2��⋅��=8△𝐴�𝐴+��

A．4B．3C．D．

4．（2026·湖南株洲·一模）已知向量23，将向量绕坐标2原2点逆时针旋转角得到向量

，则下列说法正确�的�是=（(cos�,）sin�)����

��0A°．<�<180°B．

C．|��|<2D．|��+��|≥|��−��|

5．（20|2�6�·广+东�茂�|名≥·一1