九年级数学下册：相似三角形的判定定理教学设计

九年级数学下册：相似三角形的判定定理教学设计

一、课程理念与设计思路

（一）指导思想与理论依据

本课设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，深刻践行“核心素养”导向的课程理念。几何直观、推理能力、模型观念等核心素养的培养贯穿始终。设计充分融合建构主义学习理论，强调学生在已有“全等三角形判定”和“相似多边形”认知基础上的主动建构；同时，运用“问题驱动学习”模式，通过具有挑战性的真实问题情境，激发学生探究欲望，引导其经历“观察-猜想-验证-证明-应用”的完整数学发现过程，实现从具体操作到抽象逻辑的思维跃迁。

（二）内容本质与知识结构分析

“三边成比例”和“两边成比例且夹角相等”是三角形相似判定定理体系中的两个核心定理，与“平行线分线段成比例”推论（A字型、8字型）及“两角分别相等”判定定理共同构成了完整的三角形相似判定网络。其本质是揭示了三角形形状唯一确定性的条件：即无需知晓所有角和边的具体度量，仅由边之间的比例关系（或边角组合的比例关系）即可唯一确定三角形的形状。

从知识发展脉络看，它上承全等三角形的“SSS”、“SAS”判定（可视为相似比为1的特殊情形），下启解三角形、三角函数及高中阶段的平面向量、解析几何。本课内容在“图形与几何”领域具有枢纽地位，是学生从全等到相似、从定性到定量研究几何图形关系的关键节点。

（三）学情分析与教学预设

认知基础：九年级学生已掌握全等三角形的判定方法，理解了相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的定义，并已学习了“两角分别相等”判定两个三角形相似。具备一定的几何直观、逻辑推理和合情推理能力。

认知障碍：1.从“角的条件”转向“边的比例条件”进行判定，思维上存在转换难点；2.“成比例”涉及多组对应边的顺序关系，学生容易混淆对应关系；3.定理证明中，需要构造辅助线（平行线）进行转化，这是证明策略上的难点。

教学策略：采用类比迁移策略，将新定理与全等判定定理进行对比，搭建认知脚手架。利用几何画板等动态软件进行直观演示，化解“比例”抽象性。设计阶梯式探究任务，分散证明难点，引导学生自主发现构造辅助线的思路。

二、教学目标

（一）核心素养导向的教学目标

1.数学抽象与直观想象：通过观察、测量、作图等活动，从具体图形中抽象出“三边成比例”和“两边成比例且夹角相等”能够确定三角形形状的数学命题，发展几何直观和空间观念。

2.逻辑推理：经历猜想、分析和证明两个判定定理的过程，体会转化思想（将相似判定转化为已知的平行线分线段成比例模型），掌握综合法证明几何命题的基本逻辑，提升演绎推理能力。

3.数学建模：能够识别现实生活和跨学科情境中的相似三角形结构，并正确选用判定定理建立几何模型，解决测量、设计等实际问题。

4.数学运算：准确计算线段的比例关系，判断比例式是否成立，并进行简单的比例运算。

（二）具体课时目标

1.理解并掌握相似三角形的判定定理2（两边成比例且夹角相等）和判定定理3（三边成比例）。

2.能灵活、准确地运用这两个判定定理判定两个三角形相似，并能解决相关的几何证明与计算问题。

3.通过定理的探究过程，体会类比、转化、从特殊到一般等数学思想方法，积累数学活动经验。

4.感受数学定理的严谨性与简洁美，激发探究几何图形内在规律的兴趣。

三、教学重点与难点

1.教学重点：相似三角形判定定理2和定理3的探索、理解与应用。

2.教学难点：

1.3.判定定理的证明思路，特别是如何通过构造平行线实现转化。

2.4.在复杂图形中，灵活、恰当地选择和应用判定定理。

3.5.“夹角”的准确理解与对应边的正确匹配。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含几何画板动态演示文件）、导学案、三角板、实物投影仪。

2.学生准备：复习全等三角形判定（SSS,SAS）、相似多边形定义及相似判定1（AA）；直尺、量角器、圆规、练习本。

3.环境准备：学生按4-6人异质小组就坐，便于合作探究。

五、教学过程实施

第一课时：探究“两边成比例且夹角相等”的判定

环节一：创设情境，问题导入（约8分钟）

【活动1：穿越历史的测量】

师：（展示古埃及金字塔图片）相传，古希腊学者泰勒斯在游历埃及时，只用一根木棍和太阳的影子，就测量出了金字塔的高度，震惊法老。他是如何做到的呢？

（学生可能基于前期知识，联想到利用影子构建相似三角形。）

师：这里有一个更具体的问题。如图，太阳光线AC和A’C’可视为平行，如果泰勒斯测得木棍AB=2米，影长BC=3米，同时测得金字塔底边一部分的影长B’C’=180米。他能否求出金字塔的高度A’B’？关键是什么？

生：需要证明△ABC∽△A’B’C’。

师：已知太阳光线平行，可得∠ABC=∠A’B’C’。但我们还需要一个条件。如果泰勒斯的助手还测量出，木棍和金字塔在某一时刻，它们与地面夹角（∠B和∠B’）的另一组邻边也满足某种关系，比如AB:A’B’=BC:B’C’，那么问题是否可解？这引发了我们对相似三角形判定条件的更深入思考。

【设计意图】以数学史故事和经典问题开场，赋予数学知识以文化底蕴和现实意义，迅速聚焦到“除角之外，边的关系能否判定相似”的核心问题上，激发探究动机。

环节二：合作探究，猜想定理（约15分钟）

【活动2：动手操作，形成猜想】

任务一：

1.请各小组在导学案上，画一个∠ABC=60°。

2.在角的一边BA上截取AB=4cm，另一边BC上截取BC=6cm，连接AC。

3.再画一个∠A’B’C’=60°，在B’A’上截取A’B’=6cm，在B’C’上截取B’C’=9cm，连接A’C’。

4.测量：①∠A与∠A’，∠C与∠C’的大小；②计算AB:A’B’，BC:B’C’，AC:A’C’的比值。

5.观察与思考：这两个三角形形状有何关系？它们相似吗？你所测量的角和边满足什么规律？

学生动手操作、测量计算、小组讨论。教师巡视指导。

小组汇报：发现∠A≈∠A’，∠C≈∠C’，且三组对应边的比值都近似等于2:3。猜测△ABC∽△A’B’C’。

师：我们改变角度和边长比值，用几何画板动态演示。（操作几何画板：固定∠B=∠B’，改变两边的长度，但始终保持AB:A’B’=BC:B’C’=k）观察两个三角形的形状是否始终保持同步变化？第三边AC与A’C’的比值是否恒等于k？

生：（观察后）是的！只要夹角相等，两边对应成比例，两个三角形形状就相同，即相似。

任务二：

师：如果∠B是这两个三角形的公共角，我们可否将条件叙述为更一般的形式？

引导学生抽象出猜想：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。

【设计意图】通过“动手画-测量-计算-观察”的完整活动，让学生获得直观感受，基于数据做出合情推理。几何画板的动态验证，超越了测量误差，使学生确信规律的普遍性，完成从特殊到一般的猜想过程。

环节三：推理论证，形成定理（约12分钟）

【活动3：演绎证明，验证猜想】

师：猜想不一定正确，必须经过严格的逻辑证明。如何证明“两边成比例且夹角相等，则两三角形相似”？

回顾相似的定义，需要证明所有对应角相等，所有对应边成比例。目前我们已知什么？要证明什么？

已知：在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’，AB/A’B’=BC/B’C’=k。

求证：△ABC∽△A’B’C’。

启发：我们目前掌握的相似判定工具是什么？（平行线分线段成比例及其推论，即“A字型”、“8字型”相似）能否将这两个三角形，通过构造平行线，纳入到一个包含平行线的基本相似图形中？

小组讨论证明思路。教师提示：在已知比例线段的情况下，常常通过“在线段上截取”来建立联系。

师生共同梳理并完成证明：

证明：在线段A’B’（或延长线）上截取B’D=AB，过点D作DE//B’C’，交A’C’于点E。

根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，可得△A’DE∽△A’B’C’。

∴A’D/A’B’=A’E/A’C’=DE/B’C’。

又∵B’D=AB，且已知AB/A’B’=k，

∴A’D=A’B’-B’D（或加，视情况而定，此处假设D在线段A’B’上），但更简洁的是直接在A’B’上截取B’D=AB，则A’D=A’B’-AB。此时需利用比例关系。

更优的构造是：在射线A’B’上截取B’D=AB，连接DE...

（为流畅，采用标准证法）：

在A’B’上截取B’D=AB，过D作DE//B’C’交A’C’于E。则△A’DE∽△A’B’C’。

∴A’D/A’B’=DE/B’C’=A’E/A’C’。

已知AB/A’B’=BC/B’C’=k，且B’D=AB，∴A’D=AB=k·A’B’?这里需要调整。

标准证明步骤：

在A’B’上截取B’D=AB，在B’C’上截取B’E=BC，连接DE。

由作法，AB=A’D，BC=B’E。

又∵AB/A’B’=BC/B’C’，

∴A’D/A’B’=B’E/B’C’。

∴DE//A’C’（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边）。

∴∠A’DE=∠A’，∠A’ED=∠C’。

在△ABC和△A’DE中，

∵AB=A’D，BC=DE（由平行四边形或全等可证，更严谨地，由△ABC≌△A’DE（SAS）），∠B=∠A’DE（∵∠B=∠B’，且同位角∠A’DE=∠B’），

∴△ABC≌△A’DE。

∴∠A=∠A’，∠C=∠A’ED=∠C’，且对应边成比例。

∴△ABC∽△A’B’C’。

师：（总结证明思路精华）这个证明的核心是“构造”。通过截取相等的线段，我们构造了一个△A’DE，它既是△ABC的全等三角形（利用SAS），又是△A’B’C’的相似三角形（通过作平行线）。它就像一座桥，连接了已知条件和求证结论。

【设计意图】将证明难点分解，引导学生回忆关键知识（平行线判定比例线段），探索构造辅助线的策略。通过师生共析，展现几何证明的逻辑链条，让学生不仅知道“怎么证”，更理解“为何这样想”，突破教学难点。

环节四：辨析理解，初步应用（约10分钟）

【活动4：概念辨析与基础应用】

1.辨析：“两边成比例且一角相等”能否判定相似？展示反例图：一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，但相等的角不是夹角（如，一个是夹角，另一个是对边对角的情形），两个三角形明显不相似。强调“夹角”这一关键条件。

2.基础练习1（口答）：根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4,BC=6,AC=8;DE=6,EF=9,DF=12.(引导：计算三边比值)

(2)∠A=40°,AB=8,AC=15;∠D=40°,DE=16,DF=30.(强调对应)

(3)AB=6,BC=8,∠B=70°;DE=9,EF=12,∠E=70°.

3.基础练习2：回到导入的“测量金字塔”问题，请学生写出完整的解答过程。

【设计意图】通过辨析深化对定理条件的精确理解，避免机械记忆。基础练习旨在巩固定理的直接应用，形成初步技能，并解决导入问题，首尾呼应，让学生获得学以致用的成就感。

第二课时：探究“三边成比例”的判定及综合应用

环节一：温故知新，类比导入（约5分钟）

1.复习提问：我们已学习了哪几种三角形相似的判定方法？（定义法、判定1：AA、判定2：SAS（比例形式））

2.类比猜想：全等三角形有“SSS”判定方法。那么，对于相似三角形，如果两个三角形的三组对应边都成比例，它们是否一定相似？请说出你的猜想。

生：猜想：三边成比例的两个三角形相似。

【设计意图】利用与全等三角形的类比，自然引出新课题，激发学生的探究自主性。

环节二：探究证明，再获定理（约15分钟）

【活动1：验证与证明“SSS”判定】

师：如何验证我们的猜想？

生：可以像上节课一样，画图、测量角度。

师：很好，但更有力的方式是严格的证明。能否借鉴上节课定理2的证明思路？

引导学生分析：已知：AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=k。求证：△ABC∽△A’B’C’。

思路：依然尝试构造“桥梁三角形”。在A’B’上截取B’D=AB，在A’C’上截取A’E=AC，连接DE。目标是证明△ABC≌△A’DE，且DE//B’C’，从而△A’DE∽△A’B’C’。

关键：如何证明DE=BC？利用已知的比例关系和截取的等量，可以推导出A’D/A’B’=A’E/A’C’。由此可得DE//B’C’，且DE/B’C’=A’D/A’B’=k。所以DE=k·B’C’。而BC=k·B’C’，故DE=BC。从而由“SSS”证得△ABC≌△A’DE，进而得证。

（师生协作，完成定理的规范证明书写。教师强调证明的脉络和关键步骤。）

【设计意图】将探究的主动权进一步交给学生。引导他们运用上节课获得的策略（构造、转化）来尝试解决新问题，实现数学思想方法的迁移，提升自主探究和推理能力。

环节三：体系建构，方法梳理（约10分钟）

【活动2：总结与对比】

师：到现在为止，我们拥有了判定两个三角形相似的四件“武器”。请大家完成表格，梳理它们的条件、证明思路核心及应用特点。

判定方法

条件

证明核心思路

应用特点

定义法

三角对应相等，三边对应成比例

——

最根本，但条件多，不常用

判定1(AA)

两角对应相等

无需构造，直接依据内角和或对顶角等

最常用，条件最简单

判定2(SAS比例)

两边成比例且夹角相等

截取构造，转化为平行线模型

已知两边比例及夹角时用

判定3(SSS比例)

三边对应成比例

截取构造，转化为平行线模型

已知所有边或便于计算三边比例时用

师：特别要注意，与全等判定（SSS,SAS,ASA,AAS）进行对比，体会“全等是相似比为1的特例”这一思想。

【设计意图】通过表格进行系统化梳理，帮助学生构建清晰、结构化的知识网络。对比分析有助于深化理解，明确各种方法的适用情境，为灵活应用奠定基础。

环节四：综合应用，拓展提升（约15分钟）

【活动3：阶梯式例题解析】

例1（直接应用选择）：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2。试判断△OAD与△OBC是否相似。

（引导学生分析：共顶点的两个三角形，已知四边长度，可计算比例OA:OC，OD:OB，再看夹角∠AOD与∠COB是否相等？——对顶角相等。满足判定定理2的条件。）

例2（条件分析与证明）：已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点。

求证：（1）△ADQ∽△QCP；（2）AQ⊥QP。

分析：

（1）设正方形边长为4a，则可得DQ=2a，CP=a，AD=4a，QC=2a。计算AD:QC=4a:2a=2:1，DQ:CP=2a:a=2:1。且∠D=∠C=90°。故由判定定理2得证。

（2）由（1）中相似，得∠DAQ=∠CQP。又∠DAQ+∠AQD=90°，等量代换得∠CQP+∠AQD=90°，故∠AQP=90°。

例3（跨学科情境）：某艺术工作室要制作一个三角形装饰框的缩小版样品。原框架三边长分别为90cm,120cm,150cm。样品中与90cm对应的边长为30cm。请问其他两边应设计为多长？这个样品与原框架相似吗？请用数学原理说明。

（引导学生运用判定定理3：三边成比例。先求相似比k=30/90=1/3，再求其他边。）

【设计意图】例题设计遵循由易到难、由单一到综合的原则。例1巩固直接应用；例2融入正方形背景和计算，综合运用判定与性质，并引出垂直证明，提升综合能力；例3链接艺术设计，体现数学的应用价值，培养学生建模意识。

环节五：课堂小结，反思升华（约5分钟）

引导学生从以下方面进行总结：

1.知识：我们学习了两个新的相似三角形判定定理，它们与之前的知识构成了完整体系。

2.方法：我们经历了“实际问题→操作猜想→逻辑证明→构建体系→应用拓展”的完整学习过程；掌握了类比、转化、构造等数学思想方法。

3.感受：数学定理源于对现实世界的抽象，其证明充满智慧，其应用广泛而有力。

六、板书设计

主板：

课题：相似三角形的判定（二）

一、判定定理2：

文字语言：两边成比例且夹角相等，两三角形相似。

符号语言：在△ABC与△A’B’C’中，

∵AB/A’B’=AC/A’C’，且∠A=∠A’，

∴△ABC∽△A’B’C’。

（关键：夹角）

二、判定定理3：

文字语言：三边成比例，两三