九年级数学（人教版）下册：27.1图形的相似教案

九年级数学（人教版）下册：27.1图形的相似教案

一、课标依据与教材分析

（一）课标依据解读

本节课内容严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于“图形的性质”与“图形的变化”领域的要求。课标明确指出，初中阶段学生应“通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；了解相似三角形的判定定理和性质定理。”本节“图形的相似”作为相似知识体系的起始课与总纲，承载着构建相似整体观念、激发探究动机、奠定逻辑基础的核心使命。其不仅是知识学习的起点，更是数学思想方法（从特殊到一般、类比、转化）和核心素养（抽象能力、几何直观、推理意识）发展的关键载体。

（二）教材地位与作用

“相似”是“全等”知识的自然发展和高级推广，是连接初等几何与高等几何（如射影几何）的桥梁，也是解决现实世界中测量、绘图、图像处理等实际问题的强大工具。在本教材体系中，本章位于“圆”之后，“锐角三角函数”之前，其比例性质与后续的三角函数有着深刻的内在联系。本节“27.1图形的相似”作为全章第一节，主要任务是建立相似图形（尤其是相似多边形）的准确定义，探究其基本性质，为后续学习相似三角形的判定与性质、位似变换等提供概念基础和理论准备。教材通过大量生活实例引入，引导学生从感性认识上升到理性定义，再通过探究活动深化对性质的理解，编排体现了“实践-认识-再实践”的认知规律。

二、学情分析

九年级下学期的学生，其思维发展正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，具备以下认知基础与潜在障碍：

认知基础：

1.知识储备：已系统掌握全等图形的概念、判定和性质，理解“形状相同、大小相等”的内涵；已熟练掌握比例的基本性质、比例线段及成比例线段的概念；具备基本的几何图形认知能力，能够识别和分析多边形的基本要素（边、角）。

2.能力基础：具备一定的观察、比较、归纳和概括能力；经历过从具体实例中抽象数学概念的学习过程（如全等）；具备初步的逻辑推理和几何证明能力。

3.经验基础：在生活中积累了大量的相似图形直观经验，如地图、照片缩放、模型等。

学习障碍与难点预判：

1.概念抽象难点：从“看起来像”的模糊直觉，精确到“对应角相等，对应边成比例”的数学定义，是一个质的飞跃。学生容易忽略定义的“双向性”（判定与性质）。

2.相似比的理解：相似比（比例系数k）的顺序性（如△ABC∽△A‘B’C‘，则k=AB/A’B‘）及其与图形大小的关系，容易混淆。

3.从全等到相似的思维跨越：全等是相似比为1的特殊情况。学生可能因全等思维的定势，难以自觉地将“相等”的关系推广到“成比例”的关系，尤其在涉及比例计算时。

4.复杂图形中对应关系的识别：在非标准位置或复杂组合图形中，准确找到相似多边形的对应顶点、对应边和对应角，是应用定义和性质的前提，也是易错点。

三、教学目标

基于学科核心素养导向，设定如下三维目标：

（一）知识与技能

1.结合具体实例，理解相似图形、相似多边形、相似比的概念，能准确表述相似多边形的定义。

2.掌握相似多边形的主要性质：对应角相等，对应边成比例。

3.能根据相似多边形的定义，识别两个多边形是否相似，并能根据已知相似比进行相关边长和角度的计算。

4.能运用相似概念解释生活中的一些现象。

（二）过程与方法

1.经历观察、操作、归纳、类比、说理等探索相似图形性质的过程，体会从特殊到一般、类比（类比全等）、数形结合的数学思想方法。

2.通过“问题情境—建立模型—解释应用”的线索展开学习，发展抽象概括能力和模型观念。

3.在小组合作探究中，提高交流协作、分析问题和解决问题的能力。

（三）情感态度与价值观

1.从现实世界丰富多彩的相似现象中感受数学的普遍性与美，激发求知欲和学习兴趣。

2.在探索活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.体会数学与生活的紧密联系，认识数学在建筑设计、艺术创作、科学技术等领域的重要应用价值。

四、教学重难点

1.教学重点：相似多边形的概念及其基本性质（对应角相等，对应边成比例）。

2.教学难点：相似多边形概念的抽象与理解；在复杂情境中准确找出相似图形的对应元素并进行计算。

（难点突破策略）

1.概念抽象突破：采用“多实例感知（照片缩放、不同尺寸国旗）—共性归纳（形状同、大小异）—要素分析（角与边的关系）—精确定义”的渐进式抽象路径，辅以几何画板动态演示，让学生亲眼见证图形缩放过程中角不变、边成比例的过程，化抽象为直观。

2.对应关系识别突破：设计“图形变式”训练，包括图形的旋转、翻转、嵌套等，教授学生通过“角定位法”（先找对应相等的角）或“边定位法”（先找成比例边的关系）来确定对应关系，并利用图形标注进行强化。

3.思维定势突破：设置对比性例题，将全等问题与相似问题并列呈现，引导学生辨析“相等”与“成比例”的区别与联系，明确相似是更广义的关系，全等是相似的特例。

五、教学理念与方法

（一）教学理念

本设计秉持“大概念教学”与“深度学习”理念，以“相似是保持形状不变的变换”为大概念统领，将本课时知识置于整个相似变换的知识网络中。强调以学生为中心，创设真实、富有挑战性的学习情境，引导学生在主动探究、合作交流、深度思考中构建知识、发展思维、提升素养。

（二）教学方法

1.情境教学法：创设“为校园设计缩放版标志物”的驱动性任务，贯穿课堂始终，使学习在真实问题解决中发生。

2.探究发现法：围绕核心概念与性质，设计层层递进的“问题串”和探究活动，让学生经历知识的再发现过程。

3.直观演示法：充分利用几何画板、动态PPT等信息技术手段，动态展示图形相似变化的过程与不变性，突破思维难点。

4.合作学习法：在关键探究环节采用小组讨论，促进思维碰撞，培养协作与表达能力。

5.讲练结合法：精讲概念与原理，辅以阶梯式、变式化的练习，及时巩固，螺旋上升。

六、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含丰富的相似图片、动画演示、例题与练习题）。

2.3.几何画板软件及预设的动态演示文件（用于展示图形缩放、验证性质）。

3.4.实物教具：不同尺寸的中国国旗或学校校旗、放大镜、两张大小不同但内容相同的个人照片。

4.5.设计并打印“相似图形探究学习单”。

6.学生准备：

1.7.复习比例的相关知识。

2.8.直尺、量角器、圆规。

3.9.分好学习小组（4-6人一组）。

七、教学过程设计（核心实施环节）

第一环节：创设情境，激趣引新（预计时间：8分钟）

活动1：感知“相似”，提出问题

1.视觉冲击：教师在大屏幕上快速播放一组图片：大小不同的中国地图、不同型号的国旗、本人不同尺寸的证件照、埃菲尔铁塔与其桌面模型、显微镜下的细胞分裂图像、放大镜下的文字。

2.对话互动：

1.3.师：同学们，这组图片给你们最强烈的共同感受是什么？

2.4.生：（预计回答）它们看起来形状一样，但大小不一样。

3.5.师：在数学中，我们把这种“形状相同，大小不一定相同”的图形关系，称为“相似”。（板书关键词：形状相同）

6.驱动任务：

1.7.师：学校准备在新校区按比例一个老校区的标志性雕塑。作为设计顾问，我们需要给施工方提供怎样的数学指令，才能确保品的形状和原雕塑一模一样，只是尺寸按需缩放呢？换句话说，如何用数学语言精确描述“形状相同”？这就是我们今天要探究的核心问题。

【设计意图】从海量生活实例快速聚焦，激活学生的已有经验，形成对“相似”的强烈直观感知。抛出真实、有挑战性的驱动任务，赋予学习以现实意义，激发学生的探究欲望，明确本节课的学习目标。

第二环节：合作探究，建构概念（预计时间：18分钟）

活动2：从“形”到“数”，定义相似多边形

1.特殊入手：教师展示两个大小不同的正方形ABCD和A'B'C'D'。

1.2.问题1：它们相似吗？（是）为什么“形状相同”？（因为都是正方形，角都是直角，边虽然长但都等长。）

2.3.问题2：能否用更精确的数学语言描述它们的关系？引导学生发现：∠A=∠A‘=90°，∠B=∠B’=90°……；且AB/A‘B’=BC/B‘C’=…=同一个常数。

4.一般探究（小组合作，完成学习单第一部分）：

1.5.教师提供两组图形：①两个大小不同的等边三角形；②教材上的两个大小不同的矩形（一组邻边比分别为3:2）。

2.6.探究任务：测量（或计算）每组图形中，两个图形的各个内角分别有怎样的数量关系？对应边（将角对齐后，顺次连接顶点的边）的长度又有怎样的数量关系？将数据记录在表格中。

3.7.学生活动：分组测量、计算、记录、讨论。

8.归纳概括：

1.9.小组汇报，教师利用几何画板同步动态验证：拖动一个图形进行缩放，软件实时显示对应角度数始终相等，对应边长比值恒定。

2.10.师生共同归纳：对于这样的两个多边形，它们的对应角相等，对应边的比相等。

3.11.教师精讲：这“两个相等”就是“形状相同”的数学密码。我们把满足这两个条件的多边形称为相似多边形。这个相等的比，称为相似比。

4.12.形成定义（板书核心定义）：

相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似比：相似多边形对应边的比称为相似比（或相似系数）。

5.13.符号引入：介绍相似符号“∽”，读作“相似于”。强调书写顺序与对应关系。

14.概念辨析：

1.15.即时判断（口答）：①所有的圆都相似吗？②所有的正方形都相似吗？③所有的矩形都相似吗？④两个菱形，对应角都相等（均为60°和120°），它们相似吗？为什么？

2.16.引导学生明确：边数相同是前提；定义中“对应角相等”和“对应边成比例”必须同时满足，缺一不可。菱形例子说明仅对应角相等不够（还需边成比例）；反之，仅边成比例（如正方形和一般矩形）也不够。

【设计意图】遵循从特殊到一般的认知规律，让学生亲身经历测量、计算、观察、归纳的完整过程，将模糊的“形状相同”转化为精确的数学语言。几何画板的动态验证使抽象的“不变性”可视化、可信化。即时辨析强化了对定义关键要点的理解，防止认知偏差。

第三环节：深化理解，剖析性质（预计时间：12分钟）

活动3：从定义出发，推导性质与判定

1.性质再认：

1.2.师：相似多边形的定义，本身就告诉了我们它的两个最基本性质是什么？

2.3.生：对应角相等；对应边成比例。

3.4.教师板书强调：这是相似多边形最重要的性质，是解决所有相似问题的出发点。

5.判定初探：

1.6.师：反过来，如果我知道两个多边形满足“对应角相等，对应边成比例”，我可以得出什么结论？

2.7.生：它们相似。

3.8.师：所以，这既是性质，也是判定它们是否相似的依据。这是我们目前判断多边形相似的最根本方法。

9.相似比深入：

1.10.教师出示例：四边形ABCD∽四边形A‘B’C‘D’，已知AB=5，A‘B’=2.5，BC=8，求B‘C’的长度和相似比。

2.11.学生求解后，教师追问：

1.3.12.问题1：相似比k=AB/A‘B’=2，这个2是相对于哪个图形来说的？（是四边形ABCD与A‘B’C‘D’的相似比，描述的是ABCD是A‘B’C‘D’的2倍大）

2.4.13.问题2：如果写成四边形A‘B’C‘D’∽四边形ABCD，相似比是多少？（1/2）

3.5.14.强调相似比的顺序性和意义：相似比k有顺序，它描述的是前一个图形与后一个图形的线性放大（k>1）或缩小（0<k<1）倍数。

15.与全等的关系：

1.16.师：当相似比k=1时，意味着什么？

2.17.生：对应边相等，再加上对应角相等，此时两个多边形全等。

3.18.师：因此，我们可以说，全等是相似的特殊情况（相似比为1的相似）。这体现了数学知识间的普遍联系。

【设计意图】引导学生理解定义的“双向性”，初步建立“性质”与“判定”的意识。通过具体计算和追问，深化对相似比这一核心参数的理解，避免机械记忆。明确相似与全等的包含关系，完善学生的知识结构。

第四环节：迁移应用，形成技能（预计时间：15分钟）

活动4：分层练习，巩固提升

练习设计遵循由易到难、由单一到综合的原则。

层次一：基础识别与简单计算（面向全体）

1.（教材例题变式）图中，两个四边形ABCD和EFGH相似，∠A=83°，∠B=78°，EF=18，FG=24，EH=20。求∠E，∠F的度数和边AB，BC的长度。

1.2.策略引导：教师示范解题规范。第一步：根据相似符号“∽”和顶点顺序，写出所有对应关系（A↔E,B↔F,C↔G,D↔H）。第二步：利用性质“对应角相等”求角。第三步：利用性质“对应边成比例”列出比例式求边。

2.3.学生活动：独立完成，一名学生板演，师生共评。

层次二：对应关系辨析（突破难点）

2.如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点。请问：四边形EFGH与矩形ABCD相似吗？四边形EFGH与四边形ABCD的对应关系是怎样的？请说明理由。

*小组讨论：重点讨论如何确定对应点。引导学生发现，由于中点四边形是菱形，其内角并不等于矩形的直角，因此不满足“对应角相等”，故不相似。此练习强化“两个条件必须同时满足”。

层次三：综合应用与逆向思维

3.（驱动任务分解）校园雕塑的底座是一个五边形。原雕塑底座的五边形边长依次为2m,3m,4m,3m,2m，各内角分别为120°,135°,100°,135°,120°。新校区要求制作一个相似比为0.6的缩小版。请你为新雕塑底座的五边形提供一份精确的尺寸数据规格书。

*学生活动：独立完成。此题综合考查了相似比的应用（计算边长）和相似性质的理解（对应角相等，直接写出角度）。教师巡视，关注学生是否理解“相似比k=0.6”是指新图形与原图形的比。

层次四：拓展思考（学有余力）

4.思考题：小明说：“有一个四边形的广场和一个六边形的花坛，它们不可能相似。”小红说：“所有的正五边形都相似。”你认为他们的说法正确吗？请给出理由。

*意图：深化对“边数相同”前提的理解，并自然引出“正多边形都是相似的”这一重要结论，为后续学习做铺垫。

【设计意图】通过分层递进的练习，使不同层次的学生都能得到有效训练。基础题巩固概念和基本技能；辨析题针对教学难点，深化理解；综合应用题回扣初始情境，体现学以致用；拓展思考题激发深度思维，照顾学生差异性。教师的策略引导和规范示范至关重要。

第五环节：反思总结，体系内化（预计时间：5分钟）

活动5：梳理提炼，构建网络

1.知识树建构：教师引导学生共同回顾，利用思维导图或提纲形式板书总结本节课的核心内容。

1.2.核心概念：相似图形→相似多边形（定义：对应角相等，对应边成比例）→相似比（k，顺序性）。

2.3.核心性质/判定：对应角相等；对应边成比例。

3.4.重要关系：全等是相似的特例（k=1）。

4.5.思想方法：从特殊到一般、类比、数形结合。

6.自我评价：教师提供几个反思性问题，让学生在心里或小组内简单交流：

1.7.我能否清晰地说出相似多边形的定义？

2.8.我能否准确找出两个相似多边形的对应元素？

3.9.我理解相似比的意义和顺序了吗？

4.10.我能否用今天所学的知识解释或解决一两个实际问题？

11.教师寄语：今天，我们找到了描述“形状相同”的数学密码，打开了“相似世界”的大门。在这个世界里，图形可以自由缩放而保持本质不变，这本身就是一种数学之美。下节课，我们将走进这个世界的核心区域——相似三角形，那里有更多简洁而强大的工具等待我们去发现。

【设计意图】系统化的总结帮助学生将零散的知识点串联成线、组织成网，形成稳定的认知结构。自我评价环节促进学生元认知能力的发展。富有激励性的结语承上启下，保持学习热情。

第六环节：分层作业，拓展延伸（预计时间：2分钟）

1.基础性作业（必做）：人教版教材本节后配套练习1、2、3、5题。要求书写规范，注明对应关系。

2.实践性作业（必做）：在家中或校园里，寻找至少3组相似图形的实物例子，用手机拍照，并尝试用数学语言（如：这两个图形相似，因为…）简要说明。

3.探究性作业（选做）：

1.4.（1）利用网络或资料，了解“黄金矩形”与相似的关系，写一段200字左右的简介。

2.5.（2）思考：两个五边形，已知它们的四个内角分别对应相等，且这两组对应边成比例，它们一定相似吗？为什么？（此为下节课判定定理的伏笔）

【设计意图】作业设计体现分层与多元。基础作业巩固课堂所学；实践作业联通数学与生活，培养应用意识；探究作业满足学有余力学生的需求，或为后续学习埋下伏笔，体现教学的连贯性。

八、板书设计

主板书（左侧）：

27.1图形的相似

一、相似多边形定义

1.条件：

1.2.边数相同

2.3.对应