人教版九年级数学下册《平面直角坐标系中的位似（第2课时）》教学设计

人教版九年级数学下册《平面直角坐标系中的位似（第2课时）》教学设计

一、课程基本信息

1.学科：数学

2.学段与年级：初中九年级

3.教材版本：人教版（下册）

4.课题名称：27.3位似（第二课时）——平面直角坐标系中的位似变换

5.课时安排：1课时（45分钟）

6.课型：新授课

二、内容解析与前沿理念渗透

本节内容隶属于《图形的相似》章节，是在学生已经掌握了相似多边形的判定与性质、位似图形的概念以及平面直角坐标系基础知识之上，进一步探究位似变换在坐标系中的数学表达与规律。这不仅是“形”的直观感知到“数”的精确刻画的深化，更是沟通几何变换与代数坐标的桥梁，体现了数学内部数形结合思想的高度统一。

从学科前沿与课程改革（如《义务教育数学课程标准（2022年版）》）视角审视，本课承载着多重核心素养的培养使命：

1.几何直观与空间观念：通过坐标系将位似图形“锚定”，使抽象的位似中心、相似比等概念获得精确的坐标定位和向量解释，提升学生的空间想象与几何构图能力。

2.数学抽象与模型思想：引导学生从具体实例中抽象出平面直角坐标系中位似变换的坐标规律，建立“以坐标表示位似变换”的数学模型，这是从具体操作到形式化表达的飞跃。

3.推理能力与运算素养：推导并应用位似变换的坐标计算公式，进行严谨的代数推理和坐标运算，在“形”的变换中锤炼“数”的思维。

4.应用意识与跨学科视野：位似变换是计算机图形学、地理信息系统（GIS）、工程制图、数码影像处理（缩放）等领域的数学基础。教学设计应渗透这种应用背景，展现数学的工具性价值，实现学科融合的视野拓展。

因此，本课的教学设计不应局限于坐标规律的记忆与应用，而应致力于构建一个从直观感知到数学建模，再到应用迁移的深度学习过程，体现数学知识的发生、发展与应用逻辑。

三、学情分析

认知基础：

1.知识层面：学生已熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标表示；掌握了相似多边形及位似图形的定义与基本性质（对应点连线交于一点、对应边平行、对应边成比例）；明确了位似中心与位似比的概念。

2.能力层面：具备一定的观察、归纳能力，能够进行简单的坐标运算和代数式推导。

认知障碍与增长点预测：

1.障碍一：从“图形”层面的位似关系到“坐标”层面的数量关系的抽象过程可能存在困难。学生可能能画出位似图形，但难以自主发现坐标之间的倍数关系。

2.障碍二：对位似中心在原点和不在原点两种情况的理解与统一。学生容易掌握位似中心在原点的特例，但当位似中心为任意点时，坐标公式的推导与应用可能成为难点。

3.增长点：通过本课学习，学生将实现从“用尺规作位似图形”到“用坐标计算确定位似图形”的思维跃升，深刻体会“数缺形时少直观，形少数时难入微”的哲理，为后续学习更复杂的几何变换（如旋转、仿射变换）奠定基础。

四、学习目标与核心素养细化

基于以上分析，制定如下三维学习目标：

1.知识与技能：

1.探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律。

2.理解并能推导出以任意点为位似中心的位似图形的坐标变换一般公式。

3.能熟练运用坐标规律，在坐标系中作出已知图形的位似图形，或根据坐标变化判断是否为位似变换并求出位似比和位似中心。

2.过程与方法：

1.经历“特殊（原点为中心）→一般（任意点为中心）”的探究过程，学习从具体到抽象、从特殊到一般的数学研究方法。

2.通过观察、猜想、验证、推理、应用等一系列数学活动，发展归纳概括能力和逻辑推理能力。

3.在利用坐标规律作图与解决问题的过程中，强化数形结合思想的应用。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究坐标规律的过程中，体验数学发现与创造的乐趣，培养勇于探索的科学精神。

2.通过了解位似变换在科技、艺术等领域的应用，感受数学的广泛应用价值，增强学习数学的兴趣和动力。

3.在小组合作探究中，学会倾听、表达与协作，形成严谨求实的科学态度。

核心素养对应点：

1.抽象能力：从图形位似中抽象出坐标间的函数关系（线性关系）。

2.几何直观：在坐标系中直观想象位似图形的位置与形状。

3.推理意识：对坐标变化规律进行合情推理与演绎证明。

4.模型观念：建立“位似变换坐标模型”。

5.应用意识：运用模型解决实际情境与跨学科问题。

五、教学重难点

1.教学重点：平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律。

2.教学难点：

1.3.理解并以数学语言（公式）表达以任意点为位似中心的位似变换坐标规律。

2.4.灵活运用位似变换的坐标规律解决综合性问题，尤其是涉及位似中心不在原点时的逆向思维问题。

六、教学策略与方法

1.主导策略：采用“情境-问题”驱动模式与“探究-发现”学习模式相结合。

2.主要方法：

1.3.启发式讲授法：在关键环节进行点拨、引导和总结。

2.4.探究发现法：组织学生通过GeoGebra动态数学软件或坐标计算，自主探索坐标规律。

3.5.合作学习法：针对难点问题，开展小组讨论与合作探究。

4.6.变式训练法：通过多层次、多角度的例题与练习，促进知识的内化与迁移。

7.技术融合：深度融合GeoGebra动态几何软件，实现位似变换的动态可视化演示、参数即时调整、轨迹追踪等功能，将抽象的数学关系直观、生动地呈现，突破教学难点。

七、教学准备

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（PPT）、GeoGebra互动课件（包含可拖动的位似中心、可调节的位似比k、预设的图形等）、分层导学案、实物投影仪。

2.学生准备：复习位似图形的定义与性质，直尺，坐标纸，导学案。

八、教学过程设计与实施（核心环节，详案）

（一）创设情境，温故引新（预计时间：5分钟）

1.情境导入：

教师播放一段简短的视频或展示一组图片：地图的缩放、电影放映机将胶片影像投射到银幕、建筑设计图纸与实际建筑模型的对比、手机照片的放大与缩小预览。

师生活动：教师提问：“这些生活中的现象，背后蕴含着哪一种共同的图形变换？”

学生回答：相似变换、放大缩小……教师引导指出其精确数学本质——位似变换。

2.回顾旧知：

教师在课件上展示一个△ABC及其以点O为位似中心，位似比为2的放大图形△A‘B’C‘（静态图）。

问题链：

1.(1)什么是位似图形？它有哪些核心性质？

2.(2)图中，对应点A与A‘、B与B’、C与C‘的连线有什么特征？

3.(3)如何用尺规作图作出这个△A‘B’C‘？

设计意图：快速激活学生已有的位似图形认知，为坐标化研究做好铺垫。强调“对应点连线经过同一点（位似中心）”这一核心性质，这是坐标化联系的几何基础。

3.提出新问题，明确任务：

教师陈述：“过去，我们主要在‘形’的层面研究位似，用尺规来作图。现在，我们有了一个强大的工具——平面直角坐标系。能否将图形‘请进’坐标系，用‘数’（坐标）来精确地描述和操控位似变换呢？这就是我们今天要攻克的核心课题。”

板书课题：平面直角坐标系中的位似变换

（二）合作探究，构建模型（预计时间：18分钟）

本环节是突破重点、化解难点的核心阶段，采用“特殊到一般”的探究路径。

探究活动一：特例寻踪——位似中心在原点O

步骤1：初步感知

教师在GeoGebra中预设：在坐标系中显示点A(2,1)，设定位似中心为原点O(0,0)，创建滑动条k（范围-5到5）。动态展示当k变化时，对应点A‘的实时位置（A’=k*A，即坐标为(2k,k)）。让学生观察A与A‘坐标的关系。

问题：当k=2，k=0.5，k=-1时，点A‘的坐标分别是多少？与点A的坐标有何数量关系？

学生活动：观察、口算、回答。初步感知坐标同乘一个常数k的关系。

步骤2：深度探究（小组合作）

任务：在导学案上，给定△ABC三个顶点坐标：A(2,1)，B(4,3)，C(1,4)。请以原点O为位似中心：

1.(1)作出位似比为2的放大图形△A‘B’C‘，并测量（或计算）其顶点坐标。

2.(2)作出位似比为0.5的缩小图形△A“B”C“，并测量（或计算）其顶点坐标。

3.(3)作出位似比为-1的图形△A“‘B’”C“‘，并观察其位置特点。

工具：学生可使用坐标纸绘图，或利用教师分发的GeoGebra文件进行动态验证。

教师巡视：指导小组活动，关注学生是否发现了坐标的倍数关系，以及对于k为负值时图形位置（位于位似中心异侧）的理解。

步骤3：归纳猜想

各小组汇报探究结果，教师利用实物投影或屏幕共享展示典型结果。

师生共同归纳：

1.当位似中心为原点时，原图形上点P(x,y)，其对应点P’的坐标为(kx,ky)。

2.当k>0时，位似图形在位似中心同侧；当k<0时，位似图形在位似中心异侧。

板书：规律一（原点中心）：P(x,y)——(位似比k，中心O)→P'(kx,ky)

探究活动二：一般化推广——位似中心在任意点P₀(a,b)

步骤1：提出挑战

教师：“刚才我们发现了以原点为位似中心的‘美丽规律’。但如果位似中心不是原点，而是坐标系中任意一点，例如P₀(2,1)，这个规律还成立吗？请观察。”

在GeoGebra中，将位似中心从原点拖至P₀(2,1)，保持点A(4,3)和滑动条k，观察点A‘的运动轨迹。学生直观发现，A’的坐标不再是简单的(4k,3k)。

步骤2：启发转化（关键思维台阶）

教师引导：“面对一个复杂的新问题，我们常用的策略是‘化归’——转化为已经解决的旧问题。现在，位似中心P₀不是原点，导致坐标关系复杂。我们能否通过某种‘平移’，让P₀暂时变成‘新世界’的原点呢？”

动态演示：在GeoGebra中，除了显示原坐标系xOy，再叠加一个以P₀为原点的新坐标系x‘O’y‘（虚拟或显式画出）。将点A在新坐标系下的坐标记为(x’,y‘)。教师引导学生思考：x’与x、a有何关系？(x‘=x-a,y’=y-b)。

推理：在新坐标系x‘O’y‘中，位似中心就是原点O’。根据规律一，点A在新系中的对应点A‘’的坐标应为(kx‘,ky’)。

逆向平移：最后，将点A‘’从新坐标系x‘O’y‘“搬回”原坐标系xOy。坐标变换为：x_A‘’=kx‘+a,y_A‘’=ky‘+b。

步骤3：推导公式

师生共同完成符号化推导过程：

设原图上点P(x,y)，位似中心P₀(a,b)，位似比为k，对应点为P‘(x’,y‘)。

1.平移：将P₀视为新原点，则P在新系中坐标为(x-a,y-b)。

2.位似：在新系中按规律一位似，得到对应点坐标为(k(x-a),k(y-b))。

3.反平移：将该点坐标还原回原系：x‘=k(x-a)+a；y’=k(y-b)+b。

板书：一般规律：P(x,y)——(位似比k，中心P₀(a,b))→P'(k(x-a)+a,k(y-b)+b)

步骤4：验证与理解

让学生利用此公式，计算探究活动一中，若以点(2,1)为位似中心，k=2时，点A(4,3)的对应点坐标。并与GeoGebra动态演示结果比对，验证公式的正确性。

深化理解：教师引导学生分析公式结构。可以将其改写为：x‘-a=k(x-a)；y’-b=k(y-b)。这揭示了位似变换更本质的坐标特征：对应点与位似中心连线的向量成比例（比例为k）。这完美地印证了位似图形的几何定义。

（三）典例精析，深化理解（预计时间：12分钟）

本环节旨在通过层次分明的例题，促进学生对新知的内化，培养灵活应用能力。

例1：基础应用——正向作图

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,4),B(4,0),C(3,2)。

(1)以原点O为位似中心，位似比为0.5，画出四边形OABC的位似图形（同侧）。

(2)以点P(1,-1)为位似中心，位似比为2，画出四边形OABC的位似图形（异侧，即k=-2）。

教学处理：

1.对于(1)，让学生直接应用规律一，口算或快速计算出各对应点坐标，并强调规范作图。

2.对于(2)，这是难点应用。教师引导学生运用一般公式，以小组为单位完成计算。选一名学生板演C点坐标的计算过程：C(3,2)，P(1,-1)，k=-2。则C‘坐标：x’=-2*(3-1)+1=-3；y‘=-2*(2-(-1))+(-1)=-7。即C’(-3,-7)。教师巡视指导，纠正计算错误，强调步骤。

3.设计意图：巩固两种情况的坐标公式应用，特别是对一般公式的实操训练。通过异侧位似（k<0）加深对位似比符号意义的理解。

例2：逆向思维——识别与求解

已知△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,4)。△A‘B’C‘的顶点坐标分别为A’(4,5)，B‘(8,3)，C’(6,9)。判断△ABC与△A‘B’C‘是否位似。若是，求出位似中心和位似比。

教学处理：

1.这是教学难点。引导学生思考：如何判断？关键是寻找一个点P(a,b)和一个常数k，使得对所有顶点都满足：x‘-a=k(x-a)且y’-b=k(y-b)。

2.策略引导：可以先利用一对对应点（如A和A‘）来假设k和a,b的关系，再用另外的点去验证和求解。或者，利用“对应点连线经过位似中心”的几何性质，在图中连接AA’、BB‘，求其直线方程，交点即为位似中心候选，再验证CC’是否也过该点，并计算k。

3.教师展示代数解法（更普适）：由A和A‘，有：4-a=k(1-a)…①；5-b=k(2-b)…②。由B和B‘，有：8-a=k(3-a)…③；3-b=k(1-b)…④。

4.用①③联立可解出a,k；用②④联立可解出b,k。验证解的一致性。解得：a=0,b=-1,k=2。

5.验证C(2,4)和C‘(6,9)是否满足公式：6-0=2*(2-0)成立，9-(-1)=2*(4-(-1))成立。故是位似，位似中心为(0,-1)，位似比为2。

6.设计意图：提升思维层次，训练学生逆向运用模型解决问题的能力。展示代数方法的威力，体现坐标法的优越性。

（四）变式演练，巩固提升（预计时间：6分钟）

课堂练习（分层设计，学生可选做）

A组（基础巩固）：

1.点P(3,-2)以原点为位似中心，位似比为-0.5的对应点P‘坐标是______。

2.将△ABC各顶点横纵坐标都乘以-2，得到的△A‘B’C‘与△ABC关于______位似，位似比为______。

B组（能力提升）：

3.已知线段AB两端点坐标为A(-1,2)，B(2,1)。以点C(1,1)为位似中心，将AB放大为原来的2倍得到线段A‘B’。求A‘、B’的坐标。

4.若△ABC与△DEF是以点M为位似中心的位似图形，且A(0,3)对应D(0,6)，B(-1,0)对应E(-2,0)。求位似中心M的坐标。

C组（拓展思考）：

5.（跨学科联系）在计算机图形学中，对一个由顶点坐标定义的图形进行缩放并平移，其变换矩阵为[k,0,tx;0,k,ty]

。试说明，当(tx,ty)取何值时，该变换等价于一个以非原点为中心的位似变换？其位似中心和位似比分别是什么？

教学处理：学生独立或小组讨论完成。教师快速巡视，收集反馈。重点讲评B组第4题（逆向求中心）和C组题（建立与信息技术学科的联系）。C组题作为弹性内容，供学有余力学生思考，教师可略作提示：比较矩阵变换公式x’=k*x+tx,y‘=k*y+ty

与我们的位似一般公式。

（五）课堂小结，体系构建（预计时间：3分钟）

师生活动：教师引导学生从知识、方法、思想三个维度进行总结。

1.知识层面：我们学习了平面直角坐标系中位似变换的坐标规律。特例（中心在原点）：P(x,y)→P‘(kx,ky)。一般（中心在任意点(a,b)）：P(x,y)→P’(k(x-a)+a,k(y-b)+b)。其本质是向量关系：P₀P’=k*P₀P

。

2.方法层面：我们运用了“从特殊到一般”的探究路径，以及通过“坐标平移”实现“化归转化”的策略。

3.思想层面：本节课是“数形结合”思想的典范——用坐标（数）精确刻画位似（形）；也是“模型思想”的体现——建立了位似变换的坐标模型。

4.应用联系：位似变换的坐标模型是计算机图像缩放、地图绘制等技术的数学核心。

教师寄语：“今天，我们用坐标这把钥匙，打开了精确描述位似变换的大门。这不仅是一个公式的获得，更是一种用数学语言刻画图形世界能力的提升。希望同学们能带着这种‘数形互通’的眼光，去发现和解决更多问题。”

（六）分层作业布置（预计时间：1分钟）

1.必做题：教材对应练习题；导学案基础达标部分。

2.选做题：

1.3.设计一个图案，在坐标系中给出其关键点坐标，然后选择不同的位似中心和位似比，创造出该图案的一组“家族”系列图。

2.4.调研或构思一个位似变换在现实生活或其他学科（如物理、美术、计算机）中应用的具体案例，并尝试用本节课的知识进行简要分析。

5.实践探究（小组长选做）：利用GeoGebra等软件，创建一个交互式课件，允许用户自由设定位似中心、位似比和原始