北师大版新教材八下数学第一章 三角形的证明及其应用测试卷

八年级下册数学单元自测第一章三角形的证明及其应用·能力提升一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．等腰三角形有一个角是，则它的底角是（）A． B． C． D．2．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（

）．A． B． C． D．3．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（

）A．2 B．4 C．6 D．84．下列不能判定是直角三角形的是（

）A．B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足C．D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足5．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（

）A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米7．某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（

）A．增大 B．减小 C．增大 D．减小8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（

）A． B． C． D．9．如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形10．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（

）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为．12．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为．13．如图，已知，，，则的度数为．14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为度．15．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为．16．如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是．解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图所示，已知中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．(1)试判断是什么三角形？并说明理由；(2)若，求的长．18．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E．(1)求的长；(2)求的面积．19．如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数．20．如图，于点，于点，，．(1)求证：；(2)已知，，求的长．21．如图，在边长为的等边中，点P，Q分别是边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，在点P，Q运动的过程中．(1)求证：．(2)连接，当点P，Q运动______秒时，是直角三角形．22．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点．【特例感知】（1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形；②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值；【推广应用】（2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度．23．综合与探究【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线．【应用】(1)若，则；若，则；(2)求与之间的关系并证明；【拓展】(3)如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系．24．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．(1)若，，则______°，_____°；(2)求证：；(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．25．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）．【类比解答】如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________．【拓展延伸】如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________．八年级下册数学单元自测第一章三角形的证明及其应用·能力提升（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABCDBDDBBC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．两个锐角互余的三角形是直角三角形12．13．/37度14．15．16．或或三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，又∵，∴，∴是直角三角形；3分（2）解：∵，，∴，∴，又∵，∴，∴．6分18．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴；2分（2）解：过点E作于点F，如图所示：由作图可得是的角平分线，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，∴．6分19．【详解】（1）证明：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；3分（2）∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．6分20．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴；3分（2）解：在和中，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．6分21．【详解】（1）证明：依题意得：，是等边三角形，，，在和中，，；4分（2）解：设点P，Q运动的时间为t秒，，为等边三角形，且边长为，，，，当是直角三角形时，有以下两种情况，①当时，如图1所示：在中，，，，解得：，即当点P，Q运动秒时，，此时是直角三角形；②当时，如图2所示：在中，，，，解得：，即当点P，Q运动秒时，，此时是直角三角形，综上所述：当点P，Q运动秒或秒时，是直角三角形．故答案为：或8分22．【详解】解：（1）①等腰直角三角形是勾股高三角形．设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为，，等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；2分②∵为勾股高三角形，点为勾股顶点，，4分（2）如图，过点作，垂足为点．∵等腰三角形为勾股高三角形，且，∴只能是，由（1）②知．又，，而，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，根据三线合一原理可知．又，8分23．【详解】（1）解：若，∵分别是和的平分线，，，∴，∴．若，∵分别是和的平分线，∴，，∴，∵，∴，故答案为：；；2分（2）解：；理由如下：∵分别是和的平分线，∴，，∴；5分（3）解：．如图，延长，交于点E，由（2）知，，∵，∴，∴，∴，即．8分24．【详解】（1）解：，，，平分，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，，即，．答：，．4分（2）证明：设，则．，，，平分，平分，，，，，，，即，，．8分（3）解：设，则，．,可分类讨论：①当时，，解得，；②当时，，解得，③当时，，解得，;④当时，，解得，