24 第17章 小结-第17章 小结-课件

国家中小学课程资源年 级：八年级学科：数学（人教版）主讲人：李 娜学校：湖北省武汉市一初学苑学校第十七章 因式分解小结国家中小学课程资源整式的乘法特殊形式因式分解相反变形因式分解公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2＝(a±b)2提公因式法公式法乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2相反变形问题

1 请尝试用框图的形式来设计本章知识结构图．知识回顾国家中小学课程资源问题

2 请举例说明因式分解与整式乘法之间的关系．相反变形把几个整式相乘，得到一个新的整式.y(x＋2)(x－2)＝x2y－4y整式乘法因式分解因式分解是进行整式恒等变形的重要工具，也是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式．x2y－4y＝y(x＋2)(x－2)国家中小学课程资源问题

3 请谈一谈因式分解的方法和一般步骤.提公因式法因式分解公式法国家中小学课程资源因式分解的步骤分析结构特点，选择合适方法2.

对既有公因式又符合公式形式的多项式，要先提公因式再用公式法进行分解；1.

分析多项式的结构特点，选择合适的因式分解方法（提公因式法或公式法）；3.

做完题目后仔细检查，要分解到每一个多项式都不能再分解为止，特别关注符号和是否漏项，可以通过整式的乘法进行验证．先提公因式，再用公式法检查分解是否彻底等问题国家中小学课程资源例

1 分解因式：（1）(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2；（2）3ax2－3ay2；（3）4xy2－4x2y－y3；例题精讲国家中小学课程资源例

1 分解因式：（1）(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2；(m＋n)2－2·(m＋n)·2m＋(2m)2是一个完全平方式．将

m＋n

看作一个整体．国家中小学课程资源例

1 分解因式：（1）(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2；

解：（1）(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2＝(m＋n－2m)2＝(n－m)2；将

m＋n

看作一个整体．国家中小学课程资源例

1 分解因式：（2）3ax2－3ay2；解：（2）3ax2－3ay2＝3a(x2－y2)先提公因式．＝3a(x＋y)(x－y)；

再运用平方差公式．国家中小学课程资源例

1 分解因式：（3）4xy2－4x2y－y3；＝y(4xy－4x2－y2)加括号改变平方项符号．国家中小学课程资源例

1 分解因式：（3）4xy2－4x2y－y3；解：（3）4xy2－4x2y－y3＝－y(－4xy＋4x2＋y2)＝－y(2x－y)2.提公因式－y

之后，括号里面每一项都要变号．国家中小学课程资源例

2 求证：当

n

是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是

8

的倍数．(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n．因为

n

是整数，所以

8n

是

8

的倍数．方法

1：（利用因式分解运算）把2n＋1和

2n－1分别看成一个整体．国家中小学课程资源例

2 求证：当

n

是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是

8

的倍数．(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－(4n2－4n＋1)＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n．因为

n

是整数，所以

8n

是

8

的倍数．方法

2：（利用整式乘法运算）因式分解和整式乘法都是代数式的恒等变形，结合题目特征合理选择方法.国家中小学课程资源问题

4 阅读下面的分解因式的过程，回答问题：p2－1＋q2＋2pq＝(p2＋2pq＋q2)－1＝(p＋q)2－1＝(p＋q＋1)(p＋q－1)．利用上述分解因式的方法证明：如果

a，b，c

是△ABC

的三条边长，那么

a2－b2＋c2－2ac＜0．拓展提升国家中小学课程资源＝(p＋q＋1)(p＋q－1)．p2－1＋q2＋2pq

＝(p2＋2pq＋q2)－1＝(p＋q)2－12符合平方差公式的结构特征．追问

1 观察问题中的分解因式过程，这个多项式有什么特点？它是如何进行因式分解的？符合完全平方公式的结构特征．交换单项式的位置国家中小学课程资源＝(a－c＋b)(a－c－b)＝(a＋b－c)(a－b－c)．a2－b2＋c2－2ac＝(a2－2ac＋c2)－b2＝(a－c)2－b2追问

2 观察多项式

a2－b2＋c2－2ac，它有什么特点？你能类比前面的例子对其进行因式分解吗？符合完全平方公式的结构特征．符合平方差公式的结构特征．交换单项式的位置国家中小学课程资源＋c2－2ac＜0

吗？a2－b2＋c2－2ac＝(a2－2ac＋c2)－b2＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)＝(a＋b－c)(a－b－c)．a＋b－c＞0追问

3 如果

a，b，c

是△ABC

的三条边长，它们满足什么关系？根据刚才的分解因式结果，你能证明

a2－b2两边之和大于第三边两边之差小于第三边(a＋b－c)(a－b－c)＜0a－b－c＜0国家中小学课程资源求证：如果a，b，c

是△ABC

的三条边长，那么a2－b2＋c2－2ac＜0．证明：a2－b2＋c2－2ac∴(a＋b－c)(a－b－c)＜0，即

a2－b2＋c2－2ac＜0．＝(a＋b－c)(a－b－c)．∵

a，b，c

是△ABC

的三条边长，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，a＋b－c＞0，a－b－c＜0，＝(a2－2ac＋c2)－b2＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)前三项符合完全平方公式的结构特征.符合平方差公式的结构特征.运用三角形三边关系，判断代数式的正负性．国家中小学课程资源1.

分解因式：（1）1－36b2；（3）0.49p2－144；（2）12x2－3y2；（4）(2x＋y)2－(x＋2y)2．课堂练习国家中小学课程资源解：（1）1－36b2＝12－(6b)2＝(1＋6b)(1－6b)；（2）12x2－3y2＝3(4x2－y2)＝3(2x＋y)(2x－y)；（3）0.49p2－144＝(0.7p)2－122＝(0.7p＋12)(0.7p－12)；（4）(2x＋y)2－(x＋2y)2＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)＝(3x＋3y)(x－y)＝3(x＋y)(x－y)．国家中小学课程资源2.

利用因式分解计算：（1）21×3.14＋62×3.14＋17×3.14；（2）7582－2582．解：（1）

21×3.14＋62×3.14＋17×3.14