2025-2026学年人教A版数学选择性必修三单元测试 第6章 计数原理 单元测试（含解析）

第六章计数原理(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C33+CA.C54 B.C.C63 D2.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A.24个 B.30个 C.40个 D.60个3.如图,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320 B.160 C.96 D.604.关于(a-b)10的说法错误的是()A.展开式中的二项式系数之和为1024B.展开式中第6项的二项式系数最大C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小5.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有()A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种6.在ax3-1xA.12 B.2C.3 D.47.若x+axA.-40 B.-20 C.20 D.408.若自然数n使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“可连数”.例如:32是“可连数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于1000的“可连数”的个数为()A.27 B.36 C.39 D.48二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排照相,下列说法正确的是()A.如果甲、乙必须相邻,那么不同的排法有24种B.甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种C.甲、乙不相邻且乙在甲的右边,则不同的排法共有36种D.若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺序,则不同的排法共有42种10.若(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021(x∈R),则()A.a0=1 B.a1+a3+a5+…+a2021=3C.a0+a2+a4+…+a2020=32D.a12+a2211.定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”,一个8阶“杨辉三角”如图所示.给出的下列说法中正确的是()A.记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij,则数列{aij}的通项公式为aij=CB.第k行各个数的和是2kC.n阶“杨辉三角”中共有n(D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n-1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.12.(2024·全国新高考卷Ⅱ,14)在下图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格的4个数之和的最大值是.

1121314012223342132233431524344413.因垃圾分类工作需要,M,N两个社区需要招募义务宣传员,现有A,B,C,D,E,F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加,现将他们分成两个小组,分别派往M,N两个社区开展垃圾分类宣传工作,要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生,且B由于工作原因只能派往M社区,则不同的选派方案种数为.

14.化简:Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cn四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目,要求排出一个节目单.(1)2个相声节目要排在一起,有多少种不同的排法?(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,有多少种不同的排法?(3)前3个节目中要有相声节目,有多少种不同的排法?16.(15分)从7名男生和5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法数.(1)A,B必须被选出;(2)至少有2名女生被选出;(3)让选出的5人分别担任体育委员、文艺委员等5个不同职务,但体育委员由男生担任,文艺委员由女生担任.17.(15分)给出下列条件:①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7∶2;②所有偶数项的二项式系数的和为256;③若展开式前三项的二项式系数的和等于46.试在上面三个条件中选择一个补充在下面的横线上,并回答问题:在x-2xn(1)求x-(2)求(1-2x)n展开式中系数绝对值最大的项.(备注:如果多个条件分别解答,按第一个条件计分)18.(17分)已知3x+(1)求各奇数项系数之和;(2)求3x+1yn(2x+y)19.(17分)若某一等差数列{an}的首项为C5n11-2n-A11-3n第六章计数原理(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.DC33+C2.A将符合条件的偶数分为两类:第1类,2作个位数,共有A42个;第2类,4作个位数,有A因此,根据分类加法计数原理,符合条件的偶数共有A42+A3.A根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,因此不同涂色方法有5×4×4×4=320种.4.C由二项式系数的性质知,二项式系数之和为210=1024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D正确,因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的.5.B先将5名志愿者排好,有A55种排法,2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中,先将2位老人排好,有A22种排法,再把它作为一个元素插入空隙中,因此不同排法共有4A55A26.Cax3-1x7展开式的通项为Tk+1=C7k·(ax3)7-k·-1xk=令21-7k2=0,∴∴常数项为(-1)6·a1·C76=7∴a=3.故选C.7.D由题意,令x=1得展开式各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2,解得a=1.因为2x-1x5展开式的通项为Tk+1=C5k(-1)k×25-k所以x+1x2x-1x5展开式中的常数项为x×C53×(-1)3×22×x-1+1x×C52×(8.D根据题意,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取;十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有C31=3当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有C31C3当“可连数”为三位数时,有C31C4故共有3+9+36=48个.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BCD根据题意,依次分析选项:对于选项A,将甲、乙看成一个整体,与丙、丁、戊全排列,有A22A44=48种不同的排法对于选项B,若甲站在正中间,乙有4种站法,剩下3人全排列,有4×A33=24种排法,若甲不站在正中间,甲有3种站法,乙有3种站法,剩下3人全排列,有3×3×A33=54种排法,则有24+54=78种不同的站法,对于选项C,将丙、丁、戊三人排成一排,再将甲、乙安排在三人的空位中,有A33A42=72种排法,其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同,则有12×72=36对于选项D,若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,第一个人有6种插法,第二个人有7种插法,则有6×7=42种不同的安排方法,选项D正确.故选BCD.10.ACD当x=0时,a0=1,A正确;当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2021=-1,①当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2021=32021,②由①+②,可得a0+a2+…+a2020=32021由①-②,可得a1+a3+…+a2021=-1-3令x=12,可得a0+a12+a222+a323+…+故选ACD.11.BCD第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数,则数列{aij}的通项公式为aij=Cij-1,故A错误;各行的所有数的和是各二项式系数和,第k行各个数的和是2k,故B正确;第k行共有(k+1)个数,从而n阶“杨辉三角”共有1+2+…+n=n(n+1)2个数,故C正确;“杨辉三角”的所有数的和是1+2+22+…+2n-1=2n-三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.12.24112因为每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有4×3×2×1=24种选法.4个数之和最大的选法为最后一列选43,逐列递选,最大值为43+33+21+15=112.13.60由题意,分两步进行分析:第1步,将甲、乙、丙三位党员教师分成2组,分配到M,N两个社区,有C32A2第2步,B由于工作原因只能派往M社区,在剩余5人中选出2人,与B一起安排在M社区,剩下的3人安排到N社区,有C52=10根据分步乘法计数原理,共有6×10=60种选派方案.14.10n-1(32+1)n=Cn0·(32)n-0·10+Cn1·(32)n-1·11+…+Cnn-1·(32)1·1n-1+Cn则Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-1·32+1所以Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)把2个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有A44A2(2)选2个唱歌节目排在首尾,剩下的3个节目在中间的排法共有A32A3(3)5个节目全排列减去后两个都是相声的排法,共有A55-A33A216解(1)除A,B被选出外,从其他10个人中再选3人,共有选法数为C103=(2)按女生的选取情况分四类:第1类,选2名女生3名男生;第2类,选3名女生2名男生;第3类,选4名女生1名男生;第4类,选5名女生.根据分类加法计数原理,所有选法数为C52C(3)先选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文艺委员,剩下的从10人中任选3人担任其他3个职务.由分步乘法计数原理可得到所有选法数为C71C5117.解:选择①:Cn4∶C解得n=9或n=-4(舍去).选择②:Cn1+C即2n-1=256,解得n=9.选择③:Cn0即n(n-1即n2+n-90=0,即(n+10)(n-9)=0,解得n=9或n=-10(舍去).(1)展开式通项为Tk+1=C9k(x)9-k·-2xk令9-3k2=0,解得k=3,因此展开式中常数项为第4项,常数项为T4=C93×((2)设第(k+1)项的系数绝对值最大,则满足C解得173≤k≤20又k为整数,所以k=6,则系数的绝对值最大项为T7=C96×(-2x)6=5376x18.解(1)∵3x+1yn的展开式中各项的系数之和为4∴n=5,则3x+1y5=C50(3x)51y0+C51(3x)41y1+C5∴各奇数项系数之和为C50·35+C52·33+C5(2)由(1)知3x+1y=3x+1y=3x+1y5(4x23x+1y5的展开式的通项为Tk+1=C5k(3x)5-k·1yk=3则3x+1yn(2x+y)当k=0时,4×35×C50×x7=972x当k=1时,4×34×C51×x5=1620x当k=2时,33×C52×x3=270x则各项系数之和为972+1620+270=2862.19.解:由已知得11解得117≤n≤13因为n∈N,