2026年高考物理二轮复习（全国）专题04 圆周运动、万有引力（讲义）（解析版）

专题04圆周运动、万有引力

目录

第一部分考情精析锁定靶心高效备考

第二部分重难考点深解深度溯源扫清盲区

【考点01】匀速圆周运动

【考点02】变速圆周运动

【考点03】重力与万有引力的关系

【考点04】发射卫星、天体运动

第三部分解题思维优化典例精析+方法提炼+变式巩固

【题型01】匀速圆周运动

【题型02】变速圆周运动

【题型03】重力与万有引力的关系

【题型04】有中心天体的匀速圆周运动

【题型05】双星、多星系统

【题型06】变轨运行

主战场转移：匀速圆周运动的运动特点、受力特点；变速圆周运动中的绳模型、杆

模型；重力与万有引力的关系；天体运动估算、对比，宇宙航行。

核心考向聚焦

核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂平衡及临界

极值问题的科学推理与实践能力。

关键能力：受力分析、寻找向心力的能力。准确识别变速圆周运动中的绳模型、杆

模型。熟悉天体运动的各种模型：有中心天体的匀速圆周运动模型，双星、多星系

统，变轨运行规律。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条

关键能力与思维瓶颈件

培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于：面对新情境时，无法快速、

准确地将实际问题进行转化。不画受力体，向心力找不准。天体运动模型不明，搞

不清用什么规律。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和

原因分析不清。

预测：2026年高考中，圆周运动、天体运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元

素，强化创新迁移、图像信息分析考查。

命题前瞻与备考策略

策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规

范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。

考点01匀速圆周运动

一、圆周运动的运动学问题

1．描述圆周运动的物理量

2．匀速圆周运动

(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．

(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变速运动．

3．常见的传动方式及特点

同轴转动皮带传动齿轮传动

A、B两点在同轴的一个两个齿轮轮齿啮合，A、

两个轮子用皮带连接，A、

圆盘上B两点分别是两个齿轮

B两点分别是两个轮子边

边缘上的点

装置缘的点

特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等

转向相同相同相反

角速度与半径成反比：

线速度与半径成正比：角速度与半径成反比：

ωA＝r

vArωAr2

＝ωBR＝

vBRωBr1

规律向心加速度与半径成反

向心加速度与半径成正向心加速度与半径成反

比：

比：aA＝r比：aA＝r2

aAr

aBR＝aBr1

aBR

二、匀速圆周运动的动力学问题

1．匀速圆周运动的向心力

(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．

22

v24π

(2)大小：Fn＝m＝mrω＝mr＝mωv.

rT2

(3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．

2．离心运动和近心运动

①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．

②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动．

③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．

3．匀速圆周运动中合力、向心力的特点

匀速圆周运动的合力：提供向心力．

三、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

1．实验思路

本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了控制变量法．

在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：

(1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系．

(2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系．

(3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系．

2．实验器材

向心力演示器、小球．

3．注意事项

摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录

其余读数．

考点02变速圆周运动

一、变速圆周运动的动力学问题

1．变速圆周运动的向心力

(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．

22

v24π

(2)大小：Fn＝m＝mrω＝mr＝mωv.

rT2

(3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．

2．变速圆周运动中合力、向心力的特点

变速圆周运动的合力(如图)

(1)与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周

运动，反向时做减速圆周运动．

(2)指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向．

二、竖直面内圆周运动的临界问题

轻绳模型轻杆模型

(最高点无支撑)(最高点有支撑)

球与绳连接、水流星、沿内轨道

实例球与杆连接、球在光滑管道中运动等

运动的“过山车”等

图示

受力

示意图

F弹向下或等于零

F弹向下、等于零或向上

力学v2v2

mg＋F弹＝mmg±F弹＝m

方程RR

F弹＝0

v＝0

临界2

vmin

mg＝m即F向＝0

特征R

F弹＝mg

即vmin＝gR

(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心

(1)最高点，若v≥gR，F弹＋

2

2v

v(2)当0<v<gR时，mg－F弹＝m，F弹

mg＝m，绳或轨道对球产生弹R

R

讨论背离圆心并随v的增大而减小

力F弹

分析(3)当v＝gR时，F弹＝0

(2)若v<gR，则不能到达最高

v2

点，即到达最高点前小球已经脱(4)当v>gR时，mg＋F弹＝m，F弹

R

离了圆轨道

指向圆心并随v的增大而增大

考点03重力与万有引力的关系

一、万有引力定律

1．表达式

m1m2－

F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×1011N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．

r2

2．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”

(1)两点理解

①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．

②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．

(2)星体内部万有引力的两个推论

①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.

②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对

M′m

它的万有引力，即F＝G.

r2

二、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)

1.考虑地球自转的影响

(1)在赤道上：

Mm2

G＝mg1＋mωR.

R2

Mm

(2)在两极上：G＝mg0.

R2

2.不考虑地球自转时

MmGM

（1）地球表面附近的重力加速度大小g，有mg＝G，得g＝.

R2R2

（2）地球上空的重力加速度大小g′

GMmGMg

地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以

R＋h2R＋h2g′

R＋h2

＝.

R2

三、利用天体表面重力加速度估算天体质量和密度

已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2

1．由G＝mg，得天体质量M＝.

R2G

M

．天体密度＝M＝＝3g

2ρ4.

VπR34πGR

3

考点04发射卫星、天体运动

一、利用运行天体估算天体质量和密度

已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.

Mm4π24π2r3

1．由G＝mr，得M＝.

r2T2GT2

MM3πr3

2．若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.

423

VπR3GTR

3

3π

3．若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕

GT2

天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

二、卫星运行参量的分析

1．基本公式

Mmv2GM

(1)线速度：由G＝m得v＝.

r2rr

MmGM

(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝.

r2r3

Mm2πr3

(3)周期：由G＝m()2r得T＝2π.

r2TGM

MmGM

(4)向心加速度：由G＝man得an＝.

r2r2

结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢．

2．“黄金代换式”的应用

Mm

忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可

R2

用gR2替换GM.

3．人造卫星

卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨

道．

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

(2)同步卫星

①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．

②周期与地球自转周期相等，T＝24h.

③高度固定不变，h＝3.6×107m.

④运行速率约为v＝3.1km/s.

(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9

km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85min(人造地球卫星的最小周期)．

注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．

三、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较

如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物

体，轨道半径为r3.

近地卫星同步卫星

赤道上随地球自转的

比较项目(r1、ω1、(r2、ω2、

物体(r3、ω3、v3、a3)

v1、a1)v2、a2)

向心力来源万有引力万有引力万有引力的一个分力

轨道半径r2>r1＝r3

角速度ω1>ω2＝ω3

线速度v1>v2>v3

向心加速度a1>a2>a3

四、天体“追及”问题的处理方法

1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相

tt

距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1.

TATB

2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相

t′t′1

距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝.

TATB2

五、开普勒行星运动定律

定律内容图示或公式

所有行星绕太阳运动的轨道

开普勒第一定律(轨道定律)都是椭圆，太阳处在椭圆的一

个焦点上

对任意一个行星来说，它与太

开普勒第二定律(面积定律)阳的连线在相等的时间内扫

过的面积相等

所有行星轨道的半长轴的三a3

＝k，k是一个与行星

2

开普勒第三定律(周期定律)次方跟它的公转周期的二次T

方的比都相等无关的常量

1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．

1111v1r2

2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之

2222v2r1

比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．

a3

3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在

T2

同一中心天体的两星体之间．

六、宇宙速度

第一宇宙速度v1＝7.9km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环

(环绕速度)绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度

第二宇宙速度

v2＝11.2km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度

(逃逸速度)

第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度

第一宇宙速度的推导

2－1124

m地mvGm地6.67×10×5.98×10

方法一：由G＝m，得v＝＝m/s≈7.9×103m/s.

R2RR6.4×106

v2

方法二：由mg＝m得

R

v＝gR＝9.8×6.4×106m/s≈7.9×103m/s.

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin

R6.4×106

＝2π＝2πs≈5075s≈85min.正是近地卫星的周期．

g9.8

七、卫星的变轨和对接问题

变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、

vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速

度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，

r3

由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3.

T2

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、

E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3.

八、双星或多星模型

1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．

(2)特点

Gm1m22Gm1m22

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω1r1，＝m2ω2r2.

L2L2

②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.

③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.

m1r2

④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.

m2r1

L3

⑤双星的运动周期T＝2π.

Gm1＋m2

4π2L3

⑥双星的总质量m1＋m2＝.

T2G

2．多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常

见的多星及规律：

Gm2GMm

①＋＝ma向

2R2R2

常见的三星模型

Gm2

②×cos30°×2＝ma向

L2

Gm2Gm2

①×cos45°×2＋＝ma向

L22L2

常见的四星模型

GmM

Gm2

②×cos30°×2＋L＝ma向

L2

32

九、星球“瓦解”问题黑洞

1．星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进

GMm

一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得

R2

GMGMGM

ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．

R3R3R3

2．黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的

运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的2倍)超过光速时，该天体就是黑

洞．

题型01匀速圆周运动

典｜例｜精｜析

典例1（2025年山东卷第10题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水

平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕

O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无

初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆

周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落

地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（）

A.rad/s

max3

2

Brad/s

.max3

C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地

D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地

【答案】BC

1

【解析】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向Hgt2

2

可得t2s

要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足22

xR1R2vt

v

最大角速度等于max

R2

2

联立可得rad/s

max3

故A错误，B正确；

．无人机从到的时间3

CDABt2s

max4

由于t′>t

可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。

故选BC。

典例2（2025·北京市海淀区·三模）转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞

加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，

他设计了一个实验。

如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以

缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩

擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

（1）圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求：

a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω0；

b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。

（2）通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速

缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L1；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体

被甩出后的落点到中心轴的距离为L2。

a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图；

b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比

较L1和L2的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的

说明）

g1

【答案】（1）a.，b.mgR

R2

（2）a.见解析，b.见解析

【解析】

【小问1详解】

a.当转速增大到某一值时，小物体被甩出，此时，最大静摩擦力提供向心力，则

2

mgm0R

解得

g

0R

b.小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功为

1

Wmv2

20

v00R

所以

1

WmgR

2

【小问2详解】

a.小物体所受摩擦力如图所示

b.物体被甩出瞬间，静摩擦力达到最大值

即

fmg

设f与半径夹角为，在沿半径方向，由牛顿第二定律得

v2

fcosm

R

物体被甩落后做平抛运动，两种情况下平抛的飞行时间t相等，由几何关系可知

转速缓慢增大

22

L1v0tR

转速迅速增大

22

L2vtR

由于

v0gRvgRcosv0v

可得

L1L2

方｜法｜提｜练

碰到传动装置，要搞清楚是哪一种模型，角速度相同，还是线速度大小相等。

匀速圆周运动的周期性会导致多解。

画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？

匀速圆周运动中二力不共线时，可以直接合成二力，也可以正交分解。

匀速圆周运动中二力以上不共线时，一般采用正交分解的方法。

正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，匀速圆周运动垂直于半径方向上受力平衡，沿半径方向上，

合力提供向心力。

变｜式｜巩｜固

变式1（2025·陕西省渭南市·二模）（多选）如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速

匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直

线上且相距为h，则下列说法正确的是（）

gg

A.子弹在圆筒中的水平速度为v2RB.子弹在圆筒中的水平速度为vR

02h02h

gg

C.圆筒转动的角速度可能为5D.圆筒转动的角速度可能为4

2h2h

【答案】AC

【解析】AB．子弹做平抛运动，在竖直方向上

1

hgt2

2

2h

可得子弹在圆筒中运动的时间t

g

2Rg

水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度v2R

0t2h

A正确，B错误；

CD．因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为(2n1)（n取1、

2、3……）

(2n1)g

则角速度为(2n1)

tt2h

gg

故角速度可能为5，不可能为4，C正确，D错误。

2h2h

故选AC。

变式2（2025·安徽省“皖南八校”·三模）奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩

起舞的过程中，有时会手持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L的匀速圆周运动，

运动过程中球所受的空气阻力大小恒为f，且f小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，

则下列分析正确的是（）

A.转到圆心正上方时的最小速度一定是gL

B.转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等

C.转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等

D.转动一周的过程中人对球做功为2πLf

【答案】D

【解析】A．球在竖直平面内做匀速圆周运动时，速率恒定，因此各点速度大小相同。最高点的最小速度通

常由重力提供向心力（即vgR），但题目中球受手的力和空气阻力作用，向心力由手的作用力、空气

阻力和重力的合力提供，故最高点速度不一定是gR，故A错误；

B．球在竖直平面内做匀速圆周运动时，向心力大小保持不变，转动过程中经过最高点和最低点时，手对球

的作用力切向分力平衡空气阻力，而法向分力和重力的合力提供向心力，最高点法向分力为F向mg，最

低点为F向mg，根据力的合成可知在最高点和最低点手对球的作用力大小不等，故B错误；

C．转动过程中两次经过圆心等高处（圆心左右两侧），手对球的作用力法向分力提供向心力，但切向分力

需要平衡重力和空气阻力的合力，假设球做逆时针方向的匀速圆周运动，右侧切向分力为mgf，左侧为

mgf，根据力的合成可知在圆心等高点手对球的作用力大小不等，故C错误；

D．根据动能定理，转动一周动能不变，合外力做功为0，则人对球做功与空气阻力做功之和为0

有WWf0

而空气阻力做功为Wf2Lf

所以人对球做功为W2Lf

故D正确。

故选D。

变式3（2023年福建卷第15题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO

上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相

连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知

细杆长度L0.2m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60，弹簧原长x00.1m，弹簧劲度系数k100N/m，

圆环质量m1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不计

（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；

（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；

（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。

106

【答案】（1）0.05m；（2）rad/s；（3）10rad/s

3

【解析】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得

T0mgcos5N

根据胡克定律Fkx得

T

x00.05m

0k

弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离

x1x0x00.05m

（2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿

第二定律得

mg

m2r

tan0

由几何关系得圆环此时转动的半径为

rx0sin

联立解得

106

rad/s

03

（3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得

TkLx010N

对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有

，2

mgTcosFNsinTsinFNcosmr'

由几何关系得

r'Lsin

联立解得

10rad/s

题型02变速圆周运动

典｜例｜精｜析

典例1（2023年湖北卷第14题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其

半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道CDE在同一

竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，

从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道CDE内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块

1

与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：

2π

（1）小物块到达D点的速度大小；

（2）B和D两点的高度差；

（3）小物块在A点的初速度大小。

【答案】（1）gR；（2）0；（3）3gR

【解析】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有

v2

mDmg

R

解得

vDgR

（2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道CDE内侧，则在C点有

v

cos60B

vC

小物块从C到D的过程中，根据动能定理有

11

mg(RRcos60)mv2mv2

2D2C

则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有

11

mgHmv2mv2

BD2D2B

联立解得

，

vBgRHBD=0

（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有

11

mgSmv2mv2

2B2A

S=π∙2R

解得

vA3gR

典例2（2024年山东卷第17题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上

表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块

静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形

部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2.

（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块

在Q点的速度大小v；

（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应

关系如图乙所示。

（i）求μ和m；

（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到P点时撤去F，

小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。

【答案】（1）v4m/s；（2）（i）m1kg，0.2；（3）L4.5m

【解析】（1）根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有

v2

mg3mgm

R

代入数据解得

v4m/s

（2）（i）根据题意可知当F≤4N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知

F(Mm)a

根据图乙有

1

k0.5kg1

Mm

当外力F4N时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有

FmgMa

结合题图乙有

1mg

aF

MM

可知

1

k1kg1

M

截距

mg

b2m/s2

M

联立以上各式可得

M1kg，m1kg，0.2

（ii）由图乙可知，当F=8N时，轨道的加速度为6m/s2，小物块的加速度为

2

a2g2m/s

当小物块运动到P点时，经过t0时间，则轨道有

v1a1t0

小物块有

v2a2t0

在这个过程中系统机械能守恒有

1111

Mv2mv2Mv2mv22mgR

21222324

水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有