浙江省杭州市拱墅区风帆中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年浙江省杭州市下城区风帆中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1.以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.对于命题“若a2>b2，则a>bA.a=2，b=1 B.a=2，b=−1

C.a=−1，b=0 D.a=−1，b=−23.若a>b，则(

)A.a−1≥b B.b+1≥a C.a+1>b−1 D.a−1>b+14.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，∠B=∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是(

)A.∠ECB=∠DCAB.BC=EC

C.∠A=∠DD.AC=DC5.如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是(

)A.∠A=15∘，∠B=75∘ B.∠A：∠B：∠C=1：2：3

C.a=2，b=3，6.下列尺规作图，能确定AD=BD的是(

)A.B.C. D.7.如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC=110∘，则∠DAM的度数为(

)A.40∘B.60∘ C.70∘8.若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为(

)A.4x+2−6(x−1)>04x+2−6(x−1)<6 B.4x+2−6(x−1)>14x+2−6(x−1)<5

C.4x+2−6(x−2)>04x+2−6(x−2)<69.已知关于x的不等式组x−a≥03−2x>0的整数解共有4个，则a的取值范围是(

)A.−3≤a<−2 B.−3<a≤−2 C.−3<a<−2 D.a<−210.如图，在△ABC中，AC=1，AC边上的中线BD=2.过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是A.x+y B.x−y C.xy D.x二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.根据关系：“2与x的和不大于x的5倍”，列出的不等式为

.12.“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题(填“真”或“假”).13.若(a−1)2+|b−2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为______14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB=6，BC=4，若△ABC的面积为12，则△BDC的面积为______.15.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是______.16.如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D为射线CB上的动点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC所在的直线交于点P，若ACPC=92三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

(1)解不等式：2x−1<3x+2，并将解集表示在下列数轴上；

(2)解不等式组；3(x−1)<4+2xx−918.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘.

(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E；

(2)连结CD，求证：CD19.(本小题8分)

如图，已知B，E，C，F在一条直线上，BE=CF，AC//DE，∠A=∠D.

(1)求证：△ABC≌△DFE；

(2)若BF=30，EC=10，求BE的长.20.(本小题8分)

已知不等式mx−3>2x+m.

(1)若它的解集是x<m+3m−2，求m的取值范围；

(2)若它的解集与不等式2x−1>3−x的解集相同，求m的值21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE，BF=AC，DF=DC.

(1)求证：△ADC≌△BDF；

(2)若∠ABE=25∘，求∠CAD22.(本小题10分)

已知△ACB为直角三角形，∠ACB=90∘，作CD⊥AB.AF平分∠CAB，点N为EF的中点，过N作MN//AB，且BC=8，AB=10.

(1)求证：CE=CF；

(2)求MN的长.23.(本小题10分)

生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜.我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜.小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖(0<a<100)；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解.

(1)原来的甜度为______，加糖后的甜度为______.

(2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了.

(3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于10%，又不超过15%.如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？24.(本小题12分)

定义：过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”.

(1)在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6.

①如图1，若O为AB的中点，则射线OC______△ABC的等腰分割线；(填“是”或“不是”)

②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB=PA，请求出CP的长度.

(2)如图3，△ABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N，BD=6，AC=10，且∠A<45∘.若射线CD为△ABC的“等腰分割线”，求CM+DN的最大值参考答案一．选择题1.B

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.A

8.C

9.B

10.C

二、填空题11.2+x≤5x

12.真

13.5

14.4.8

15.216.413或4三、解答题17.解：(1)2x−1<3x+2.

移项得，2x−3x<2+1，

合并同类项得，−x<3，

系数化为1得，x>−3，

数轴表示如下：

(2){3(x−1)<4+2x①x−95<2x②，

解①得：x<7；

解②得：x>−1；

∴−1<x<7.

18.(1)解：如图，DE即为所求；

(2)证明：∵AB=AC，∠A=36∘，

∴∠ACB=12×(180∘−∠A)=72∘，

∵DE垂直平分AC19.(1)证明：∵BE=CF，

∴BC=EF，

∵AC//DE，

∴∠ACB=∠DEF，

在△ABC和△DFE中，

∠A=∠D∠ACB=∠DEFBC=EF，

∴△ABC≌△DFE(AAS)；

(2)解：∵BF=30，EC=10，

20.解：mx−3>2x+m，

mx−2x>m+3，

(m−2)x>m+3，

(1)∵它的解集是x<m+3m−2，

∴m−2<0，

解得m<2；

(2)2x−1>3−x，

解得：x>43，

∵它的解集是x>m+3m−2，

∴m+321.(1)证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠BDF=90∘，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

BF=ACDF=DC，

∴Rt△ADC≌△Rt△BDF(HL)；

(2)解：∵Rt△ADC≌△Rt△BDF，

∴∠DAC=∠DBF，AD=BD，

∵∠ADB=90∘，

∴∠ABD=∠DA=45∘，

∵∠ABE=25∘，

∴∠CAD=DBF=45∘−25∘=20∘.

22.(1)证明：∵∠ACB=90∘，

∴∠CAF+∠CFA=90∘，

∵CD⊥AB，即∠ADC=90∘，

∴∠DAE+∠DEA=90∘，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠DAE，且∠DEA=∠CEF，

∴∠CAF+∠DEA=∠CAF+CEF=90∘，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF；

(2)解：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠DAE，

∵MN//AB，

∴∠MNA=∠NAB，

∴∠MAN=∠MNA，

∴MN=MA，

如图所示，连接CN，

∵△CEF是等腰三角形，点N为EF23.解：(1)根据题意得：原来的甜度为a100，加糖后的甜度为a+10100+10=a+10110.

故答案为：a100，a+10110；

(2)加糖前的甜度为a100，加糖后的甜度为a+10110，

a+10110−a100

=10a+1001100−11a1100

=10a+100−11a1100

=100−a1100，

∵0<a<100，

∴100−a>0，

∴a+10110−a100>0，

即a+10110>a100，

∴加糖后确实变甜了；

(3)根据题意得：a+10110≥10%a+10110≤15%，

解得：1≤a≤6.5，

∴a的取值范围为1≤a≤6.5.

24.解：(1)①∵Rt△ABC中，∠C=90∘，O是AB的中点，

∴OA=OC=OB，

∴△AOC，△BOC均为等腰三角形，

∴射线OC是△ABC的等腰分割线，

故答案为：是；

②在Rt△ABC中，AC=8，PB=PA，

设PC=x，则AP=B