重庆好教育联盟2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含解析）

数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.整理排版。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求.1.在等差数列an中,a6=−5A.5B.6C.7D.82.已知集合A={xA.{x∣x<5或x≥7}B.{3.已知fx是偶函数,当x>0时,fxyA.-1B.-2C.1D.24.在△ABC所在的平面内,AB=2BD,D关于C的对称点是A.12AC−2ABB.5.已知函数fx=tanωx+π4ω>0，则“fx的最小正周期大于4”是A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如左图所示，其横截面如右图所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为A.10B.7C.23D.7.已知正三棱台ABC−A1B1C1的高为A.5π12B.π3C.π8.将一些相同的小球放入一排相同的盒子中,每个盒子中至多放一个小球.若要放三个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为x,要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为y,若3x=2yA.13B.14C.15D.16二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.公众号山城学术圈全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.9.若复数z=5A.z=5B.z的共轭复数为C.z+5z为实数D.10.若loga3a2−5aABCD11.已知半径为R1R1=1的圆M1与射线l:y=kxk>0,x≥0、A.若k=3，则B.若k=427，则点MC.若k=427,则数列Rn的前D.RnRn−三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在一组数据1,2,3,5,7中加入一个数x后,得到一组新数据,且新数据组的60%分位数等于原数据组的60%分位数,则x=13.已知P是抛物线C:x2=2pyp>0上的一个动点，A3,−3，点P到x轴的距离为d14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB且AA四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8,0.5.现有两种答题方案:方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元;方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答,每猜对一道得奖金15元.(1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望.(2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案？并说明理由.16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求c及C；(2)求△ABC17.(15分)已知函数fx(1)若曲线y=fx在点e,fe处的切线与曲线.y=ex在点(2)若函数φx=fx+ax18.(17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,(1)证明:AB//平面PCD(2)已知PA=PB=2，点P，A，B，C，D①在图中指出点O的位置，并说明理由；②若Q为线段PB上的一点，且直线OQ与平面PCD所成角的正弦值为68，求PQ19.(17分)平面内一动点P到直线3x+2y=0的距离为d1,到直线3x−2y=0的距离为d2(1)求Ω的方程；(2)已知过点1,0且斜率不为0的直线l与Ω交于D,E两点，点A−2,0，直线AD,AE分别交y轴于M(3)以点B1,0为端点作nn≥2条射线分别与Ω交于C1,C重庆数学考试参考答案题序1234567891011121314答案CBADBDCBACBDACD42521.C因为a6+a14=2.B由图可知阴影部分表示的集合为A∩3.A令x=y=1,则f1=f1+4.DAE5.B由fx的最小正周期大于4,得πω>4,则0<ω<π4.由x∈0,1,得ωx+π4∈π4,ω+ π4,若fx在06.D建立如图所示的平面直角坐标系.设该双曲线C:y2a2−x2b易得点14,8在C上,则8262−142b2=17.C如图,设BC,B1C1的中点分别为D,D1,连接AD.设△A1B1C1在底面ABC上的投影为△A2B2C2,D1在底面ABC上的投影为D2,△ABC的中心为O.易证D1D⊥BC,AD⊥ BC,所以二面角8.B设这一排盒子的总个数为nn≥7.先将装有小球的盒子拿开,再插入到n−3个盒子之间,得x=Cn−23,同理可得y=Cn−34.9.AC由题意得z=5i−2=5−2−i−2+i−2−i=−2−i,则z=5,z的共轭复数为−2+i,A正确,B错误.因为z+5z=−10.BD由3a2−5a+2>0,得a<23或a>1.当0<a<23时,由loga3a2−5a+2>2,得3a2−5a +2<a2,得12<a<23,此时将函数y=logax的图象向左平移a个单位长度,可得到选项B11.ACD如图，过点Mn−1，Mn分别作Mn−1，A上，Mn，B上网。如，垂足分别为A，B，过点Mn−1作设∠AOMn=由sin∠MnMn−1C=sinα=MnCMnMn−1=Rn−Rn−1Rn+Rn−1,得RnR由k=tan2α=2tanα1−tan2α=427,得tanα=2Rn的前n项和为1+RnRn−1=1+sinα1−sinα=−1+21−sinα,由12.4因为5×60%=3,所以原数据组的60%分位数为3+52=4.因为13.2由题意得C的焦点为F0,p2,准线方程为y=−p2.设点P到直线y=−p2的距离为d1,则d+14.52393设AB=a,AD=b,AA1=c，则c=2a<b.如图，若蚂蚁爬行的路线经过棱A1B1，则最短路径的长度为a2+b+c2=a2+b2+c2+2bc;若蚂蚁爬行的路线经过棱BB1,则最短路径的长度为c2+a+b2=a2+b2+c2+2ab;若蚂蚁爬行的路线经过棱BC,则最短路径的长度为15.解:(1)X的可能取值为0,15,40.1分PX=PX=PX=所以X的分布列为X01540P0.20.40.45分故EX=(2)甲应该选择方案二.7分理由如下:当甲选择方案二时,设他猜对的谜语数量为Y,获得的奖金金额为Z元,则Z=15Y由题意得Y∼B则EY=所以EZ=因为EZ>EX16.解:(1)由余弦定理得acosB+bcosA=a⋅a由8sinAcosC=asinC,得8a因为C∈0,π,所以(2)由余弦定理c2=a2+b2−则16+3ab所以a+b当且仅当a=b=4故△ABC周长的最大值为8+17.解:(1)f′x设gx=ex,则则f′eg′x1所以x1=(2)φ′x因为φx有两个极值点,所以φ′x在0,+∞令φ′x=0,得a=lnxx2,则函数F′x=1−2lnxx3,令F′x>9分令F′x<0,得x>e,则F所以Fx的最大值为Fe因为F1=0,且当x→+∞时,所以0<a<12e.故a18.(1)证明:∵∠ADC+∠DAB=π，∵CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,∴(2)解:①如图，O为CD的中点.5分理由如下:设AB，CD的中点分别为E，O，连接AO,BO∵AD=∴∠∴△ABO是正三角形,∴BO∵PA=∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PE⊥平面ABCD,又∵OE⊂平面ABCD,∴∴点P,A,B,C,D均在球O的球面上,故O②以E为坐标原点，EO，EB，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则P0,0,设平面PCD的法向量为n=x,y令x=1,得y=0,z设PQ=λPB=0,∴直线OQ与平面PCD所成角的正弦值为cos⟨n,则3λ2+λ−2=