第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第6节事件的相互独立性、条件概率与全

概率公式

考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率

的关系，会利用全概率公式计算概率.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件8

相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与8相互独立，那么A与反，A与&A与3也都相互独立.

2.条件概率

p(AR)

(1)概念：设A,8为两个随机事件，且P(A)>0,称尸(8|4)=p为在事件A

发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型：P(B\A)====；

②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\A).

3.全概率公式

一般地,设Ai,人2,…，A”是一组两两互斥的事件,A1UA2U…AA〃=Q,且P(4)

X),Z=l,2,…，〃，则对任意的事件6。=5(4+42+…+4)=64+

B4+…+54,有P(B)=£P(4)P(BIA,),此公式为全概率公式.

［常用结论］

P(4/?)

1.计算条件概率除了应用公式J；A)外,还可以利用缩减公式法，即

P(8|A)=1\/I/

P(BIA)=〃(架,其,〃(A)为事件4包含的样本点数，〃(AB)为事件AB包含的

〃\/Y)

样本点数.

2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题,

转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)若事件A,B互斥,则P(3|A)=L()

(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.()

(3)P(A)=P(A)P(B\A)+P(A)P(3|A).()

(4)P(A)=P(3A)+)

答案(1)X(2)7⑶X(4)X

解析(1)若事件A,B互斥,则P(用A)=0；

(3)P(B)=P(4)尸(现4)+P(A)尸(用4)；

(4)P(8)=P(B4)+P(B4).

2.掷两枚质地均匀的骰子，设人="第一枚出现奇数点"，B="第二枚出现偶数

点”，则A与8的关系为()

A.互斥B.互为对立

C.相互独立D.相等

答案C

解析掷两枚质地均匀的骰子，记事件人="第一枚出现奇数点”，事件8="第

二枚出现偶数点”，事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件8既不是互斥

事件，也不是对立事件，

故A,B均错误；

事件A与事件3相互独立，故选C.

5~331

3.(选修三P50例5改编)己知P(A)=d，P(A)=SP(B|A)=S尸(B|A)=小则尸(B)

OOJJ

答案I

53311

解析P（B）=P（A）P（W）+P（A）P（B|A）=gX^+-X-=-

911

4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为七下雨的概率为玲，既

吹东风乂下雨的概率为扁，则在吹东风的条件下下雨的概率为.

答案I

解析设事件A表示某地四月份吹东风，

事件区表示四月份下雨.

8

3（）Q

根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P（B\A）=-^=l，

vy

30

考点突破•题型剖析

考点一相互独立事件的概率

例1（1）（2021.新高考I卷）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从

中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是

1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的

数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

答案B

解析事件甲发生的概率P（甲）=:，事件乙发生的概率P（乙）=:，事件丙发生的

概率p（丙）=a=京，事件丁发生的概率p（丁）=含=：事件甲与事件丙同时

oAoJOOAoO

发生的概率为0,P（甲丙）#P（甲）尸（丙），故A错误；

事件甲与事件丁同时发生的概率为士=（，

o/\oJO

P（甲丁）=P（甲）P（丁），故B正确；

事件乙与事件丙同时发生的概率为士=1，

OXoJO

P（乙丙）WP（乙）P（丙），故C错误；

事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.

(2)(多选)(2023♦广州测试)抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数

小于3”为事件A,“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件8,则下列结论中

正确的是()

A.事件A与事件B互为对立事件B.事件A与事件B相互独立

C.P(8)=2P(4)D.P(A)+P(B)=1

答案BCD

解析依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3

可以同时发生，即事件A与事件8不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A

错误；

2I42

P(4)=k=Q,P(3)=K=Q,抛掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有6X6=36］个),

VzJVIJ

Q12

它们等可能，事件A6包含的结果有acl=8(个)，则

P(A8)=JX#-»=QJXQJ=P(A)P(8),

所以事件A与事件8相互独立，B正确；

2I2

显然P(8)=w=2P(A),P(A)+P(8)=§+§=1,C,D都正确.

感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.

(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

训练1溺水、触电等与学生安仝有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了

普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一

个问题，答对得I分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均

223

为-乙队每人回答问题的正确率分别为最--

3V4目.两队各人回答问题正确U否

相互之间没有影响.

⑴分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

解(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件8

o7OR

甲队得3分，即3人都回答正确，其概率P(A)=：X彳*耳=行，

甲队得1分，即3人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率

222\222X222

dJ

---X-l+-----J+-XX---

33373337339

Q7

故甲队总得分为3分与1分的概率分别为务

(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件。.

甲队得2分，即甲队3人中有2人回答正确，1人回答错误，

则尸(。=树义(1—。+氢—热,+(1—1•卜|x抬,

乙队得1分，即乙队3人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，

MP(D)=|x[1-j)X(1X3x(1-O+G-2)X6X4=4-

由题意得事件。与事件。相互独立，

4I1

则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=9X4=9.

考点二条件概率

例2(1)(2023・沈阳质检)夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为恭心，且两地

同时下雨的概率为先则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率

为(

1

--

-B-

AC.I22

23

--

3D.4

答案c

解析设A为“甲地下雨”，B为“乙地下雨”，

由题意可知，尸(4)=1P(B)=w，尸(八5)=不所以P(A|B)=冒(3)—=!"=?

4

(2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一

个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次

拿到红球的概率为.

套口案杀-3

解析设“第一次拿到白球”为事件A,

“第二次拿到红球”为事件8,

212X31

依题意尸(A)=m=予P(A8)==石,

P(AB)1

故P(B|A)=

P(A)y

感悟提升求条件概率的常用方法

p(A8)

(1)利用定义，分别求P(A)和P(A4),得P(阴.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数〃(A),再在事件A发生

〃(AH')

的条件下求事件B包含的基本事件数，即〃(AB),得P(8|A)=〃(A).

训练2(1)(多选)甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先

从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，再

从乙罐中随机取出一球，以3表示事件“从乙罐取出的球是红球"，则()

32

--

55

39

C.P(B)=石D.P(A由)=3

答案ACD

解析对于A,・・•甲罐中有3个红球、2个黑球，

3

：.P(A)=y故A正确；

2

对于C,记Ai表示事件“从甲罐取出的球是黑球“，则P(A「)=?当A发生时,

3

乙罐中有3个红球，2个黑球，此时3发生的概率为不

当4发生时，乙罐中有2个红球，3个黑球，

此时8发生的概率为机

32213

--

5+■55-25故C正确;

339

-X

对于55-

B,25

9

P(AB)253,十左

・・P(3|A)=/(4)-=~3~=5f故B不正确;

5

「P(A8)9十卜

对于D,P(A\B)==y^,D正确.

(2)(多选)(2023•滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋

斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞

赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填

空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件4为“第1次抽到选择题”，

事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()

3

小

尸-3

5B.aAB),

1

AC.收㈤--D.P(8|A)=；

-2

答

案ABC

解析P(A)卷=|，故A正确；

dda

P(A8)=0&=而，故B正确；

3

P(45)To1-

P(B|A)=「(A)"=~3~=2f故C正确;

5

32

---CJG3

55

P(A)=\~P(A)=P(AB)-cici-10,

3

-

3

P(AB)120

P(B\A)=--4

5

P(A)

考点三全概率公式的应用

例3(1)(2023・威海质检)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概

率为0.5,知道正确答案时，答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概

率为0.25,那么他答对题目的概率为()

A.0.625B.0.75

C.0.5D.0

答案A

解析用A表示事件“考生答对了“，用B表示“考生知道正确答案”，用B表

示“考生不知道正确答案”，

则P(B)=0.5,P(B)=0,5,P(A|B)=100%,「(A|B)=0.25,

则P(A)=『(A8)+『(A8)=P(A|8)P(8)+P(A|8)P(8)=lX0.5+0.25X0.5=0.625.

⑵(2023・合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般

的”“冒失的”,统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,

().15,().30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”

被保险人占5()%,“冒失的”被保险人占3()%,则该保险公司的一个被保险人在

一年内发生事故的概率是()

A.0.155B.0.175

C.0.016D.0.096

答案B

解析设事件3表示“被保险人是‘谨慎的'”，事件&表示“被保险人是‘一

般的'”，

事件&表示“被保险人是'冒失的'”，

则P(Ki)=2O%,P(&)=SO%,P(&)=30%,

设事件4表示“被保险人在一年内发生事故”，

则P(A网)=0.05,P(A|S2)=0.15,

P(A|&)=0.30.

3

由全概率公式，得P(A)=£,=20%X0.05+50%X0.15+30%X().3()=

0.175.

感悟提升利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，符一个复合事件分解为若干个互斥事件Ag=1,2,…，力;

⑵求P(4)和所求事件B在各个互斥事件4发生条件下的概率P(4)P(阴4)；

(3)代入全概率公式计算.

训练3(1)(2023・西安模拟)甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其

中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机

取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为

13

答案30

解析由题意，设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件A表示

从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，事件8表示从乙箱中随机取出一球，取出

331-o?।

的球是红球，则P(A)=g,P(8|A)=d=],P(A)=&P(B|A)=g=y,

-317I13

所以P(8)=尸(A)尸(B|A)+P(A)P(B|A)=W><5+5Xy=^.

⑵(2023•宁德质检)某学校有48两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一

家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一

天去8餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的

概率为.

答案0.7

解析设4="第1天去A餐厅用餐”，

Bi=“第1天去5餐厅用餐”，

4="第2天去A餐厅用餐”，

则O=AiUBi,且4与Bi互斥,

根据题意得，P(Ai)=P(Bi)=0.5,P(A2|AI)=0.6,P(A2|BI)=0.8,

由全概率公式，得P(A2)=P(AI)P(A2|AI)+P(BI)P(A2|5I)=0.5X0.6+0.5X0.8=0.7.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.己知小明上学乘坐公共汽车的概

率为0.4,乘坐地铁的概率为0.6,且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分

别为0.05和0.04,则小明没有迟到的概率为()

A.0.954B.0.956

C.0.958D.0.959

答案B

解析由题意，小明没有迟到的概率为()4X(1—0.05)+().6X(l—().()4)=0.956.

2

2.(2023.武汉检测)在一次试验中，随机事件A,8满足PC4)=P(B)=y,贝1」()

A.事件A,8一定互斥B.事件A,3一定不互斥

C.事件A,8一定互相独立D.事件A,B一定不互相独立

答案B

2

解析若事件A,B互斥,则P(A)+P(8)W1,但P(4)=P(8)=),不满足，故事

件A,B一定不互斥，故选B.

3.（2023・湖州模拟）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广

泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投

壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳厂.每一局投壶，每一位参赛者

各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投

壶比赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投

完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为小投中壶耳的概率为点四支箭投

完，以得分多者赢则乙赢得这局比赛的概率为（）

13A

AA,75Bp,75

「8n8

C-15D75

答案A

解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第二支箭的情况可分为两类：

（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为Pi=；x：=

JJ1J

⑵第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2=]X[}+3=

8

行

1Q1a

所以乙赢得这局比赛的概率为P=Pi+P2=^+m=云.

4.为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道

速滑训练赛.已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为则3场训练

UJ4

赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为（）

11c5

A♦天B24

cL1

。24Du'3

答案C

解析“甲、乙获胜场数相同”包括两种情况：“甲、乙各获胜1场”与“甲、

乙各获胜（）场”，

3

所以所求概率为clx|xcix|xclx|-i-d（1l=白

5.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率

为0.4,若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）

A.0.36B.0.352

C.0.288D.0.648

答案D

解析甲最终获胜的情况可能为连胜2局或甲前2局1胜1负，第3局胜，则甲

最终获胜的概率P=0.62+ClX0.6X0.4X0.6=0.648.

6.（多选）（2023・佛山检测）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点

数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x,y）表示一次试验

的结果.定义：事件A="x+y=7"，事件8=”书为奇数”，事件C="Q3”，

则下列结论正确的是（）

A.A与B互斥B.A与B对立

C.P（B|C）=|D.A与C相互独立

答案AD

解析对于A,因为x+y=7,所以x与y必是一奇一偶，又当xy为奇数时，犬

与），都是奇数，所以事件A和8不能同时发生，即A与B互斥，故A正确；

对于B,因为事件A和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如x=l,）=2,

即A与8不对立，故B不正确；

对于C,U，），）的所有可能结果如下表：

123456

1(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

尸（0=石=1尸（80=盆=衣，

一，P（BC）1,,十一

所以P（B|C）=）=不故C不正确;

对于D，P(A)=石=4,尸(。=石=]'

31

尸5。=去=正，则有P(AC)=P(A)/(C),4与。相互独立，故D正确.

7.(多选)(2023・济南联考)一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4

个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续

抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球.下列说法正

确的是()

A.第二次取到白球的概率是扁

B.“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件

C.“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件

D.己知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率是力

答案AD

解析设4=”第，次取到白球“，

Bi="第i次取到红球”.

324319

对于A,P(A2)=P(Ai)P(A2|Ai)+P(Bi)P(A2|Bi)=yX^+-Xy=^,A正确；

对于B,取到两个球还可能为一个红球和一个白球，所以“取到两个红球”和“取

到两个白球”不是互为对立事件，B错误；

4344430

对于C,P(Bg,P(B2)=P(Ai)P(B2|Ai)+P(Bi)P(B2|Bi)=7X^+yXy=—,

4416

尸(B)P(&),所以“第一次取到红球”和“第二次取到红球”不是互为独立事件，

C错误；

3X4

LT」A30尸(4/2)P(Al)P(B2IA1)767

对于D,由C知尸(&)=而,P(4]&)=p(&)=万7而=百=1?

49

D正确.

8.(2023•长沙适应性考试)己知事件A,B,且P(A)=0.5,尸(5)=02如果A与3

互斥，令m=P(A8),如果A与8相互独立，令〃=尸(48),则〃一机=.

答案0.4

解析若A,8互斥，则〃2=P(A3)=O,

若A,3相互独立，则A,B也相互独立，

所以〃=P(AB)=P(A)P(B)=0.5X(1—P(B))=0.5X(1—0.2)=0.4,

则〃一机=0.4.

9.(2023・济南检测)甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中

甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球.抛一枚质地均匀的

硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中

随机摸出一个球.则摸到红球的概率为.

答案|

解析抛一枚质地均匀的硬币，正面向上与反面向上的概率均为/从甲箱中随机

32

摸出一个球为红球的概率为不从乙箱中随机摸出一个球为红球的概率为于所以

JJ

13121

摸到红球的概率P=5X5+2X5=2-

10.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分,

3

未击中目标得。分.已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为与和p.若甲、

9

乙两人各射击一次得分之和为2的概率为为，则p的值为.

3

答

案-

4

解析设“甲射击一次，击中目标”为事件A,“乙射击一次，击中目标”为事

件B,

则”甲射击一次，未击中目标”为事件4,“乙射击一次，未击中目标”为事件以

33?

则P(A)=q,P(A)=l—q=q,P(B)=p,P(8)=l—p.

3293

---解得--

55^P

4-

11.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛

的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人

被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛

结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

⑴求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

解⑴甲连胜四场的概率为七

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为右乙连胜四场的概率为七；

丙上场后连胜三场的概率为

O

11I3

所以需要进行第五场比赛的概率为1一七一七一

1O1084

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为:；

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空

结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为*

1OOO

因此丙最终获胜的概率为(+a+(+/=焉.

oIOoo1O

12.(2022・新高考H卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患

者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

频率

组距

0.023...........................-1-----

0.020-------------------------——

().017-------------------------------------

0.012------------------------------------

0.006.................................................——

().002

0.001~~1…卜T…1…卜T…1~~1.

010203()4050607()8()90年龄/岁

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率：

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占

该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求

此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的

年龄位于该区间的概率，精确到().()()()1)

解(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄x=10X(5X0.001+15X0.002+

25X0.012+35X0.017+45X0.023+55X0.020+65X0.017+75X0.006+

85X0.002)=47.9.

⑵法一由于患者的年龄位于区间［20,70)是由患者的年龄位于区间［20,30),［30,

40),［40,50),［50,60),［60,70)组成的,且相互独立,

所以所求概率P=(0.012+0.017X2+0.023+0.020)X10=0.89.

法二由于患者的年龄位于区间［20,70)是由患者的年龄位于区间［20,30),［30,

40),［40,50),［50,60),［60,70)组成的，且相互独立，

所以所求概率P=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)X10=0.89.

(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间［40,5())为事件A,患这种疾病为事件以

则P(A)=16%.

由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间［40,50)的概率为0.023X10=

0.23,

结合该地区这种疾病的患病率为0.1%,可得尸(A8)=0.1%X0.23=0.00023,

所以从该地区任选一人，若年龄位于区间［40,50),则此人患这种疾病的概率为

P(AB)0.00023

0,0014.

【B级能力提升】

13.(多选)(2023•南京调研)已知事件A,8满足AG&且尸(8)=0.5,则一定有()

A.P(AB)>0.5B.P(阴A)V0.5

C.P(A8)V0.25D.P(A|B)>0.5

答案BC

解析对于A,因为(AB)G8,

所以P(AB)WP(8)=O5,A不正确;

对于B,因为AG。，疔以事件A,8不可能同时发生，所以P(8A)=0,则P(8|A)

P(84)

=0<0.5B正确;

P(A)

对于C,因为所以事件A,B不可能同时发生，所以P(AB)=O<O.25fC

正确；

对于D,因为AG&^以P(A8)=P(A).

…P(AB)P(A)八一也

右A=%则P(A|8)=p(B)-=p(B)=0,D不正确.

14.(2022•全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互

独立.己知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0,gP3,且〃3*2>0〉0.

记该棋手连胜两盘的概率为〃，则()

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大

答案D

解析法一设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P*

在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为尸乙，

在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，

由题意可知，户口=2"16(1—P3)+〃3(1—P2)]=2Plp2+2〃必一4p1P2P3,

P乙=2/九伊|(1-〃3)+〃3(l-〃l)]=2pip2+2/72〃3—4〃ip2P3,

P丙=2"3[pI(1—〃2)+〃2(1—p1)]=2〃l〃3+2P2P3—4Plp2P3.

所以P丙一产甲=2〃2。”一pi)>0,P对一产乙=2pi(/”一p2)>0,

所以P丙最大，故选D.

法二(特殊值法)

不妨设pi=0.4,〃2=0.5,p3=0.6,

则该棋手在第二盘与