第4课时 一元线性回归模型参数的最小二乘估计二（答案）公开课教学设计课件资料

第4课时一元线性回归模型参数的最小二乘估计（2）

班级姓名

一、单选题

1.如图是一组实验数据构成的散点图，以下函数中适合作为了与X的回归方程的类型是（）

A.y=ax+hB.y=ax1+cC.y=〃k＞g“x+cD.y=bcf+c

答案：D

解析：由散点图中各点的变化趋势知，各点不在一条直线上，排除A.

由散点图中各点呈单调递减趋势，排除B.又图中点的横坐标有正有负，故排除C.

故选：D.

2.三知相关变量X和y的散点图妇图所示，若用）=乙山1化可与），=仁+4拟合时（均经过线性处理）的相关

系数分别为。弓则比较小弓的大小结果为（）

D.不确定

答案：C

解析：由散点图可知，），=々由（空）拟合比用），=及"+4拟合的程度高，故间＞同：

又因为此关系为负相关，.・•-乙＞一弓“〈弓

故选:C

3.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度》随时间x变化的函数模

型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据（』，%）、（/，%）、匕、（工，”「绘制了如图所示

的散点图.小明诜择了如下2个函数模型来拟合茶水温度）随时间工的变化情况，函数模型•:

)，=&+'(*<0,x20)；函数模型二：y=kax+h(k>0.0<<?<I,r>0),下列说法不正确的是()

y八

90-

80-

70-

012345x

A.变量y与x具有负的相关关系

B.由丁•水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情

况

C.若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到y=hr'+b的图象一定经过点RJ)

D.当x=5时，通过函数模型二计算得)=65.1,用温度计测得实际茶水温度为65.2,则残差为0.1

答案：C

解析：对于A选项，观察散点图，变量X与y具有负的相关关系，A对；

对于B选项，由于函数模型二中的函数丁二3'+/攵＞0,0vavLxN0),

在xNO时，函数单调递减，且递减速度越来越慢，

所以，模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况，B对；

对于C选项，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过(/J),C错；

对于D选项，根据残差的定义可矢】，残差=真实值-预测值，故残差为65.2-65.1=0.1,D对.

故选：C.

4.某种微生物的繁殖速度了与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用回归模型)，=2lgx进行

拟合.在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该

A.使x增加1个单位B.使x增加2个单位

C.使x增加到原来的2倍D.使%增加到原来的10倍

答案：D

解析：设)'的增加量为&，=%-%，x的增加量为以=内-£，

故可得△y=2/gM—2/g%=21g±=2,解得土=10,

故要使得增加2个单位，x应增加到原来的10倍.

故选：D.

5.对于指数曲线y=令〃=lny,c=ln〃，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为()

A.f.i=b+exB.〃=c+bx

C.y=b+cxD.y=c+bx

答案：B

解析：/j=\ny=InCw/')=Ina+Inehx=]na+bx=>^=c+bx,

故选：B

6.指数曲线y=a即进行线性变换后得到的回归方程为“-1-0.6K,贝U函数y二/十hx十"的单调递增区间为

(3、1

A.(O,+8)B.—,+coC.(-,+co)D.。,+8)

IIU/2

答案：B

解析：•••y=a泮

•••两边取对数，可得作线性变化得Iny=111(0?*)=In«+Inehx=\na+bx,

由于指数曲线y=a*进行线性变换后得到的回归方程为〃=l-0.6x,则〃=1",\na=\,b=-0.6,即，=e

由于函数)，=/+历一〃为二次函数，开口向上，对称轴为工=而则函数—+加+。的单调增区间为

(3)

1-1-0,+8)9

故答案选B

7.新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成

效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：

周数(X)12345

治愈人数(丫)21736103142

由表格可得y关于X的非线性回归方程为$，=6/+a,则此回归模型第5周的残差为()

A.0B.2C.3D.—2

答案：D

解析：因为丁=,(1+4+9+16+25)=11,y=-(2+17+36+103+142)=60,所以〃=60—6xl1=-6,

55

所以》=6X2-6,取x=5,W>'=6X52-6=144,所以第5周的预测值为144,

则此回归方程第5周的残差为142-144=-2.

故选：D

8.用模型y=a/拟合一组数据组&,y)(i=123,…,7),其中％+电+…+七=14,设z=l”，得变换后的

线性回归方程为；=x+l，则,％•••%=()

A.e35B.e21C.35D.21

答案：B

解析：由题意得；二菁+:；‘'+"7-2,

故z=x+l=3，

即Iny,+Iny2+---+Iny7=3x7=21,

故ln（y%…）’7）=21,解得）1%…）’7=e".

故选：B

二、多选题

9.已知具有相关关系的两个变量.r,y的一组观测数据（为，/），（/，/），L,（七,”），由此得到的线性回

归方程为卞=加+6,则下列说法中正确的是（）

A.回归直线§，=Ax+々至少经过点（公,珀，伍，为），匕，（打”）中的一个点

B.若点（为，/），（巧,切，匕，（天，尤）都落在直线x+y+2=0上，则变量x,），的样本相关系数厂二一1

C.若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数尿=1

D.若％=2020,%=2023,则相应于样本点（/，/）的残差为-3

答案：BCD

解析：A：线性回归方程为§=必+6不一定经过（为,％）,（4，匕），匕，（人,”）中的任何一个点，

但一定会经过样本中心点（乂y），故A错误；

B：直线x+y+2=0的斜率*=-1,且所有样本点都落在直线x+y+2=。上，

所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值T,

即样本相关系数/*=-1，故B正确；

C：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，

所以残差平方和为0,则决定系数*=1，c正确；

D：样本点（入2，匕）的残差为%-）'2=2020-2023=-3,故D正确.

故选：BCD.

10.下列说法中正确的有（）

A.在回归分析中，决定系数炉越大，说明回归模型拟合的效果越好

B.已知相关变量《.\，）满足回归方程»=9.41+9.1,则该方程对应于点（2,29）的残差为1.1

C.已知随机变量6（〃,〃），若石©二30,00=20,则〃=45

D.以£拟合一组数据时，经Z=lny代换后的经验回归方程为2=0.3x+4,则。=©4«=0.3

答案：ABD

解析：A：因为决定系数R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，故A正确；

B：因为观测值与预测值之差为残差，

预测值>94x2+9.1=27.9,残差为29-27.9=1.1,故B正确.

C：对于二项分布S~8(〃,P),E(g)=〃P=30,54)=〃p(l-P)=20,

解得〃=：,〃=90,故C错误.

D：对于非线性回归方程y=芯转化为In$，=z=Inc+丘，

所以lnc=4,则,二©4,k=0.3,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

11.若一组观测值(xi,yi)(X2,y2)...(xn,yn)之间满足yi=hxi+a+ei(i=1、2.…n)若ei恒为。，则R?为

答案：1

解析：0.恒为0,说明随机误差对J:贡献为0,这时候变量冗J•之间是函数关系，故R：=l

12.已知变量x和丁之间的关系可以用模型丁=小暧来拟合.设z=ln)，，若根据样本数据计算可得

7=3.5工=0.9,且3与2的线性回归方程为2=0.64+〃，则〃?才.(参考数据：ln0.3«-1.2,ln0.25«-1.4)

答案：0.3

解析：由题意知0.9=0.6x3.5+a,解得〃=一1.2,

所以z=0.6x—L2,

由z=Iny,得\ny=0.6x-1.2,所以y=e06A-1,2=e-12-e0,6r,

Mm=e-,-2®0.3.

故答案为：0.3

13.红铃虫(Peclinophoragossypiella)是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫

的产卵数个)和温度K℃)的8组观测数据,制成图1所示的散点图.现用两种模型①尸心…，②y=ex2+d

分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

产卵个

140

20

00

80

60

40

2O0,i-一，।一—一

182022242628303234温度x/C

图1产卵数散点图

根据收集到的数据，计算得到如下值:

2

iu-x))2力(•)(■-)

XZ

f=1r=lr=l/=!

252.964616842268850.470308

|8_]8

表中Zj=ln£；z=-XzHh=X；;f=G»i；

o1=1O

（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型______比较合适？

（2）根据（1）中所选择的模型，求出），关于x的回归方程

附：对于一组数据®,4）,他,岭），…，（4,匕），其回归直线£=&+砌的斜率和截距的最小二乘估计分别

-何（匕-万）

为/=J------------，a=v-p（o.

-5）2

1=1

答案：①"eg』

解析：第•空：应该选择模型①.

由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①

的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适.

第二空：令z=lny,z与温度x可以用线性回归方程来拟合，贝1J2=方+R.

自/「传射内）（zT）50.4-

•••b=--------=-^-1-----------=Try=03,a=z-bx=2.9-0.3x25=-

-/部T168

r=l

则Z关于X的线性回归方程为z=0.3x-4.6,即Iny=0.3x-4.6,

二产卵数关于温度％的回归方程为y=S"Y6.

故答案为：①；5，=e°3T6

四、解答题

14.为让人民享受到更优质的教育服务.我国逐年加大对教育的投入，下图是我国2001年至2019年间每年普

通本科招生数），（单位：万人）的条形图.

43439

2001年2003年2005年2007年2009年2011年2013年2015年2017年2019年

■普通高等学校本科招生数（万人）

（数据来源:国家统计局网站）

为了预测2022年全国普通本科招生数，建立了），与时间变量，的三个回归模型.其中根据2001年至2019年的

数据（时间变量，的值依次为1，2,3,…，19）建立模型①：亍=166.9e0°w,相关指数岸a0.87；模型②：

5=152.4+16.3，，相关系数，尸0.97,相关指数反之0.95.根据2014年至2019年的数据（时间变量f的值依

次为1,2,3,…，6）建立模型③5，=372.8+9.8/,相关系数，小0.99,相关指数席才0.99.

⑴可以根据模型①得到2022年全国普通本科招生数的预测值为671.42万人，请你也分别利用模型②、③，求

2022年全国普通本科招生数的预冽值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解析：（1）根据模型②：$=152.4+16.3/,

当f=22时，可得」=152.4+16.3x22=511,

所以利用这个模型，2022年全国普通本科招生数的预测值为511万人：

根据模型③：R372.8+9&,

当」=22时,可得y=372.8+9.8x22=588.4,

所以利用这个模型，2022年全国普通本科招生数的预测值为5884万人.

（2）模型③得到的预测值更可靠.

因为从总体数据看，从2001年到2019年全国普通本招生数逐年上升，

从2001年到2U1U年间递增幅度桂对较大些，从201。年到2UI9年间递增幅度相对较小些，

所以利用模型③的预测值根可靠.

15.为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计,

得出相关数据见下表：

年广告投入x（万元）23456

年利润），（十万元）346811

根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲,

二伙x-l)2+2.75；方程乙，y=cx-1.6•

(1)求从结果精确到0.01)与c的值.

(2)为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.

①完成下表(备注：&=)，,-)，,，&称为相应于点(*，W)的残差);

年广告投入M万元)23456

年利润M十万元)346811

-(1)

估计值

模型甲

残差;

4(*>)

估计值以

模型乙

残差;:

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q/及Qz,并通过比较0/,Qz的大小，判断哪个模型拟合效果更好.

-(|)一

解析：(1)对于方程甲：设/=(41)2,则y="+2.75，

所以7=1(1+4+9+16+25)=11,7=1(3+4+6+8+11)=6.4,

55

所以6.4=近11+2.75,解得武0.33・

对于方程乙：1=1(2+3+4+5+6)=4,

所以6.4=℃4-1.6，解得c=2，

(2)①经计算，可得下表：

年广告投入M万元)23456

年利润)，(十万元)346811

-(1)

模型甲估计值V3.084.075.728.03II

Ji

残差;-0.08-0.070.28-0.030

估计值2.44.46.48.410.4

模型乙

残差e：0.6-0.4-0.4-0.40.6

@0=(-O.O8)2+(-O.O7)2+O.282+(-O.(]3)2=O.O9O6,(22=0.62x2+(-0.4)2x3=1.2,

因为Q/<Q2,所以模型甲的拟合效果更好.

16.某电视厂家准备在五一举行促销活动，现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广

告费支