第05讲 卫星或天体中的追及、相遇模型-高考物理复习模型及秒杀技巧（原卷版）

2024年高考物理一轮豆习模型及秒杀技巧一遍过

模块6万有引力与航天各模块大招

第05讲卫星或天体中的追及、相遇模型（原卷版）

目录

【内容一】正规方法解决追击（最近）问题..................................

【内容二】正规方法解决追击（最远）问题...................................................2

【内容三】秒杀最近最远问题...............................................................3

【内容四】模型总结........................................................................3

技巧总结

卫星或天体中的追及、相遇

技巧总结

卫星或天体中的追及、相遇模型中，两卫星或天体均绕同一颗中心天体做匀速圆周运动，求解何时相

距最近或最远即为此模型。解决此类模型，需结合实际的物理模型和开普勒第三定律进行求解。

总模型如图所示：

己知图示位置开始计时，再次最近或最远的加=?

仇-％=2万

内容一：正规方法解决追击（最近）问题：k2共

0=CD't=—Wb

T

储-又=兀

内容二：正规方法解决追击（最远）问题：L2乃IE

0=a）'t=----2(7；-7j

1

内容三：秒杀方法：

①以b为参考系②圆周运动找相对即叫闲

最近（最远）：t=―幽~

⑦相对

夕相时：

最初最终。相对

最近最近2万

最近最远乃

0最近0、171-0

啊对:

同句转：%3b反向转：3aAs卜

Q容四：具体模型如下］)

模型1：从相距最近开始，同向运动，何时再次相距最近

(1)扫过角度关系：△。一八，二2乃

(2)最短时间：=

Th-Ta

模型2：从相距最近开始，同向运动，何时再次相距最远

(D扫过角度关系：△"「卜又二/

(2)最短时间:2=

2亿-1）

模型3：从相距最近开始，反向运动，何时再次相距最近

(1)扫过角度关系：八。+△%=2知

5,

(2)最短时间:Ar=

模型4：从相距最近开始，反向运动，何时再次相距最远

(1)扫过角度关系：△伪+△，二»

5,

(2)最短时间:Af=

2（。+4）

模型5：从相距最远开始，同向运动，何时再次相距最近

⑴扫过角度关系：-乃

5,

(2)最短时间：2=

2（Z,Y）

模型6：从相距最远开始，反向运动，何时再次相距最近

(1)扫过角度关系：△。+、又=冗

5,

(2)最短时间:A/=

2（。+，）

例题演练

色)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某

时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为7LB的运行周期为乃，则下列说法正确的是()

A.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度

B.A、B和地心始终在同一直线上C.C加速可追上同一轨道上的A

D.在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积

解：A.根据万有引力提供向心加速度，有竺”=/腐可得。=容

rr

由于公可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故A正确；

B.根据万有引力提供向心力，可得G号=

A、B卫星的轨道半径不相等，则二者角速度不相等，所以不可能A、B和地心始终在同一直线上，故B

错误；

C.卫星C加速后将做离心运动，轨道变高，所以不可能追上同一轨道上的卫星A,故C错误；

D.轨道半径为，♦的卫星，根据万有引力提供向心力多”一〃“竽

若知道。的轨道半径，则可求出。的质星B.恒星8的质量为初日二生迟*All

A.

C.若4也有一颗运动周期为乃的H星，则其轨道半径一定大于。的轨道半径

D.设A、8、C三星由图示位置到再次共线的时间为3则，=

7]+《

满足G"华=利/兰］凡、

解：A.。绕山做匀速圆周运动,

RC\T2）

故知道C的轨道半杼,无法求出。的质量.A错误：

B.因为A、8为双星系统，所以相互之间的引力提供运动所需的向心力，即

G此*="可得=,/A嘿产『B正确；

<2A

C.因为4、6为双星系统,满足加可%=也景RH

\717

又因为k%,所以场双，设A卫星的质量为根据G等

可知，A的卫星轨道半径大于CR勺轨道半径，C正确：

D.由题可知，4、B、C三星由图示位置到再次共线所用的时间为f=^D错误。故选BC。

®）如图所示，质量相同的三颗卫星。、b、c,绕地球做匀速圆周运动，其中氏c在地球的同步轨道上,

。距离地球表面的高度为R,此时。、〃恰好相距最近。己知地球质量为M、半径为/?、地球自转的角速度

为口，万有引力常量为G,则（）

A.发射卫星〃时速度要大于112km/sB.卫星。的机械能小于卫星人的机械能

24

C.卫星〃和人下一次相距最近还需经过一[GM

4k0

D.若要卫星c•沿同步轨道与〃实现对接，可让卫星c•加速

解：A.发射卫星的速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，所以发射卫星。时速度要小于11.2km/s,

则A错误；

B.卫星。的机械能小于卫星力的机械能，根据I」.星的变轨规律可知，由低轨道进入高轨道需要点火加速

度，所以B正确；

Mm

C.根据G=〃心/(2/?)可得〃=

卫星。和b下一次相距最近所需要的时间为t,则有=24

解得"方彳一一所以C正确：

N8R

D.若要卫星c沿同步轨道与〃不右能实现对接，因为卫星c加速后进入了更高轨道，所以D错误；故选

BC。

如图所示，两颗人造卫星A、B都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A为地球同步卫星，

某时刻A、B相距最近。已知地球自转周期为工，B的运行周期为4,则下列说法正确的是（）

A.在相同时间内，卫星A、B与地心连线扫过的面积相等

肛

B.经过时间A、B相距最远C.A的向心加速度小于B的向心加速度

2（“。）’

D.卫星A、B受到地球的万有引力大小一•定不相等

解：A.根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相

等，故A错误；

B.卫星A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为乃，所以可得。B，-0A，=不

27rIn

其中g=〒,%=〒则经历的时间/=）伍一丁）故B正确;

7B1K

C.根据G”%解得a及卫星A的轨道半径大于B的轨道半径，则卫星A的向心加速度小于B的

向心加速度，故C正确;

D.万有引力b二G—,卫星A、B的质量未知，卫星A、B受到地球的万有引力大小也不一定不相等,

r

故D错误。故选BC。

⑥〉人们经长期观测发现，天王星绕太阳圆周运动实际运行的轨道总是周期性地每隔/。时间发生一次最

大的偏离。英国剑桥大学学生亚当斯和法国天文学家勒维耶认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在

着一颗未知行星。这就是后来被称为“笔尖下发现的行星“一海王星，己知天王星运行的周期为7k轨道半

径为R）。则得到海王星绕太阳运行周期7,轨道半径R正确的是（）

解：AB.由题意可知：海王星与天王星相距最近时，对天王星的影响最大，且每隔时间〃）发生一次最大

2九2九jrjp

的偏离，则有2不解得了-7A^故B正确，A错误；

7o14To

CD.由开普勒第三定律可得辱=冬解得R=9J%又因T=^

联立解得R=此故C错误，D正确。故选BD。

〈近）三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某

时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为汇，B的运行周期为《，则下列说法正确的是（）

A.C加速可追上同一轨道上的AA、B相距最远

C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度

D.卫星A、C受到地球的万有引力大小一定相等

解：A.卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A点，A错误;

B.卫星A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为兀，所以可得叫〃

T'T

其"二2i与2则经历的时间"君学B正确;

C.根据G牛=〃口解得。=GM

卫星A和C的轨道半径相同且小于B的轨道半径，则卫星A和C的向心加速度相等且小于B的向心加速

度，C正确；

D.万有引力b=G”卫星A、C的质量不一定相等，星A、C受到地球的万有引力大小也不一定相等,

r

D错误。故选BC。

为了加快建设海洋强国，根据《中国民用空间基础设施中长期发展规划》和《海洋卫星业务发展“十

三五"规划》，我国将研制和发射海洋卫星共十余颗。如图所示，海洋卫星/八。是在地球赤道平面内

绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星，已知海洋卫星”的周期为12h,海洋卫星/八。是地球同步卫星，此时

海洋卫星。、人恰好相距最近，地球自转的自转周期为24h,则下列说法正确的是（）

A.海洋卫星。的运行速度大于第一宇宙速度

B.海洋卫星b的机械能一定等于海洋卫星c的机械能

C.海洋卫星。在降低轨道的过程中质量保持不变，海洋卫星。的机械能将增加

D.海洋卫星a和海洋卫星b下一次相距最近经过时间可能为8h

解；A.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，所以海洋卫星"的运行速度小于第一宇宙速度。故A

错误；

B.由机械能表达式，可得E=〃3?+（"小

虽然两颗卫星的高度和线速度大小相等，但质量关系不明确，所以二者的机械能不一定相等。故B错误;

C.海洋卫星。在降低轨道的过程中需要外力对其做负功，所以海洋卫星。的机械能将减小。故C错误；

/.c、

「，一2乃2乃3

D.若海洋卫星〃和海洋卫星〃反向运行，设下一次相距最近经过时间九贝IJ石—+—，=2冗

解得r=8h故D正确。故选D。

（还＞2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、.土星近乎直线排列的“五星连珠”的奇观，

这种现象的概率大约是几百年一次。假设火星和木星绕太阳作匀速圆周运动，周期分别是。和乃，而且

火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧,

三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象（）

z+n

A.B.麻CD.

2

解：根据万有引力提供向心力得G%=〃亭，•解得了=2兀（^

火星离太阳较近，即轨道半径小，所以周期小设再经过/时间将第二次出现这种现象;两个做匀速圆周运动

的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体少

2九2刀

运行27弧度，所以景，-,£=2乃

11，2

解得”用T故D正确，ABC错误。故选D。

火星探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球和火星相距最近之前几个月发射>>设地球环绕

太阳的运动周期为。轨道半径为小火星环绕太阳的轨道半径为与亿>斗），火星的半径为凡引力常量

为G。下列说法正确的是（

太阳质量为察B.火星的公转周期为（二丫7

A.

GT

4/3

C.天问一号”在火星表面的重力加速度为

RT2

WT

D.从火星与地球相距最近开始计时到火星与地球第一次相距最远的时间为

2UV

解：A.设太阳质量为M,根据万有引力提供向心力可得=

解得绡故A错误；

GT-

B.设火星公转周期为刀，根据尸普勒第三定律得昌=/■解得工=（2丫7故B错误；

C.根据题意无法求出火星的质量，所以无法求出天问一号在火星表面的重力加速度，故C错误;

27-.In

D.地球绕太阳运转角速度⑪=〒火星绕太阳运转的角速度刃=—

TJ\

设地球和火星相距最近到第一次相距最远时间为I，则cot-cot=兀

WT

结合B选项，联立解得'=71―歼故D正确。故选D。

2中一甲

对应题型精炼

一、多选题

3

i.某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，具周期为地球自转周期r的行，运行的轨道与地球赤道不共

面（如图）。。时刻，卫星恰好经过地球赤道上尸点正上方。地球的质量为M,半径为R,引力常量为G。

则（）

A.卫星距地面的高度为j幽

I4一

B.卫星与位于尸点处物体的向心加速度大小比值为盛（180TTGM尸尸

C.从而时刻到下一次卫星经过尸点正上方时，卫星绕地心转过的角度为207r

D.每次经最短时间实现卫星距。点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多71

2.如图所示为三颗卫星。、。绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中力、。是地球同步卫

星，。在半径为，•的轨道上，此时〃、。恰好相距最近，已知地球质量为M,地球自转的角速度为。，引力

常量为G,则（）

A.卫星。、c与地心的连线单位时间扫过的面积相等

B.卫星c加速一段时间后就可能追上卫星人

2乃

C.到卫星a和〃下一次相距最近，还需经过时间7s彳一

崖一公

D.若已知近地卫星的周期为T,则可计算得出地球的平均西度?

3.如图所示，a、b、C是北斗卫星导航系统中的3颗卫星，b、。位于同一轨道，a的轨道半径小于江

的轨道半径，则（）

A.4的线速度最小B.4的向心加速度最大

C.。的周期最小D.c加速可追上b

4.如图，在万有引力作用下，〃、力两卫星在同一平面内绕某一行星c•沿逆时针方向做匀速圆周运动，已

知轨道半径之比为ra:rb=\:4,则下列说法中正确的有（）

A.a、运动的周期之比为Ta:Tb=\:8

B.。、力运动的周期之比为Ta:Tb=\:4

C.从图示位置开始，在“转动一周的过程中，。、b、c共线12次

D.从图示位置开始，在〃转动一周的过程中，。、b、。共线14次

5.如图所示，三个质点。、b、。的质量分别为町、叫、M远大于町及次2），在万有引力作用下

（忽略。、〃之间的万有引力），。、〃在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知〃、人运动

的周期之比为《：7；,=1乂，下列说法中正确的有（）

。、b轨道半径之比为/耳=1:护

。、〃轨道半径之比为小4=1：痂

从图示位置开始，在人转动一周的过程中，。、b、c共线踪次

D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线（2Z-2）次

6.2020年7月23日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，在中国文昌航天发射场，应用长征五号

运载火箭送入地火转移轨道。火星距离地球最远时有4亿公里，最近时大约0.55亿公里。为了节省燃料,

我们要等火星与地球之间相对位置合适的时候发射探测器。受天体运行规律的影响，这样的发射机会很少。

为笥化计算，已知火星的公转周期约是地球公转周期的1.9倍，认为地球和火星在同一平面上、沿同一方

向浇太阳做匀速圆周运动，如图所示。根据上述材料，结合所学知识，判断下列说法正确的是（）

。太阳

A.地球的公转向心加速度小干火星的公转向心加速度

B.根据题目信息，可以求出探测器沿轨迹AC运动到C点所需时间f为多少年

C.探测器运动到C点时的加速度大小，等于火星绕太阳公转的加速度大小

D.下一个发射时机需要再等约2.1年

7.北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太

阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号''发生短暂失联。已知地球与火

星境太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为刀，地球公转周期为八，“祝融号”在火星赤道表

面做匀速圆周运动的周期为厂“祝融号”的质量为〃?，火星的半径为R,万有引力常量为G,则下列说法

正确的是（）

A.火星的第一宇宙速度大小为二f

T

B.太阳的质量为等1

C.火星的公转周期为。小于地球公转周期为方

D.相邻两次“火星合日”的时间间隔为至T

8.如图所示，A、B两颗人造卫星在同一轨道平面上同向绕地球做匀速圆周运动。若它们的轨道半径分别

为以、「8,周期分别为〃、TB.则（）

A.在相等的时间内，以和胆扫过的面积相等

B.A卫星受到的引力一定大于B卫星受到的引力

C.两颗卫星从相距最近到第一次相距最远需要的时间/=、

44一/,\）

D.若A卫星要变轨到B卫星的轨道，A卫星需要向后喷气

9.地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为

TUT。,地球的半径为Ro,卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为Q=2R”，R2=8&,引力常量为G,某

时刻两卫星与地心连线之间的夹角为［兀，不考虑两卫星之间的引力，下列说法正确的是（）

A.卫星二的速曳一定小于卫星一的速度

B.地球的质量加=丝罩

0~

C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期72=4"

D.从图示时刻开始，经过六与丁。时间两卫星第一次相距最近

二、单选题

10.如图甲，A4两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，图乙是两颗卫星的间距△尸随时间

/的变化图像。已知卫星A的周期结合图像给出的信息，可知3卫星的周期“为（）

甲

7

B.

II.如图所示，A、8为地球的两个轨道共面的人造卫星,运行方向相同，A为地球同步卫星，A、8两卫

星的凯道半径的比值为上地球自转周期为公。某时刻4、B两卫星距离达到最近，从该时刻远到4、8间

距嘀最远所经历的最短时间为（）

（）

A，2（护+1）B.

U2（护7）D.

12.如图，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A、B,同方向绕地心做匀速圆周运动，此时刻A、B

连线与地心恰在同一直线上且相距最近，已知A的周期为T,B的周期为弓。下列说法正确的是（）

B

A.A的线速度大于B的线速度

B.A的加速度大于B的加速度

C.A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等

D.从此时刻到下一次A、B相距最近的时间为27

13.如图所示，地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和行星做匀速圆周运动的半径小弓之比为1：4,

不计地球和行星之间的相互影响，下列说法错误的是（）

A.行星绕太阳做圆周运动的周期为8年

4

B.由图示位置开始计时，至少再经过］年，地球、太阳和行星连线为同一直线

C.地球和行星的线速度大小之比为1:2

D.经过相同时间，地球、行星半径扫过的面积之比为1:2

14.我国自行研制发射的“风云一号”、“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是我国上海

研制的第一代极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12h；“风云二号”是我国自行研制

的第一代地球同步轨道气象卫星，其物道半面就是赤道平面。两颗卫星相比，下列说法正确的是（）

A.“风云二号”离地面较高

B.“风云二号”线速度较大

C.“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大

D.若某时刻“风云一号''和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空，那么再过36小时，它们又

将同时到达该小岛的上空

15,2021年10月16日，神舟十三号载人飞船采用自主快速交会对接方式，首次径向靠近空间站，两者对

接后所绕轨道视为圆轨道，绕行角速度为e距地高度为AR,R为地球半径，万有引力常量为G。下列说

法中正确的是（）

A.神舟十三号在低轨只需沿径向加速可以直接与高轨的天宫空间站实现对接

B.地球表面重力加速度为d（k+l）联

C.对接后的组合体的运行速度应大于7.9km/s

一46y（左+1）

D.地球的密度为p=—»,,

3冗G

16.如图所示，c为地球赤道上的一栋建筑物，p、q、s为同一轨道上等间距分布的三颗地球卫星，它们恰

好实现对赤道的全覆盖；f是地球同步通信卫星（图中未画出），它的轨道半径约为地球半径的6.6倍，地

球半径为R。所有卫星均在赤道平面上绕地心沿逆时针方向做匀速圆周运动。下列说法正确的是（）

A.卫星q距离地面的高度为27?B.卫星p的周期大约为8h

Q

C.p、q、s的速度之比为5:50:33D.若某时刻p在f的正下方，则经过时间号1h后s在f的

正下方

17.如图所示，a是“天宫一号”飞行器、b、c是地球同步卫星，此时，a、b恰好相距最近。已知地球质量

为M,半径为R,地球自转角速度为S，若"天宫一号”飞行器a和卫星b、c均沿逆时针方向转动，“天宫

一号''飞行器a的轨道半径为「，引力常量为G,则（）

A.“天宫一号”飞行器a的线速度小于列星b的线速度

B.“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期大于24小时

C.卫星c加速就一定能追上卫星b

2乃

D.从此时起再经IGM时间a、b相距最近

匕「

18.A、B两颗卫星均在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，已知卫星A的周期为，，某时刻两卫星相距

最近，至少再经过时间，二时，它们再一次相距最近。若卫星A、B的轨道半径分别为小片,且心<£,

16

则生的值最接近（）

大

A.6.0B.6.3C.6.6D.6.9

19,2023年5月30口，神舟十六号载人飞船成功将3名航天员送入空间站。假定空间站在距地面450km

高度处做理想的匀速圆周运动，每天绕地球大约19个圈。某时刻“北斗”系统中的中轨道卫星A与空间站

相距最近如图所示，该中轨道卫星距地面高度为2.1、1（）7小，地球半径为6.4xl0"m,卫星A和空间站的运

行轨道在同一平面内且运行方向相同，则从