等差数列前n项和的最值问题

等差数列前n项和的最值问题

问题引入：数列｛%｝,的前n项和S“=/+g〃，求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?

如果是，它的首项与公差分别是什么？解：当n>l时：=2/7-1当n=l

ri_L[2113

If':a=5.=1+—x1=—

1122

i3

综上：%=2〃一2,其中：q=2,d=2

22

探究1:一般地，如果一个数列｛%｝的前n项和为：s“=〃〃2+w+/•，其中:p.q.r为常数，且

pwO,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是，它的首项和公差分别是什么？结论:当厂。时

为等差，当rwO时不是

一、应用二次函数图象求解最值

例1：等差数列｛〃“｝中，q>0,S4=S9,那么n的取值为多少时？S”最大

分析：等差数列的前n项和S”是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求

解。

解析：由条件4>0,$4=Sg可知，d<0,且S“=〃q+妁^——6/=—H2+(«j--)/2,

其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为〃=土叱=6.5,

2

而〃wN",且6.5介于6与7的中点，从而〃=6或〃=7时S”最大。

1.等差数列｛4｝中。尸13且S3=S”,那么n取何值时,5〃取最大值.

解析：设公差为d,由S3=S”得：3X13+3X2d/2=llX13+11X10d/2d=-2,

%=13-2(n-l),a”=15-2n,

a020即尸-29。

由<得:6.5WnW7.5,所以n=7时,S”取最大值.

an+I^015-2(n+l)<0

2.an是各项不为零的等差数列，其中耐>0,公差dVO,假设Sio=O,求数列前5项

和取得最大值.

结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开M向下，根据图象关于对称轴对称的特点，

得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的

整数.a。是各项不为零的等差数列，其中ai>0,公差dVO,S10=0,根据二次函数的图象

0+10

特点得到图象开口向下，且在n=-2-=5时，数列a”前5项和取得最大值.

二、转化为求二次函数求最值

例2、在等差数列｛%｝中，4=-14,公差d=3,求数列｛%｝的前n项和S”的最小值

分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

解析：・・・%=〃|+3d,・二一14=/+9,4=-23,S“=-23n+即等◊=5[(n

49.492

F2F

4940

当n二一最小时，S”最小，但由于〃EN*,—介于8与9之间，S8=-100,

66

59=-99

即有且SgASg,故当n=8Sg=—100最小.

点评：通过条件求出6,从而将S“转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要

注意的是此处竺介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两

6

个整数中点，否则只有一个取值。

3.等差数列｛〃"｝中，前〃项和S,=1-I5〃，那么使S“有最小值的〃是(B)

A、7B、7或8C、8D、9

4.an是等差数列，其中a1=31,公差d=-8,那么数列前n项和的最大值为」

分析：(1)根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项

的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值.

解答：解：⑴an是等差数列,其中ai=31,公差d=-8,・••数列an前n项和Sn=-4n2+35n,

35

根据二次函数的性质，当n=F时，前n项和Sn取到最大值，：n£N,・\n=4,・••前n项和

Sn的最大值是Sn=-64+140=76,

5.一个等差数列的前10项的和是110,前20项的和是20.求此等差数列的前〃项和S.，

2

并求出当〃为何值时，S.最大，最大值是多少？Sn=-n+21n当N=10或11时，取最

大值为no

6.｛an｝为等差数列，ai+a3+a5=105,a2+a4+ae=99,以Sn表示｛an｝的前n项和，那么使得

Sn到达最大值的n是

设｛an｝的公差为d,山题意得ai+a3+as=ai+ai+2d+ai+4d=105,即an-2d=35,①

a2+a4+ae=ai+d+ai+3d+ai+5d=99,即ai+3d=33,②由①②联立得ai=39,d=-2,

Sn=39n+(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400,故当n=20时,Sn到达最大值400.

7.等差数列an的公差dVO,假设a3a7=9,a1+a9=10,那么该数列的前n项和Sn的最大值

为49.

分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10,又第

3项与第7项的积为9,写出一个两根为诩和中关丁x的一元二次方程，求出方程的解，

且根据等差d小于0可得到a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写

出等差数列的前n项和公式，配方后即可求出数列的前n项和Sn的最大值.解答：解：由

题意a1+a9=10，得到a3+a7=10，又a3a7=9,得到a3，为方程x?-10x+9=0的两根，且dV

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0,得到a3=9,a7=l,那么d=-2,所以ai=13,S„=-n+14n-49+49=(n-7)+49,那么

当n=7时，该数列的前n项和Sn的最大值为49.故答案为：49

8.在等差数列an中，ai=25,S17=S9,求Sn的最大值.

解：由So=S9，得至Ijf”=9即17(2ai+16d)=9(2ai+8d),又ai=25,得：d=-

-2,所以an=ai+(n-1)d=-2n+27,

nn(-2n+52)

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那么Sn=一2—^=—一^=-n+26n=-(n-13)+169,所以当n=13时，Snmax=169.

三、在等差数列｛q｝中，有关S”的最值问题一一常用邻项变号法求解：

⑴当%>0,水0时,游刎〃'一的项数m使得sm取最大.(2)当a\<0,d>0时，满足

14用《0

1%"?的项数m使得限取最小值。

例3：等差数列斜｝的an=24—3n,那么前多少项和最大?

由an=24—3n知当〃08时，>0,当〃之9时，为<0,「•前8项或前7项的和取最大

值.

9.等差数列｛bn｝的通项bn=2n-17,那么前多少项和最小？

解：由bn=2n—17n知当〃£8时，当〃N9时，a„>0,「•前8项的和我最小值.

点评：通过数列中数的特性，可由%一。，从解不等式来确定S“的最大值。小结：

K,<o

对等差数列前n项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是

最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n取何值才符合

10.等差数列｛aj满足an=40-4n，求前多少项的和最大?最大值是多少？

ioio2

12

解法一:由a”=40-4/?=>Sn=-In+38〃=—2(〃——)+—

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inin2

.•・当〃=9或〃=10时，S”最大，最大值：S10=-2a()一一尸+一=18()

22

[a,>0

\"=>9</1<10

解法二40-4也令+"°••.〃=9或?=10$最大，S”最大值：1=180

11.在等差数列｛aj中，|a3|=|ag|,公差d<0,那么使前n项和Sn取得最大值的自然数n

是5或6.

2

解%+1=%+]-5'”=，(。”+[+2)2-!(4〃+2)2,即8%+尸(%+|+2)2-(4“+2)2,所以(an+i-2)-

OO

(%+2>=(),

a

即(%+1+〃3(n+r%⑷=0，因为£N',所以册+1+〃产0,即a/1+l-an-4=0，所以an+l-an=4,

因此等差数列｛《｝的公差大于0.q=»=1(%+2)2,解得q=2.所以％=4n-2,那么

8

h=—an-30=2n-31.

f2/j—31<0onoi

即数列SJ也为等差数列且公差为2.由t2(〃+D-3M，解得，。《当，因为MN*，所

以n=15,故｛"｝的前15项为负值，因此也最小，可知4=29,d=2,所以数列｛〃｝的前n项

15(-294-2x15-31)

和的最小值为心5=3=-225.

仔｛4｝为等差数列，公差为d,S”为其前〃项和，S6>S7>Ss，那么以下结论中不正确的

选项是(A)

(A)d<0(B)S,.>0(C)S<0(D)5<0

1I1XPIn

17.等差数列SJ的前外项和为仪,假设号>国>篇，那么以下结论：①的=°,②/

③%)°，④斗・<。，其中正确结论是---------(A)A.②③B.①③C.①

④D.②④

18.等差数列SJ的前相项和用的最大值只有s，，且I为|<小|,那么使£>°的4的最大值

为。13'•、.；律瀛柒

19.数列｛①｝是首项为23,公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。⑴求数

列的公差；

⑵求前n项和Sn的最大值；⑶当Sn>0时，求n的最大值。

解：⑴・・飞1=23,a6>0,近<0,-史,.P为整数，."=-4。

q+6d<056

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(2)Sfl=23〃+〃"；"x(-4)=23n-2n(n-\)=-2n+25〃二-2(7:

25

・••当几=6时，Sn最大=78。(3)Sn=­2«+25(1>0得0<〃<一,•'.n最大为12。

2

20.(92高考)设等差数列｛%｝的前n项和为S〃,生=12,%>。，%<0，

⑴求公差d的取值范围；(2)指出心，$2,…，心中哪一个值最大，并说明理由.

17*11

解析(1)由％二12，得：％+2d=12,即q=12-2d,由沁>0，得：12%+—d>0,所以

17*1?74

由j<0,得：13^+---6/<0,所以d<-3,因此，d的取值范围为(--,-3).

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⑵解法一：a〃=q+(〃-l)d=12-2d+(n-l)d=12+(n-3)d令4>0,得：n<3-[■，由(1)

知：一注<*3,所以，U<3-U<7,又相N”,故由等差数列的单调性可知：当〃W6时,

72d

%>0;当n>6时，〃”<0,因此，必最大.

解法二：由题意可得：S”=nq+四'd=n(12