第5讲 指数函数-高考语文总复习归纳总结资料-高考数学

第5讲指数函数

r最新考纲考向预测

指数式中比较大小、指数型函数图象的识别与

命H

1.理解指数函数的概念及其率耐性，掌握指数函数图象通过的特应用.指数型函数单调性的应用外是考隹的热

趋势

殊点,会商底数为2.3.10.；的指数函数的图象.点,即型以选择题、域空即为主.

2.体会指数函数是一类重要的函数模型.核心

逻辑推理、立观想象

素养J

一、知识梳理

指数函数的图象及性质

函数y="T(a>0,且aWl)

0<。<1a>\

图象运尸1雪2Z.

0X()X

在一轴上方,过定点（0,1）

图象特征

当工逐渐增大时，图象逐渐下降当X逐渐增大时，图象逐渐上升

定义域R

值域(0,+8)

单调性减增

性质

函数值当x=0时，y^l

变化当x<0时，v>1；当x<0时，0<\<1；

规律当x>0时，0vy<l当Q0时，正i

常用结论

1.指数函数图象的画法

画指数函数y=〃m>0，且的图象，应抓住三个关犍点：（1,a）,（0,1）,（-1,力

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数①y=a\②y=ZA③/=炉，④y=/的图象，底数。，b,c,d与1之

间的大小关系为c>d>l>A]»0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数），=

"（〃>0,〃工1）的图象越高，底数越大.

二、习题改编

1.（必修1P56例6改编）若函数_/U）=〃m>0,且nWl）的图象经过点小2,；）,则直-

1）=.

答案：也

2.（必修IP59A组T7改编）已知a=G）\",

W）：则小b,c的大小关系是.

解析：因为y=g）是减函数，所以即又c=耻©）"

所以c<b<a,

答案：c<b<ci

一、思考辨析

判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）函数丁=。一'是R上的增函数.（）

（2）函数ynaJ+im〉1）的值域是（0,十8）.（）

（3）函数），=2门是指数函数.（）

（4）若""v〃"3>0,且“W1）,则〃?<〃.（）

答案：⑴X（2）X（3）X（4）X

二、易错纠偏

常见误区（1）不理解指数函数概念出错；

（2）忽视底数。的范围出错.

1.函数），=（〃2—5〃+5）/是指数函数，则〃的值为.

解析：因为函数5a+5H是指数函数，所以/—5a+5=l,解得。=1或Q=4.

又因为指数函数y="的底数。需满足a>0且aW1,所以。=4.

答案：4

2.若函数），=（〃2—1》在（-8,+8）上为减函数，则实数。的取值范围是.

解析：由题意知Ova?—1<1,即1</<2,得一啦Va<-1或1<”巾.

答案：（一正，-1）L（1,啦）

>②®考点▼⑥鲁剖析明考向•直击考例考法.

考点

指数函数的图象及应用（典例迂移）

屈Hl(1)函数兀r)=a-〃的图象如图所示，其中a,b为常数,则下列结论正确的是()

A.a>1,b<0

B.a>\,b>0

C.()<4<1,/?>()

D.0<«<1，b<0

(2)若方程|3'—1|=2有一解，则k的取值范围为.

【解析】⑴由式幻=。,”的图象可以观察出函数f(x)=ax~b在定义域上单调递减，所

以0〈”<1.函数府)="。的图象是在於)=〃的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)函数〉，=|3'—1|的图象是由函数y=3'的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下

方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，眉数图象如图所示.

当左=0或421时，直线y=A与函数y=|3r—1]的图象有唯一的交点，即方程有一解.

【答案】(1)D(2){0}U[l,+oo)

【迁移探究1】(变条件)若本例⑵的条件变为：方程对一1=2有两解，则K的取值范

围为.

解析：作出函数)=3付-1与y=k的图象如图所示，数形结合可得Q0.

答案：(0,+8)

【迁移探究2】(文条件)若本例(2)的条件变为：函数)，=声一1|M的图象不经过第二

象限，则实数k的取值范围是.

解析：作出函数)，=|3'—11+4的图象如图所示.

点，所以0<2av1,所以（Xa<2,

（2）当公>1时，y=|/一1|的图象如图②,而），=2〃>1不可能与），=炉一1|有两个交点.综

上，0<。4

指数函数的性质及应用（多维探究）

角度一比较指数幕的大小

僦方II已知〃=Q£b=2~ic=（9，则下列关系式中正确的星（

)

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【解析】把b化简为8H，而函数）'=Q）在R上为减函数，所以

「

2一即b<a<c.

【答案】B

期回团附

比较指数鬲大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所

以能够化同底的尽可能化同底.

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0,

1）比较大小，然后得出大小关系.

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借

助图象比较大小.

角度二解简单的指数方程或不等式

zi\2x+a-2

43恒成立，则。的取道范围是.

【解析】由题意，y=Q）是减函数，

F+a*/t\2x+a-2

<2)

©恒成立,

所以x2+ax>2x+a—2恒成立，

所以f+（a—2）x—a+2>0恒成立，

所以/=（〃一2）2—4（一。+2）<0,

即3—2）3—2+4）<0,即3—2）3+2）<0,

解得一2va<2,即a的取值范围是（一2,2）.

【答案】（-2,2）

网鹤园附

解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式

求解.要特别注意底数a妁取值范围，并在必要时进行分类讨论.

角度三研究指数型函数的性质

Jfflg（1）函数的单调递减区间为.

（2）已知函数人x）=2i旷叫〃?为常数），若火处在区间[2,+8）上是增函数，则机的取值范

围是.

【解析】（1）设"=一f+21+1,因为）=（号在R上为减函数，所以函数段）=（号

的减区间即为函数〃=—/+2r+l的增区间.

又〃=—f+2x+l的增区间为（-8,I],

所以函数五不）的减区间为（-8,1].

（2）令f=|2x—M则f=|2x—m|在区间3，+8）上单调递增，在区间（一8,与上单调

递减.而产7为R上的增函数，所以要使函数外）=2口「川在[2,+8）上单调递增，则有勺

W2,即6W4,所以〃[的取值范围是（-8,4].

【答案】（1）（一8,1]（2）（—8,4]

奥回园囹

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

⑴形如y=d"（a>0,且aWl）的函数求值域时，要借助换元法：令〃=/"）,先求出〃=

,"）的值域，再利用），=才的单调性求出），=a心）的值域.

（2）形如y=d'）（〃>0,且aHl）的函数单调性的判断，首先确定定义域。，再分两种情况

讨论：

当。>1时，若危）在区间（〃?，〃）上（其中（m,〃）Q。）具有单调性，则函数,=/，）在区间（加，

〃）上的单调性与7U）在区间（/〃，〃）上的单调性相同；

当0<〃<1时，若段）在区间（小，〃）上（其中（〃?，〃）GO）具有单调性，则函数在区间

（〃?，〃）上的单调性与凡¥）在区间Q",〃）上的单调性相反.

同变式训练

1.函数的值域是()

A.(一8,4)B.(0,+8)

C.(0,4]D.[4,+8)

解析：选C.设r=A2+2.v—1,则)'=弓).因为0<4<I,所以)，=《)为关于/的减函款.因

为/=(x+1)2—22—2,所以0<.y=Q)wR)=4,故所求函数的值域为(0,4].

2.已知》£(0,1)U(1,+8),当.。0时，则()

A.0<b<ii<\B.0<6/<b<l

C.\<b<aD.\<a<b

解析：选C.因为心>0时，IV",所以">1.因为心>0时，"3所以心>0时，令)>1.所

以表1,所以〃>/九所以1<反。故选C.

用管素养，培优提素养;拓展解频思路4

思想方法系列3换元法求解指数型函数的有关问题

前H已知函数人幻=4、+〃卜2'—2在区间[―2,2]上单调递增，求〃?的取值范围.

【解】设r=2S则40=4'+办2工-2=/2+〃"-2.

因为不£[-2,2],所以4.

又函数凡6=4叶〃?2—2在区间[-2,2]上单调递增，

即应丫)=尸+加/一2在区间七，4上单调递增，

故有一彳忘不

解得m

所以m的取值范围为一+8).

国旗困陷

(1)此例题利用了换元法，把函数凡v)转化为y=尸+初一2,其中£林，41，将问题转化

为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量.

(2)对于同时含有炉与。丸心。且〃#])的函数、方程、不等式问题，通常令进行换

元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法.

拓展练习：已知函数次刈=(9;々为常数，且函数的图象过点(-1,2).

⑴求。的值；

(2)若以入)=4r一2,且g(X)=/U),求满足条件的X的值.

解：(1)由已知得G)=2.

解得4=1.

⑵由(1)知危)=6)，

又g(x)=/U),则4r-2=(0：

所以(*凯2=0,

令Q)=/'则/>°，Z2-/-2=0,P|J(7-2)(/+1)=0,

又/>0,故r=2,即(J=2.解得x=-l,

故满足条件的x的值为-1.

曲电演练▼③僖突破练好题•突破高分瓶颈.

[基础题组练]

1.若函数人处=(2〃-5)•"是指数函数，则4r)在定义域内()

A.为增函数B.为减函数

C.先增后减D.先减后增

解析：选A.由指数函数的定义知2a—5=1,解得a=3,所以负幻=3》,所以人处在定义

域内为增函数.

2.设函数火x)=f一"与g(x)=tf(4>1且aW2)在区I,瓦(0,+8)上具有不同的单调性，则

M=m-l)o・2与N=g)的大小关系是()

A.M=NB.MWN

C.MvND.M>N

解析：选D.因为J(x)=x1~a与g(x)=a\a>1且在区间(0,+8)上具有不同的单调

小0.1

性，所以a>2,所以N=()<1,所以M>N,故选D.

3.已知7U)=3L〃(2WXW4,。为常数)的图象经过点(2,1),则./U)的值域为(：1

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[I,+8)

解析：选C.由危)过定点(2,1)可知b=2,所以危)=3广2且在[2,4]上是增函数，TWmin

=*2)=1,_Ax)max=*4)=9.

4.已知函数)，=丘十。的图象如图所示，则函数1y=4、r的图象可能是()

解析：选B.由函数的图象可得2<0,0<4<1.因为函数y=h+a的图象与x轴

交点的横坐标大于1,所以Q—1,所以一1<A<（）.函数y="+«的图象可以看成把1y="的图

象向右平移一Z个单位长度得到的，且函数），=〃+人是减函数，故此函数与），轴交点的纵坐

标大于1,结合所给的选项，选B.

5.已知函数y（X）=/r,八则函数人幻是（）

A.偶函数，在［0,+8）内单调递增

B.偶函数，在［0,+8）内单调递减

C.奇函数，且单调递增

D.奇函数，且单调递减

x

解析：选C.易知人0）=0,当£>0时，人大）=1一2七，-J（x）=2~-lf此时一工<0,则人一

x）=2~x-l=-fix）:当x<0时，兀0=2'—1,-fix）=1-2r,此时一式>0,则/（一月=1一2-1

x）=\-2x=-fix）,即函数/U）是奇函数，且单调递增，故选C.

6.不等式212+巧>（，,+4的解集为.

解析：不等式2一八>包"4可化为\0广，等价于/一如5+4,即/一31一

4<0,解得一14V4.

答案：3—14<4}

7.若函数人口=〃亿「1（公>0,々W1）满足11）=/则贝外的单调递减区间是.

解析：由川）=/得〃=今

又。>（）,所以〃=3，因此〃>）=（;）

因为ga）=|2x—4|在［2,+8）上单调递增，所以人出的单调递减区间是［2,4-~）.

答案：［2,+8）

8.设偶函数g（x）=#+讥在（0,+8）上单调递增，则g（a）与8伯一］）的大小关系是

解析：由于g（x）=是偶函数，知〃=0,

又虱幻=/在（0，+8）上单调递增，得4>1.

则g(b—l)=g(—l)=g(l),故g(a)>g(l)=g(b-l).

答案：g(a)>g(b—l)

9.已知函数yu)=6).

(1)求7U)的单调区间；

(2)若yu)的最大值等于小求。的值.

解：⑴令/=卜1一°,则1A力=住)，不论。取何值，，在(一8,0］上单调递减，在(0,+

8)上单调递增，又产僚’是单调递减的，

因此_/U)的单调递增区间是(一8,0］,

单调递减区间是(()，+8).

9

(2)由于贝幻的最大值是不

所以函数g(x)=|M一0应该有最小值一2,从而a=2.

10.(2020•福戏养正中学模拟)已知函数危)=2、g(x)=f+2ax(-3WxW3).

(1)若g(x)在［-3,3］上是单调函数,求a的取值范围;

⑵当。=—1时，求函数y=J(g(x))的值域.

解：(l)g(x)=(x+G)2—图象的对称轴为直线因为g(x)在［-3,3］上是单调函

数.所以一〃N3或一〃(一3,即〃<一3或.故〃的取值范围为(-8,-3］U［3,+8).

(2)当a=-\时，屈伏))=2(-3«).

令〃=『一2匕y=2".

因为工£［-3,3］,所以〃=/一M=。一1)2—1£［-1,15］.

而)，=2〃是增函数，所以

所以函数产q(x))的值域是［；,215.

［综合题组练］

A

1.(2020•辽宁大连笫一次(3月)双基测试)函数)，=不［。£R)的值域为()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)D.(0,£)

._.2'2"+1—1|

解析：选BJ=2X+］=2'+1-=I-2'+］，

因为2'>0,所以l+2'l,

所以0<97<1,